湖南郴州市嘉禾县第六中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2026学年高二数学上学期第一次月考卷 (考试时间:120分钟试卷满分:150分) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题共58分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.过点A(1,-2)和点B(-1,4)的直线的倾斜角为() A.30 B.45 C.60 D.135 2.已知向量a,6满足a+=5,a-=4,则a.方=() A.9 B.3 C.6 3.己知圆锥的体积为93 ,侧面积是底面积的2倍,则其底面圆的半径为() A.2 B.3 c.3 D.2N2 4.如图,正三棱柱ABC-A,B,C的各棱长都为2,E、F分别为AB、AC的中点,若AB= , AC=b,AA=c,则下列向量中与EF相等的向量是() C E A. 1 -a+二b+c B.-a+6+c 2 2 2 C.a-rd la-1b+d 5.在“校园安全”知识竞赛中,对某校学生的参赛成绩进行统计,得到如图所示的频率分布直方图.其中 样本数据的分布区间为[40,100],分组区间是[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90), [90,100].根据频率分布直方图,估计该校学生参赛成绩的80%分位数是() 试卷第1页(共4页) A频率 个组距 0.030 0.020 0.015 0.010 0.005- 0405060708090100成绩/分 A.75 B.80 C.85 D.90 6.已知过点(0,-2)的直线1与以点4(3,)和B(-5,4为端点的线段AB相交,则直线1的斜率k的取值 范围是() A.(0,-25] B.[-25,1] C.(-o,-U2W5,+∞ D.(-0,-23U[l,+o) 7.如图,在直三棱柱ABC-AB,C中,∠ABC=T,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB=1,则直线 AB,到平面BCD的距离为() B A B A. B. c.3 D. 5 2 3 4 3 8.已知角a的终边过点P(-2,m),且2sin2u-sina cosa=2,则m=() A.-2 B.2 C.4 D.-4 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部 选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.己知直线1经过A(-1,1),B(m,m+1),另有两点P(-2,0),Q(-5,3),则() A.l倾斜角为0时,m=-1 B.1斜率不存在时,m=-1 1 C.存在m满足1⊥PQ D.I/PQ时,m= 2 4BC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=?,a=4,则下列说法正确的 A.若b=23,则 ABC为直角三角形 试卷第2页(共4页) B. ABC的中线BD有最小值 C.若∠MBC的平分线BD长为V3,则c= D.当 ABC为锐角三角形时,b的取值范围是(V5,25) 11.正方体ABCD-AB,CD的外接球的表面积为6m,则() A.AB=3 B.AC.BC=2 C.若点P在正方体外接球的表面上,则AP.AC的最大值为2+V6 D.若点P在正方体的表面上,A=2,则点P轨迹的长度为√2元 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知P,A,B,C四点共面,对空间任意一点O,若AP=2OA+OB+tOC,则t= 13.己知点A(-4,4),B(-2,-3),直线1经过点(-1,),若A,B位于直线1的两侧,则直线1斜率的取值 范围为 14.正 ABC边长为2V3,D,E是AB,AC中点,将AADE沿DE翻折至 ADE,当二面角A-ED-C 的大小为120 时,四棱锥A-BCDE外接球O的表面积为 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB (I)求证:平面PBD⊥平面PAC; (2)求直线PC与平面PBD所成的角的大小 16.已知坐标平面内四点A(-2,4),B(2,0),C(-1,1),F-1,V3. (1)求直线BF的斜率和倾斜角: (2)若A,B,C,D可以构成平行四边形,且点D在第一象限,求点D的坐标: (3)若E(m,n)是线段AC上一动点,求”。的取值范围. m-2 试卷第3页(共4页) 17.己知A(2,1),B(m,3),C(0,-1) (山若直线仍的顿斜角a的取值范围是(任),求实数m的值范围。 (2)若 ABC是直角三角形,求实数m的值. 18.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,ABIIDC,AD=DC=2,AP=3, AB=1,E为棱PC的中点. D B (I)求平面PAD与平面BDE夹角的余弦值: (2)求点P到平面BDE的距离. 19.如图,己知三棱柱ABC-AB,C的侧棱与底面垂直,AA=AB=AC=2,BC=2√2,M,N分别是 CC,BC的中点,点P在线段A,B上,且AP=2AB (1)证明:AM⊥PN: (2)当2取何值时,直线PN与平面AMW所成角0最小? (B)是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC所成的二面角的正弦值为V30,若存在,试确定点P的位 6 置,若不存在,请说明理由. 试卷第4页(共4页) 《2026年10月3日高中数学作业》参考答案 互薄 动弱 威思断 题号 2 3 6 6 7 8 9 10 答案 B D A B C D D C BD AC 题号 11 答案 BC 1.B 【难度】0.94 【知识点】已知两点求斜率、直线的倾斜角 【分析】利用两点先求出直线斜率,然后根据斜率与倾斜角关系求得倾斜角 【详解】由已知直线AB的斜率k=4-(-2-1, -1-1 设直线倾斜角为a,则tana=l,a∈[0 ,180 ), 所以a=45 . 故选:B. 2.D 【难度】0.85 【知识点】己知模求数量积、数量积的运算律 【分析】将条件式子两边平方,利用数量积的运算化简已知条件,从而求得 .b. 【详解】a+=5,:a+=25,即得a+6+2a-6=25, 又a-=4,同理可得a7+-2a6=16,两式相减得, 40:5=9即a-b=4 9 故选:D. 3.B 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【详解】设圆锥的底面圆半径为r,母线长为1,则圆锥的高h=√P-r产,底面积S:= r2, =3 侧面积S侧=l=2w2,得1=2r,h=V3r,则圆锥的体积y=元 w=93m,解得r=3. 4.B 【难度】0.85 【知识点】空间向量数乘运算的几何表示、空间向量的数乘运算、空间向量加减运算的几何表示、用空 答案第1页(共13页) 间基底表示向量、空间向量的加减运算 【分析】利用空间向量的基本定理求解可得答案 【详解】E、F分别为AB、AC的中点,若AB= ,AC=b,AA=c, EF-EA+A4+4F-1B4+44+4C-10 )+云+1五1元16 2 2q+b+c. 2 5.c 【难度】0.75 【知识点】频率分布直方图的实际应用、总体百分位数的估计、由频率分布直方图计算频率、频数、样 本容量、总体容量 【详解】由图知40至80所占百分数为(0.005+0.015+0.020+0.030) 10=0.70.80至90分占20%. 因此,80%分位数应为85. 6.D 【难度】0.7 【知识点】己知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】记点(0,-2)为P,求出直线PA,PB的斜率,结合斜率的变化情况可得 【详解】记点Q2)为P,由题盒可得,名1,6, -2-4 =-2√5 0-(-5) 当直线l由PA顺时针转到与y轴重合时,直线I的斜率k满足k≥1; 当直线I由y轴顺时针转到与PB直线重合时,直线I的斜率k满足k≤-2V3, 若要保证直线1与线段AB相交,则直线1的斜率k的取值范围是(-∞,-23U[儿,+∞) 7.D 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法、证明线面平行、求点面距离、求直线与平面的距离、棱柱及其有 关计算 【分析】本题考查利用坐标法求线面距,以B为原点建立空间直角坐标系,求出平面BCD的法向量, 通过计算AB n=0,从而得出AB,I/平面BCD,将直线到平面的距离转化为点A到平面的距离,利用 答案第2页(共13页) 点面距的公式计算得出答案 【详解】在直三棱柱ABC-AB,C中,BB⊥平面ABC, 又∠ABC=BM1BC 以B为原点,分别以BC、BA、BB,所在的直线为x轴、y轴、z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, Z B0ao.Baa.4o.y.cuao.D220cLan D 4瓜=0-1,Bm=(o,o),BG=La.D-G2 设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),则 BC=0 x+z=0 n.BD=0 5+分=0令=1,=1,2= ,即1,1 所以平面BCD的法向量为i=(1,-1,-1), ABn=0 1+(-1) (-1)+1 (-l)=0,.AB⊥n, 又:AB文平面BCD,.ABI/平面BCD 设直线AB,到平面BCD的距离为d,则 B.月_0x1+(-) (-)+0x(-_1-3 d= i V1+1+1 53 8.C 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算 【分析】利用三角函数的定义可求出tana,利用弦化切可得出关于m的等式,解之即可 【详解】因为角a的终边过点P(-2,m),则tana=-, 2 答案第3页(共13页) 2xm)2 m 2sin2a-sina cosa 2tan2a-tana 2月 2 所以2sina-sina cosa= sin2a+cos2a tan2a+1 +1 2 2(m2+m =2,解得m=4. m2+4 9.BD 【难度】0.75 【知识点】己知两点求斜率、直线斜率的定义、直线的倾斜角、己知直线平行求参数、己知直线垂直求 参数 【详解】选项A:直线I经过A(-1,1),B(m,m+1),I倾斜角为0时,得直线I的斜率k=0,m≠-1, 飞-+1m=0,得m=0,A错误 m-(-)m+1 选项B:直线1经过A(1,),B(m,m+1),I斜率不存在时,则A,B两点的横坐标相等,即m=-1,B 正确: 选项C:由P-2,0@53,得05-23,若LP吧,则k,(-1)=-1 k=1,月 以m=1,得m=m+1 0=1,方程无解,故不存在这样的m,C错误; m+1 总项D:川0时,得=知=-1,所以件=,得用=分此时8为 11 符合题意,D正确。 10.AC 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范 围、正弦定理解三角形、用向量解决线段的长度问题 【分析】由正弦定理判断A选项;由向量的加法和向量模的运算计算三角形中线长,判断B选项;由 S。Mc=SD+SD和三角形面积公式判断C选项;根据锐角三角形得到角的范围,再结合正弦定理得到 边的范围判断D选项. sinsinsin asin1 【详解】A选项,由正弦定理得a=b b 因为AE(Q,),所以A-分, MBC为直角三角形,A正确: B选项,因为BD是 ABC的中线,所以BD=BA+BC), D)-+2aecos/ABC)-6+4e)4+c 答案第4页(共13页) 函数y=4+c+,c在(0,o)上单调递增,故在(0,∞)没有最小值,B错误: A c选项,白8=及w+S得cs胥-0mn君宁BDs后 32 62 即v3e=5+5e 4 ,解得c= 4 3,C正确: D选项,因为B=T,所以C=元一A-B= 3 2-A, 3 0<A< 2 当 ABC为锐角三角形时,由 得<A<, <2-A< 6 所以sin<, 2 0 3 2 b 由正弦定理得 sinA sin B’ b=asin B2V3 2∈2√3,4V3,D错误, sin A sin A 11.BC 【难度】0.46 【知识点】立体几何中的轨迹问题、数量积的运算律、多面体与球体内切外接问题 【分析】A根据外接球半径计算;B利用基底计算;C设球心为O,计算OP.AC的最值;D利用球的性 质,找出截面圆心再计算 【详解】设外接球半径为R,则4R=6m,则R=6,则51B-6,得AB=N2, 2 22 故A错误; 设a=AB,b=AD,c=A4,则ACBC=(a+b(6+c)=b2=2,故B正确: 设球心为O,则AP.AC=AO+OPAC=AO.AC+OP.AC, 因为40.AC-a+6+da+b列=2(+)(2+2)=2. Om.4Cs0aC=5x2=6,等号成立时O4C同向 故AP.AC的最大值为2+√6,故C正确: 若点P在四边形BCCB内, 因为AB⊥平面BCCB,BPC平面BCCB,所以AB⊥BP, 则BP=VAP2-AB2=√4-2=V2, 故点P的轨迹是以B为圆心,V2为半径的!圆,其长度为 22= 2, 同理可得,当点P在四边形DCCD、ABCD,内时,其轨迹长度均为2元 因为AC=2,所以其在四边形ABCD内的轨迹为点C, 答案第5页(共13页) 同理可得,点P在四边形ADDA、BAAB内的轨迹分别为D,B, 故点P轨迹的长度为3V ,故D错误. D B A 0 C 12.-3 【难度】0.75 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据共面定理得到AP=xAB+yAC,再化为AP=(-x-y)OA+xOB+yOC,即可求解. 【详解】因为P,A,B,C四点共面, 所以]x,y∈R,使得AP=xAB+yAC, A=xOB-04+yOC-0A)=(-x-y)04+xOB+yoC, 又AP=2OA+OB+1OC, -x-y=2 故x=1 ,所以1=-3. y=t 13. (-1,4) 【难度】0.7 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围、根据点与直线(可行域)的位置关系 求参数 【分析】当直线1斜率存在时,写出直线I的点斜式方程,利用两点在直线两侧时代入直线一般式左端的 乘积小于0列不等式求解斜率范围;再单独检验斜率不存在的情况,求解得到斜率范围 【详解】当直线l斜率存在时,设直线1的斜率为k,由直线过点(-1,),可得直线l的点斜式方程为 y-1=k(x+1),即-y+k+1=0, 根据二元一次不等式表示平面区域的性质,若两点在直线两侧,则两点代入直线一般式左端的取值符号 相反,即乘积小于0, 答案第6页(共13页) 因此有k(-4)-4+k+1[k(-2)-(-3)+k+1]<0,化简得(-3k-3)(-k+4)<0,即3(k+1)(k-4)<0, 解得-1<k<4, 当直线l斜率不存在时,直线方程为x=-1,此时A、B均在直线左侧,属于同侧,不符合题意,舍去, 故直线1斜率的取值范围为(-1,4) 1.gix 【难度】0.42 【知识点】球的表面积的有关计算、求二面角、多面体与球体内切外接问题 【分析】取BC的中点N,连接AN,可得点A的投影G一定在直线AN上,设AN交DE于点F,可证 ∠AFN为二面角A-ED-C的平面角,四棱锥A-BCDE外接球球心O一定在过点N且垂直于平面 BCDE的直线上,过O作OH⊥A,G于H,设ON=h,借助于Rt AHO,建立关于h的方程,求出h的 值,即得外接球半径,代入表面积公式计算即得. 【详解】 如图,取BC的中点N,连接EN,DN,连接AW交DE于点F, NE-4C,ND-7AB.NB-NC-BC, 又AB=AC-BC,则4FLDE,N1DE,且NE=ND=NB=NC=x25=5, 故B,C,D,E四点共圆,且N为该圆的圆心, 因此四棱锥A-BCDE外接球球心一定在过点N且垂直于平面BCDE的直线上, 设球心为点O,则有OA=OB,易得点A的投影一定在直线AN上,不妨设为点G,则ON//AG, 过O作OH⊥AG于H,设ON=h,则OB2=ON2+BW2=h2+3, 因AF⊥DE,FN⊥DE,则∠AFN为二面角A-ED-C的平面角,即∠AFN=120 , 在RtAAGF中,∠AFG=180 -∠AFN=180 -120 =60 ,∠AGF=90 , 因4-=m=分25-是4G-94r- 4 答案第7页(共13页) 0-GN-GF+FN-4F+FN-A-AG-GH-AG-ON- iuAo中4r+o=of-oe,9-为j-份-i+3, 解得h=5v3 则0B2=2+3 55)2 6 6 3、6 12 故四棱锥4-BCDE外接球的表面积为S=4红,OB'=4 61-61 123 15.(1)证明:PA⊥底面ABCD,BDc平面ABCD,∴.PA⊥BD 底面ABCD是正方形,.AC⊥BD 又PA∩AC=A,PA,ACc平面PAC, .BD⊥平面PAC..BDc平面PBD,.平面PBD⊥平面PAC 1 (2))asin3 【难度】0.71 【知识点】证明面面垂直、求线面角、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】(I)由PA垂直底面得PA⊥BD,正方形对角线AC⊥BD,证出BD⊥平面PAC,再由面面垂 直判定定理证明. (2)利用第一问的面面垂直,作垂线找到线面角,解三角形算出角度. 【详解】(1)略。 (2)设PA=AB=1,设AC,BD交于点O 由(1),平面PBD⊥平面PAC,交线为PO, 过C作CH⊥PO于H,则CH⊥平面PBD,∠CPH就是PC与平面PBD所成角. 2 2 √6 C PC=JPRAC=2=3:POP+40 2 2 2 S.n=1.PO-CH=1OC.PA CH=OC.PA-2 2 PO 6=3 2 3 1 si加∠CPH=CH=3=},因为线面角范围[0,0],直线PC与平面PBD所成角为rcsin PC=53 答案第8页(共13页) H 16.1)-3 ,150 (2)(3,5) 剖 【难度】0.71 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围、直线的倾斜角、求平面两点间的距离 【分析】(1)利用两点坐标计算斜率,根据斜率与倾斜角的关系计算倾斜角: (2)根据平行四边形对边平行且相等,转化为直线斜率相等,根据两点坐标公式计算两点距离,由此计 算点D的坐标: (3)分析所求的式子为B(2,O)与E(m,n)连线的斜率,根据直线BE与线段AC有交点的条件下计算斜率 的范围, 【详解】(1)因为B(2,0),F-1,3): 因为直线BF的斜率为0-3-5 2+1 3 设直线BF的倾斜角为O, 则ane=- 3 ;所以直线BF的倾斜角为150 : (2)如图,当点D在第一象限时,kAn=kD,k4C=k B O.B y-1 x=3 设D(x,y),则 少。1+4 解得 y=5' 故点D的坐标为(3,5): x-2-1+2 答案第9页(共13页) (3)由题意得”为直线E的斜率, m-2 当点E与点C重合时,直线BE的斜率最小,kc=-一23 11 当点E与点A重合时,直线BE的斜率最大,k=1. 故直线BE的斜率的取值范围为 ”2的g值施用为行子 即” 17.(1)(0,4) (2)m=0或m=-4 【难度】0.71 【知识点】已知两点求斜率、直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、已知直线垂直求参数 【分析】(1)利用两点的坐标计算斜率,根据倾斜角的取值范围,确定斜率的取值范围,根据斜率的取 值范围计算参数: (2)讨论直角,根据直线垂直,斜率相乘得-1计算参数的值. 【详解】(1)由直线的倾斜角红的取值范围是), 44月得到 当直线的斜率存在,即当m≠2时,k<-1或k>1. k=3-1.2 22:22子1或2,>1,解得0<m<2或2<m<4 m-2 当直线的斜率不存在时,m=2,符合题意. 综上,实数m的取值范围是(0,4). (2)由A(2,1),B(m,3),C(0,1): 可知1w2品 0-m m: 若∠A为直角,则AC11B,kck=2,=-1,解得m=0: m-2 若∠B为直角,则AB1BC,kBkC=2, 4 。 一=-1,此时无解: m-2 m 若∠C为直角,则AC1BC,kckc-4-1,解得m=-4: m 综上,实数m=0或m=4. 18@9 【难度】0.67 【知识点】点到平面距离的向量求法、面面角的向量求法 答案第10页(共13页) 【分析】(I)以A为原点建立空间直角坐标系,求出BDE平面的一个法向量,再由向量法求解: (2)求出BP向量,再由向量法求解 【详解】(1)因为PA⊥平面ABCD,且AB⊥AD, 所以,如图以A点为原点,AB,AD,AP分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系, ZA P E y B 可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,3), 因为E为棱PC的中点, 所以》 则D=(-20,E=(au》 设平面BDE的法向量为n=(x,y,z), nBD=-x+2y=0 则 BE=+32=0,取x=6,则y=3,2=-2 则i=(6,3,-2), 又平面PAD的法向量m=AB=(L,0,0), 设平面PAD与平面BDE夹角为0,则cos0=m:月=6-6 ma1 77 面PAD与平面BDE夹角的余弦 (2)因为BP=(-1,0,3), 所以点P到平面BDE的距离d= BP.12 7 即点P到平面BDE的距离为 12 19.【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】(1)建系标点,利用空间向量证明线线垂直: (2)求平面AMN的法向量,利用空间向量求线面夹角,结合二次函数分析求解: 答案第11页(共13页) (3)假设存在,利用空间向量处理面面夹角,列式求解即可 【详解】(1)证明如下: 因为AB=AC=2,BC=2N2,则AB2+AC2=BC2,即AB⊥AC, 如图所示,以A为原点建立空间直角坐标系, BL 则A(0,0,2),B(2,0,2),M(0,2,1),N1,1,0), 可得AP=1A,B=(21,0,0),AP=A4+AP=(0,0,2)+(22,0,0)=(22,0,2), 即P(22,0,2),PN=1-22,1,-2), 又因为AM=(0,2,1),可得AM.PN=0, 所以无论2取何值,AM⊥PN (2)由(1)可知:AM=(0,2,1),AN=(1,1,0) m AM=2y+z=0 设平面AMN的一个法向量为m=(x,y,z),则 m.AN=x+y=0 取y=1,则x=-1,2=-2,可得m=(-1,1,-2), PN.m 可得sin0=cos PN,m= 2(2+2) PN(1-22)+5 令1=+2,1e2,3],则sim0=方 1 5V22-101+153,15_10 +2 2 所以当1=2,即=0时,0取得最小值,此时sin0= 3 (3)假设存在,易知平面ABC的一个法向量为1=(0,0,1) 因为MN=(1,-1,-1),PN=(1-22,1,-2), n.MN=a-b-c=0 设i=(a,b,c)是平面PMW的一个法向量,则 n.PN=(1-22)a+b-2c=0' 答案第12页(共13页) 令a=3,可得c=2-2,b=1+2,可得i=(3,1+22,2-2), 则,i= a.月。2-2刘 6 -同9+1+2)}+(2-2)6’ 化简得82-222+5=0,解得1= 5 4或 21 因为久e0小,可得天-=号 所以存在点P使平面PMN与平面ABC所成二面角正弦值为VB0,点P为4B上靠近4的四等分点, 6 答案第13页(共13页)