2026--2027学年冀教版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-3章）

冀教版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-3章） 一、选择题 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 2．如图，两条直线被三条平行线所截，，则的长为（　　） A． B． C．4 D． 3．校田径队需从甲、乙、丙、丁四名运动员中选派一名参加市运动会100米比赛.下表是⋮四名运动员最近10次100米测试成绩的平均数（单位：s）和方差. 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数 12.51 12.62 12.51 12.83 方差 0.034 0.056 0.039 0.056 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　） A．甲运动员 B．乙运动员 C．丙运动员 D．丁运动员 4．已知关于x的方程 有一个根为1，则方程的另一个根为(　　) A．- 1 B．1 C．2 D．- 2 5．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OC＝CF，则△ABC与△DEF的面积之比是（　　） A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9 6．求一组数据方差的算式为 由算式提供的信息，下列说法错误的是(　　)。 A．n的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 7．在我闲南宋数学豕杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载者这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步?也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长和宽各多少步?设长为x步，则下列所列方程中，正确的是(　　) A． B． C． D． 8．如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE＝3CE，AB＝8，则AD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图1，舂臼（chōngjiù）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该春白的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离OC=15cm，且AO：OB=4：1，则点A到地面的距离是（　　） A．30cm B．45cm C．60cm D．75cm 10．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 11．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射箭比赛，他们成绩的平均数相同，方差如下： ，则成绩最稳定的是　 　. 12．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　． 13．如图， 和 是以 为位似中心的位似图形，已知 A、B、C 为 OD、OE、OF 的中点，已知 的面积为，则 的面积为　 　. 14．如图，若准备利用一处墙角EAF 和长度为28 m的篱笆围建一个矩形花圃ABCD，花圃的一边AD 由墙 AF 和篱笆DF 构成，另一边 AB 由墙AE 和篱笆BE 构成，其他两边BC，CD 由剩下的篱笆围成. 若AF=8m，AE=4m，矩形花圃的面积为75m2，则花圃 BC 边的长度为　 　. 15．如图，，点D在线段上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，的最小值是　 　． 16．如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8.矩形 EFGH 的顶点E，F，G，H 分别在边AD，AB，BC，CD上（点E 与点A，D 不重合，AE>ED).若对于定点E，矩形 EFGH 唯一确定，则 DE 的长为　 　. 三、解答题 17．解下列方程： （1）x2﹣6x＝0； （2）2x2+x﹣1＝0． 18．已知是方程的两个实数根，求： （1）和的值， （2）的值． 19．（1）已知，且a+b-2c=6，求a的值. （2）已知，求x的值. 20．学校开展“阳光一小时”活动以来，学生的身体素质普遍得到提高，某校为了解九年级学生的“1分钟跳绳”成绩情况，随机抽取了名学生进行测试，将测试的成绩分成四组，绘制成如下不完整的统计图表． “1分钟跳绳”成绩频数分布表 组别 次数 频数 A 　 B 24 C 32 D 16 “1分钟跳绳”成绩扇形统计图 根据以上图表信息，解答下列问题： （1）的值是　 　，D组对应扇形的圆心角大小是　 　； （2）样本的中位数所在组别是　 　； （3）估计该校九年级名学生中“1分钟跳绳”成绩不低于次的人数． 21．冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 22．如图，在中，点在边上，过点作交边于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当四边形是菱形时，，，求菱形的边长． 23．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，边. AB=10，对角线BD=16. （1）求菱形ABCD的面积； （2）过点O作于点 E，交 DA的延长线于点 F，求证： 24．小明制作了一张面积为 的正方形贺卡.现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为3：2，面积为 （1）求长方形信封的长和宽. （2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗?请通过计算给出判断. 25．探究一： 如图①，在 Rt△ABC 中， ∠B=90°，AB=4，BC=10. 在该三角形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与BC平行)，最多能排列多少个小正方形?我们不妨这样思考： 如图②，排列第一层时，因为EB=1.2，所以AE=4-1.2=2.8，易得△AEF∽△ABC，所以 解得EF=7. 因为 所以第一层最多排列5个； 如图③，排列第二层时，因为GB=2.4，所以AG=4-2.4=1.6，易得△AGH∽△ABC，所以 解得GH=4. 因为 所以第二层最多排列3个； （1）按上述思路，可求得在Rt△ABC内部能排列的小正方形个数最多为　 　个； （2）探究二： 如图④，在梯形ABCD中，AB∥CD， ∠B=90°， AB=4， BC=10， CD=2.4.在该梯形内部排列边长为 1.2的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与BC平行). 在梯形ABCD内部能排列的小正方形个数最多为　 　个； （3）探究三： 如图⑤，在五边形ABCJK中，AB∥CJ，AK∥BC， ∠B=90°，AB=4，BC=10，CJ=1.2，AK=3.6，在该五边形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在五边形内部，互不重叠，且一边与BC平行). 在五边形ABCJK 内部能排列的小正方形个数最多为　 　个. 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义及相关的量 【解析】【解答】解：A、，未说明a≠0，若a=0则不是二次方程，A错误； B、，含有x，y两个未知数，属于二元方程，B错误； C、，分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，C错误； D、，整理为x2+x-4=0，只含未知数x，最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义，D正确． 故答案为：D． 【分析】先根据一元二次方程的三条判定标准：单一未知数，未知数最高次数为2，整式方程；再逐项分析即可． 2．【答案】B 【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【解析】【解答】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得：． 故选：B． 【分析】先求出AC，用DE表示DF，再根据平行线分线段成比例得到，将已知线段代入，得到关于DE的方程求解． 3．【答案】A 【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数） 【解析】【解答】解：米比赛用时越短成绩越好， 甲、丙的平均成绩均为，小于乙的和丁的， 甲、丙平均成绩更优，排除乙、丁， 方差越小发挥越稳定，且甲的方差小于丙的方差， 甲的发挥更稳定，故应该选择甲运动员． 故答案为：A. 【分析】比较四名运动员的平均数，根据平均数小的成绩更好；然后比较方差，利用方差小的乘积更稳定解答即可. 4．【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】 解：设该方程的两根为 则 ∵该方程的一个根为1， ∴另一个根为：3-1=2， 故选： C. 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得到答案. 5．【答案】B 【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质 【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，BC∥EF， ∴△OBC∽△OEF， ∴， ∴△ABC与△DEF的面积之比为1：4， 故选：B． 【分析】根据位似图形的概念"如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，"得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，进而得出△OBC∽△OEF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 6．【答案】C 【知识点】平均数及其计算；方差；众数 【解析】【解答】解：结合方差的定义和题中公式可知，该组数据分别是6、6、7、8、8，共5个数，因此n=5，A正确； ，即该组数据的平均数是7，B正确； 该组数据中，出现次数最多的是6和8，因此该组数据的众数是6和8，C错误； 原数据方差为 =； 当该组数据加入两个数7，7，此时的平均数，则方差为 =， 明显＞，即这组新数据的方差变小，D正确； 故答案为：C。 【分析】本题结合方差的定义和题中公式，首先得出组数据分别是6、6、7、8、8，此时可直接判断A，然后计算平均数即可判断B，结合众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数，即可判断C，最后分别计算出原组数据和新租数据的方差，对比即可判断D。 7．【答案】A 【知识点】列一元二次方程 【解析】【解答】解：∵宽比长小12步，长为x步 ∴宽为(x-12)步 ∵一块长方形田地的面积为864平方步 ∴x(x-12)=864， 即x2-12x-864=0， 故选：A. 【分析】根据矩形面积公式和长宽关系，长为x步，则宽为(x-12)步，利用面积公式列方程即可. 8．【答案】D 【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】∵AE=3CE ∴AC=4CE ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC ∴ ∴ ∴AD=6 故选：D． 【分析】因为DE和BC平行，根据相似三角形的判定定理，可以得到△ADE与△ABC相似，再结合相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，就可以计算求出AD的长度. 9．【答案】D 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：过点作地面于点，则， ，， ， ， ， ， 解得 故答案为：D 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，解题关键是构造相似三角形。过点作地面的垂线，由和都垂直于地面，可得，从而证明与相似。再根据已知的线段比例，转化为相似比，代入相似三角形对应边成比例的性质即可求出的长度。 10．【答案】A 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题 11．【答案】丙 【知识点】方差；分析数据的波动程度 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴成绩最稳定的是丙． 故答案为：丙． 【分析】先根据方差的统计意义：平均数相同时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，再将四个方差数值从小到大排序，找到最小方差对应的运动员丙． 12．【答案】 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 13．【答案】16 【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质 【解析】【解答】解：∵A、B、C为OD、OE、OF的中点 ∴ ∴与的相似比为 ∴ ∵的面积为4 ∴的面积为16， 故答案为：16. 【分析】本题主要考查位似图形的性质.由和是以为位似中心的位似图形，则且相似比为1∶2；根据对应线段之比等于相似比，面积之比等于相似的平方，即可计算的面积. 14．【答案】15m 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题 【解析】【解答】解：设 BC 边的长度为 ， ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD = BC = ，AB = CD， ∴ FD = AD - AF = ， ∵ 矩形周长为 ， ∴； 由题意知： ， 整理，得： ， 解得： ， ； 当 时， ，无意义， ∴， 故答案为：15m. 【分析】设 BC 边的长度为 ，则 ，由此可表示出 ，利用面积建立方程即可求解. 15．【答案】2 【知识点】垂线段最短及其应用；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小，根据三角形面积得，此时， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：2． 【分析】 先利用相似三角形的判定定理和性质，证明得到，由此可以推出，之后只需要求出线段的最小值，就可以得到最终结论。 16．【答案】 【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；根据一元二次方程的根的情况求参数 17．【答案】（1）解：x2﹣6x＝0 提取公因式x，得x(x-6)=0 ∴x=0或x-6=0 解得 （2）解：2x2+x-1=0 因式分解，得(2x-1)(x+1)=0 ∴2x-1=0或x+1=0 解得 【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法 【解析】【分析】(1)先观察方程无常数项，采用因式分解法，提取公因式x，再利用“若乘积为0则至少一个因式为0”求出两个根； (2)对二次三项式十字相乘因式分解，转化为两个一次因式乘积等于0的形式，分别令因式为0，解出方程两根． 18．【答案】（1）， （2）8 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 19．【答案】（1）解：设 =k，则a=6k，b=5k，c=4k， ∵a+b-2c=6， ∴6k+5k-2×4k=3k=6 ∴k=2 ∴a=6k=12， 答：a的值是12. （2）解：∵ ， ∴x=×1.5， 解得：x=， 答：x的值是. 【知识点】比例的性质 【解析】【分析】（1）设 =k，用含k的代数式表示a，b，c，再代入求值即可； （2）根据比例的性质进行计算即可. 20．【答案】（1）80； （2）C组 （3）解：（人） 答：该校九年级名学生中“1分钟跳绳”成绩不低于次的人数为720人． 【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量 21．【答案】（1）解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元， 根据题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题 【解析】【分析】 （1）设这款棉帽从10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，根据起始销售量和增长后的终末销售量，就能得到关于x的一元二次方程，求解方程后舍去不符合实际意义的结果，就能得到月平均增长率。 （2）若设这款棉帽的售价定为y元，那么每售出一件棉帽可获得的销售利润为元，再根据售价和销售量的对应关系得到月销售量，结合"月销售利润=每件利润×月销售量"的等量关系，就可以列出关于y的一元二次方程，求解后取符合商家降价要求的结果，就能得到对应的定价. （1）解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元， 根据题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 22．【答案】（1）证明：， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当四边形是菱形时， 设，由得：， ， ， ， ， 解得：， 即：菱形的边长为． 【知识点】平行线的判定；平行线的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】（1）首先根据平行线的判定得出，进而根据平行四边形的定义即可得出结论； （2）根据四边形是菱形，设设，由得：，进而根据，可得出，进而得出，即，解得，即菱形的边长为． 23．【答案】（1）解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠AOB=90°，∴AO=√AB2-OB2=√102-82=6， ∴AC=2AO=2×6=12， ∴菱形ABCD 的面积为96. （2）证明：∵OE⊥AB，∴∠AEO=∠AOB=90°， ∴∠FOA=∠ABD=90°-∠OAB. ∵AB=AD，∴∠FDO=∠ABD，∴∠FOA=∠FDO. ∵∠F=∠F，∴△FOA∽△FDO， 【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】本题以菱形为背景，考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积公式及相似三角形的判定与性质。 （1）由菱形对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出AO，再得AC，最后利用对角线乘积的一半求面积； （2）通过垂直关系及菱形性质证∠FOA＝∠FDO，结合公共角∠F，证△FOA∽△FDO，利用相似比得比例式，从而证OF2＝AF·DF。 24．【答案】（1）解：设长方形信封的长为3xcm，宽为2xcm， 由题意，得3x·2x=210， 答：长方形信封的长为 宽为 （2）解：能 . 理由：面积为121cm2 的正方形贺卡的边长是11cm， 即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封. 【知识点】实数的大小比较；一元二次方程的其他应用；求算术平方根；算术平方根的实际应用 【解析】【分析】(1)先根据长宽比例3：2设长3x，宽2x；再根据长方形面积公式列出方程3x×2x=210，化简得x2=35；最后结合长度为正取，分别算出长，宽； (2)先根据正方形面积121求出贺卡边长为11；再分别对信封宽度和11平方，通过比较平方大小判断；最后得出信封宽度足够放下正方形贺卡，可不用折叠放入． 25．【答案】（1）8 （2）18 （3）17 【知识点】三角形内接矩形相似模型；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：（1）解：由题意得第一层最多排列个，第二层最多排列个， 如图，排列第三层时，， ， ， ， ， ， 第三层无法排列完整的小正方形， ， 在内部能排列的小正方形个数最多为个； 故答案为：8； （2）解：， 以为宽度能排列两排， ， 第一层最多排列个，第二层最多排列个， 如图，排列第三层时，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 第三层最多排列个， ， 第四层最多排列个， ， 在梯形内部能排列的小正方形个数最多为个； 故答案为：18； （3）解：如图， ，， 四边形和是矩形， ，，，， ，， ，， 在矩形中最多放置三列，每列最多放个， ， 在矩形中最多可排列个， 由（2）的第一层一共可放置个， ， 在梯形中，第一层最多排列个， ， ， ， ， 在梯形中，第二层最多排列个， ，， ， ， ， ， 在梯形中，第三层无法排列完整的小正方形， ， 在梯形中最多可排列个， ， 在五边形内部能排列的小正方形个数最多为个． 故答案为：17. 【分析】(1)利用相似三角形求出每层位置上水平方向最大宽度，宽度除以正方形边长得到本层最多可放置的正方形数量，逐层累加即可得到总数； (2)梯形上下底长度已知，先判断底部几层宽度充足，再利用相似三角形求出靠上位置截面宽度，逐层计算正方形个数求和； (3)把五边形ABCJK分成一个矩形和一个梯形，分别计算最多可放置的正方形数量，相加即可得到总数. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $