精品解析：广东省广州市广州大学附属中学联盟校2025～2026学年九年级上学期1月月考数学试卷

广东省广州市广州大学附属中学联盟校2025~2026学年九年级上学期1月月考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，解题的关键是熟整式的运算法则． 【详解】解：A、 不是同类项，不能合并，故不正确； B、，原计算不正确； C、，原计算正确； D、，原计算不正确； 故选C． 3. 下列实数：，－0.101001，，，，其中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：， 无理数有，，共有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的定义，注意：无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含的，②一些有规律的数，③开方开不尽的数． 4. 设方程的两根分别是，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可． 【详解】由可知，其二次项系数，一次项系数， 由韦达定理：， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率． 5. 长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，由此即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴底面积， ∵，且，， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如下图，将绕点顺时针旋转得到，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化，旋转的性质； 先根据旋转的性质得到点的对应点为点，点的对应点为点，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段的垂直平分线，也在线段的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心． 【详解】解：将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到， 点的对应点为点，点的对应点为点， 作线段和的垂直平分线，它们的交点为， 旋转中心的坐标为． 故选：B． 7. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，利用圆周角定理求出，根据等腰三角形的三线合一性质求出，等边对等角然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 8. 如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵等边，于点D，长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴新钢架减少用钢 ， 故选：D． 9. 如图一次函数经过点，与轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. P为的中点 C. 方程的解是 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可． 【详解】解：A、根据图象可知，， ∴，原选项不符合题意； B、∵一次函数经过点，点， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴， ∵， ∴为的中点，原选项符合题意； C、方程的解是，原选项不符合题意； D、当时，，原选项不符合题意； 故选：B． 10. 无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象及性质，可知直线，点总在直线上，抛物线 ，对称轴为，顶点坐标为，分两种情况：当时和当时． 【详解】解：∵直线， ∴点总在直线上． 抛物线 ，对称轴为，顶点坐标为． （Ⅰ）当时，抛物线开口向上，将代入抛物线，得，所以点在抛物线上，所以点在抛物线内部，所以，时，无论为何值，直线与抛物线总有公共点． （Ⅱ）当时，抛物线开口向下，将代入抛物线，得，所以点在抛物线上，根据题意可知，点必须在抛物线内部或抛物线上，即，所以． 综上所述，或． 故选：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 函数y=中，自变量x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，， 解得． 12. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 13. 已知直线向下平移5个单位后经过点，平移后的直线与x 轴的交点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象的平移，一次函数的图象上点的坐标特征，求一次函数与x轴的交点坐标，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 直接根据“上加下减”的原则得到平移后的直线的解析式（用k表示），再把点代入求出k值，从而得出平移后的直线解析式，然后把代入所得的解析式解答即可． 【详解】解：直线向下平移5个单位后，得 ， 把点代入，得 解得： ∴ 令，则 解得：， ∴平移后的直线与x 轴的交点坐标为． 14. 如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，圆锥侧面积，先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半计算出，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∴圆锥侧面展开图的面积为， 故答案为：． 15. 四边形是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，，，如图，O是对角线的中点，连接，，设的面积为s，在矩形的旋转过程中，s的取值范围为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由旋转知，， 设边上的高位h，则，故的最值就转化成确定h的最值．当点E落在上时，边上高的最小值为，此时s最小，当点D落在的反向延长线上时，边上高的最大值为，此时s最大，分别算出最大值和最小值即可． 本题考查了图形的旋转和勾股定理，解题的关键是要有空间想象能力，正确作出辅助线求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，，，如图，O是对角线的中点， ∴，， 设边上的高位h，则， 当点E落在上时，边上高的最小值为，此时s最小， ∴， ∴； 当点D落在的反向延长线上时，边上高的最大值为，此时s最大， ∴， ∴； 故， 故答案为：． 16. 如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______． 【答案】或或2 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 三、解答题（本大题共9小题满分72分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了含负整数指数幂和零指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的计算公式． 分别计算乘方、负整数指数幂和零指数幂，再进行加减计算． 【详解】解： 18. 在中，是内一点，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】该题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定，根据，得出，结合，得出，结合，即可证明． 【详解】略 19. 定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 【答案】（1） 是“C方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， 解得：， ∵， ∴一元二次方程是“C方程”； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，理解“C方程”的定义是解题的关键． （1）求出方程的解，再根据“C方程”定义即可判断； （2）根据“C方程”定义，得到，利用配方法，非负数的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程是“C方程”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 20. 2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有15个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 （1）从这15个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； （2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵．老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享，请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 【答案】（1）①随机；②5，3 （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）①根据必然事件、随机事件和不可能事件的概念解答即可； ②概率公式逆运用可得m的值，再由可得n的值； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：①事件“该班跑步量达标率为”是随机事件； ②∵事件“该班跑步量达标率满足”的概率为， ∴， ∴， 故答案为：①随机；②5，3； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 21. 题文（现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知一条小路上有榕树和灯柱．如图所示，在灯柱上有一盏路灯，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子． 根据上述内容，解答下列问题： （1）小问已知榕树在路灯下的影子为，请画出路灯的位置和榕树在路灯下的影子； （2）如图，若榕树的高度为3.6米，其离路灯的距离为6米，榕树的影长为4米，求路灯的高． 【答案】（1） 图①中点P，即为所求； （2）9米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意画出图形； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 路灯的高为9米． 22. 乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘O点正上方的高度A处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 n 33 0 根据以上数据，解决下列问题： （1）当乒乓球第一次落在对面球台上时球到起始点的水平距离是_____，表格中n值为_____； （2）求出满足条件的函数表达式； （3）若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后是否能落到对面球台上，请说明理由． 【答案】（1）230，45 （2） （3）能 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据，函数值为 0 时，自变量的值即为水平距离；根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为 0 时自变量的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是； ∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当时的函数值与当的函数值相同， ， 故答案为：230；45． 【小问2详解】 解：设， 把代入中得， 解得：， ∴满足条件的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当发球机的发球高度增加时， 则此时抛物线解析式为， 在中，当时， 解得：或， ∵， ∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上． 23. 如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，交于点E，过D作于H，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）连接交于G，若，，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及等量代换可得到，进而利用平行线的性质证明切线即可． （2）首先通过求的长，再利用得到的长，最后利用求的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， ， ，， ， ，， ，， ，， 是直径， ， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，中位线的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定，借助相似找到边长的等量关系是解决问题的关键． 24. 在平行四边形中，，点E为平面内一点，且． （1）若． ①如图1，当点E在上时，连接，作交于点F，连接、，求证：为等边三角形； ②如图2，连接，作，作于点F，连接，当点F在线段上时，求的长度； （2）如图3，连接，若为边上一点（不与重合），连接，以为边作，且，作的角平分线，与交于点，连接，点在运动的过程中，的最大值与最小值的差是多少？请说明理由． 【答案】（1） ①证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是等边三角形，， ， ， 又 ∵， ， ， ， ∴是等边三角形； ②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①得到是等边三角形，利用得到，即可得到，即可得到结论； ②分为两种情况作图，过点作于点，即可得到点四点共圆，进而得到，根据勾股定理解答即可； （2）过点作，且，连接，即可得到，然后根据对应边成比且夹角相等得到，然后根据对应边成比例求出的长，根据三角形三边关系的应用得到最值求差解答即可． 【小问1详解】 解：①略 ②如图，当点在的下方时，过点作于点， ， ， 点四点共圆， ， ， ， ， ， ； 当点在的上方时，如图，过点作于点， ， ， 点四点共圆， ，， ， ， ， ， ， ， 综上所述，长为或； 【小问2详解】 解：如图，过点作，且， 连接， ∵，是的角平分线， ， 又， ， ， ∴， ， ， ， 根据三角形的三边关系可得， ∴最大值与最小值的差为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 25. 抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． 【答案】（1） （2）2 （3）①②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）一般式化为顶点式，求出点坐标，根据点横坐标，得到，进而求出，进行求解即可； （3）①求出点，点坐标，分，，三种情况，分别求出矩形的两条邻边长，利用周长公式，列出函数关系式即可； ②根据轴，得到关于对称轴对称，进而求出点坐标，分分，，三种情况，求出的函数关系式，再根据，分别求出满足题意的的值，进而求出的长即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知：， ∴， ∵是抛物线上一动点，设点的横坐标为， ∴， ∵过点作对称轴的垂线，垂足为， ∴，， ∴； 【小问3详解】 ①当时，，当时，， ∴，， 由（2）可知：，，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为 ∵在第四象限， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 综上：； ②∵轴， ∴关于对称轴对称， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：（舍去）或； ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：或（舍去）； ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：（舍去）或； ∴ 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市广州大学附属中学联盟校2025~2026学年九年级上学期1月月考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列实数：，－0.101001，，，，其中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 设方程的两根分别是，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（    ） A. B. C. D. 6. 如下图，将绕点顺时针旋转得到，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 7. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ） A. B. C. D. 9. 如图一次函数经过点，与轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. P为的中点 C. 方程的解是 D. 当时， 10. 无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 函数y=中，自变量x的取值范围是____________． 12. 分解因式：_____________． 13. 已知直线向下平移5个单位后经过点，平移后的直线与x 轴的交点坐标为___________． 14. 如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______． 15. 四边形是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，，，如图，O是对角线的中点，连接，，设的面积为s，在矩形的旋转过程中，s的取值范围为__________． 16. 如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______． 三、解答题（本大题共9小题满分72分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 在中，是内一点，．求证：． 19. 定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 20. 2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有15个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 （1）从这15个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； （2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵．老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享，请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 21. 题文（现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知一条小路上有榕树和灯柱．如图所示，在灯柱上有一盏路灯，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子． 根据上述内容，解答下列问题： （1）小问已知榕树在路灯下的影子为，请画出路灯的位置和榕树在路灯下的影子； （2）如图，若榕树的高度为3.6米，其离路灯的距离为6米，榕树的影长为4米，求路灯的高． 22. 乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘O点正上方的高度A处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 n 33 0 根据以上数据，解决下列问题： （1）当乒乓球第一次落在对面球台上时球到起始点的水平距离是_____，表格中n值为_____； （2）求出满足条件的函数表达式； （3）若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后是否能落到对面球台上，请说明理由． 23. 如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，交于点E，过D作于H，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）连接交于G，若，，求的值． 24. 在平行四边形中，，点E为平面内一点，且． （1）若． ①如图1，当点E在上时，连接，作交于点F，连接、，求证：为等边三角形； ②如图2，连接，作，作于点F，连接，当点F在线段上时，求的长度； （2）如图3，连接，若为边上一点（不与重合），连接，以为边作，且，作的角平分线，与交于点，连接，点在运动的过程中，的最大值与最小值的差是多少？请说明理由． 25. 抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $