湖南省长沙市雅礼中学2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试题

雅礼中学2026年下学期第一次质量检测试卷 高二数学 时间：120分钟 分值:150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 两平行直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知⊙，⊙，则⊙与⊙的公切线有（ ）条. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若直线l的方向向量为，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 10. 已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B. 的最小值为 C. 若为直角三角形，则的面积为 D. 的范围为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知N，Q分别是棱的中点，，P分别是棱上的动点，下列结论正确的是（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 不存在动点M，P，使得 C. 直线CM与平面所成角的范围是 D. 若M，P分别是棱的中点，由平面MNQ分割该正方体，其中截面MNQ上方的部分为几何体，某球能够被整体放入几何体，则该球半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为________． 13. 已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为________． 14. 若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为_____________；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是_________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 16. 已知点，圆. （1）若直线与圆C相交于A，B两点，弦AB的长为，求a的值. （2）若过点M的直线l与圆C相切，求直线l的方程； 17. 某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成组，制成了频率分布直方图，如图. （1）采用按比例分配的分层随机抽样的方式从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求至少有名学生的成绩在的概率. （2）已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束.已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立.请通过计算说明如果甲、乙参加首场比赛，甲获胜的概率. 18. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，M、N分别为PB，PC中点. （1）求证:MN平面ABC； （2）若PA=2，AC=m，BC=n，且AM与平面PBC所成角的正切值为 ①当m=2时，求三棱锥P-ABC的体积； ②求BC的最大值. 19. 已知P为圆上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，连接NM并延长至点Q，使得点Q的轨迹记为曲线 （1）求曲线C的方程； （2）设曲线C的左顶点为T，当直线l与曲线C交于不同的A，B两点，连结AT，BT证明：直线l过定点； （3）若过右焦点的直线l与曲线C交于不同的A，B两点，且当时，求直线l在y轴上的截距的取值范围. 雅礼中学2026年下学期第一次质量检测试卷 高二数学 时间：120分钟 分值:150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 且， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）或 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1），分别为，的中点，， 又平面，平面，平面； （2）① ② 【19题答案】 【答案】（1） （2） 设直线 联立方程组消去y得 所以 又 所以 = 化简得即 解得或 当时，直线l过定点与点T重合，舍去， 当时，直线l过定点 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $