第1章 三角形 综合素养提升（拔尖攻略）-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

数学（浙教版）八年级上 小结 同时出发，当点P到达点A时，P,Q两 (1)运动类全等问题的核心：用“时间1”表 点同时停止运动.设点P的运动时间为 示运动线段的长度（如AP=tcm),结合全等三 t秒，则是否存在t的值，使得△BOP与 角形的判定条件(SAS,ASA等)列方程 △FCQ全等？若存在，请求出符合条件 (2)分类讨论的必要性：全等三角形的对应 顶，点不明确时，需分情况讨论（如“△ACP≌ 的t的值；若不存在，请说明理由. △BPQ”和“△ACP≌△BQP”). (3)几何与代数结合：通过线段长度的等量 关系，将几何问题转化为代数方程求解，体现“数 形结合”思想 对应练习， (备用图) (第9题) 9.如图，在△ABC中，高线AD,BE相交于 O,AE=BE,BD=2,DC=2BD. (1)求证：△AEO≌△BEC. (2)求AO的长. (3)F是直线AC上的一点，且CF= BO,动点P从点O出发，沿线段OA以 每秒1个单位长度的速度向终点A运 动，动点Q从点B出发，沿射线BC以每 秒4个单位长度的速度运动，P,Q两点 综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.如图，D是△ABC的边AC上一点，连结BD,CM平分∠ACB交BD于点H,交AB于 点M.△ABC的外角∠ACE的平分线CF所在直线与AB的延长线交于点G.当∠CBD= ∠A时，有下列结论：①∠CHD与∠G互余；②∠CBD=∠BCG;③∠MHD一∠G= 90°；④∠MHD=90°十∠A.其中，正确的结论是 () A.①② B.③④ C.②④ D.①③ H M D (第1题) (第2题) 2.如图，AD,CF分别是△ABC的高线和角平分线，AD与CF相交于点G,AE平分 ∠CAD交BC于点E,交CF于点M,连结BM交AD于点H,且BM⊥AE,延长BM交 AC于点N.有下列结论：①∠AMC=135°；②△AMH≌△BME;③AH+CE=AC; 8 第1章三角形 ④BM+MH=BN.其中，正确的结论是 () A.①② B.①②③ C.③④ D.①②③④ 3.如图，E为BC延长线上一点，D是线段AC上一点.连结DE,∠ABC的平分线与∠ADE 的平分线相交于点P,BP交AC于点K.若∠A=46°，∠E=32°，则∠P的度数为 0 >B (第3题) (第4题) 4.如图，直线PQ经过直角三角形ABC的直角顶点C,D,E分别是△ABC的边AC,BC上 的一个动点，点D从点A出发，沿AC→CB以1cm/s的速度移动到点B,点E从点B出 发，沿BC→CA以3cm/s的速度移动到点A,两个动点中有一个动点到达终点后另一个 动点继续移动到终点，过点D,E分别作DM⊥PQ,EN⊥PQ,垂足分别为M,N.若 AC=6cm,BC=8cm,设移动时间为ts,则当t的值为 时，以D,M,C为顶点的 三角形与以E,,C为顶点的三角形全等 5.如图①，在钝角三角形ABC中（∠ACB为钝角），∠B=∠BAC,D是边BC上的一个动 点，且不与点B,C重合，连结AD,AE平分∠CAD交CD于点E,过点E作EH⊥AB, 垂足为H.设∠AEH=a,∠ADC=3. (1)若∠B=30°，∠CAD=20°，求a,3的度数 (2)试探究α与3的关系，并说明理由. (3)如图②，设∠B=m°，将“D是边BC上的一个动点”改为“D是BC延长线上一点”， 其他条件不变，试探究α与3的关系， 少 H D E C (第5题) 9 数学（浙教版）八年级上 6.(1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作“偏等积三角形”.如图①，在△ABC中， AC=7,BC=9,AB=10.若P为AC上一点，则当AP的长为 时，△ABP与 △CBP是“偏等积三角形”. (2)如图②，△ABD与△ACD是“偏等积三角形”，AB=2,AC=6,且线段AD的长为正 整数，过点C作CE∥AB,交AD的延长线于点E,求AE的长， (3)如图③，四边形ABED是一个花园，C是花园内一点，AC=BC,CD=CE,∠ACB= ∠DCE=90°(0°<∠BCE<90). ①△ACD与△BCE是“偏等积三角形”吗？请说明理由. ②已知BE=60m,△ACD的面积为2100m2.如图④，计划修建一条经过点C的笔直的 小路CF,点F在边BE上，FC的延长线经过AD的中点G.若小路CF每米的造价为 600元，请计算修建小路CF的总造价. EF ④ (第6题) 10数学（浙教版）八年级上 所以S△x=SACDE.所以SAAm十S△mx=SAADE十S△cE= S△Ac,即S△Ax= 2 S△AC.所以S△Ac=2X4=8. ⑦思路导引 证明△ABD≌ 延长BA, BD-CF △ACF CE相交 BD=2CE 于点F 证明△BCE≌ CE=FE △BFE BD=2CE. 理由：如图，延长BA,CE相交于点F.因为 BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD.因为CE⊥BD,所 以∠BEF=∠BEC=90°.在△BCE和△BFE中，因为 ∠CBE=∠FBE, BE=BE, 所以△BCE≌△BFE(ASA).所以 ∠BEC=∠BEF, CE=FE.因为∠BAC=∠BEC=90°，所以∠CAF=90°， ∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°.所以∠ABD= ∠ABD=∠ACF, ∠ACF.在△ABD和△ACF中，因为AB=AC, ∠BAD=∠CAF, 所以△ABD≌△ACF(ASA).所以BD=CF.因为CF= CE+EF=2CE,所以BD=2CE. B (第7题) ⑧(1)因为点A与点D重合，DE=DF,∠BAC= ∠EDF,所以AE=AF,∠BAC=∠EAF.所以∠BAC一 ∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF.在△ABE AB-AC. 和△ACF中，因为{∠BAE=∠CAF,所以△ABE≌ AE-AF, △ACF(SAS).所以∠ABE=∠ACF.因为∠ACF=21°， ∠BAF=82,所以∠ABE=21°.所以∠BHF=∠ABE+ ∠BAF=21°+82°=103°.(2)如图，在AF上截取 FM=AE,连结DM.因为∠AGD是△GDF和△GAE的 外角，所以∠AGD=∠EDF+∠F=∠BAC+∠AED.因 为∠BAC=∠EDF,所以∠F=∠AED.在△MFD和 FM=EA, △AED中，因为∠F=∠AED,所以△MFD≌△AED DF-DE, 50 (SAS).所以DM=DA,∠MDF=∠ADE.所以∠ADM= ∠ADE+∠EDM=∠MDF+∠EDM=∠EDF.因为 ∠BAC=∠EDF,所以∠ADM=∠BAC.又因为AB= AC,AD=AC,AD=DM,所以DM=AC,AD=AB.在 DM=AC, △DAM和△ABC中，因为∠ADM=∠BAC,所以 AD-BA, △DAM≌△ABC(SAS).所以AM=BC.所以AF= AM+FM=BC+AE.所以AE=AF-BC. D (第8题) ⑨(1)因为在△ABC中，高线AD,BE相交于点O,所以 ∠AEB=∠BEC=∠BDA=90°.因为∠AOE=∠BOD, 所以∠EAO=∠EBC.在△AEO和△BEC中，因为 ∠AEO=∠BEC, RAE=BE, 所以△AEO≌△BEC(ASA).(2)因 ∠EAO=∠EBC, 为BD=2,DC=2BD,所以DC=4.所以BC=BD+DC= 6.因为△AEO≌△BEC,所以AO=BC=6.(3)存在. 由题意可知，OP=t,BQ=4t.由(1)，得△AEO2△BEC, 所以∠AOE=∠BCE.所以∠BOP=180°-∠AOE= 180°-∠BCE=∠FCQ.如图①，当△BOP≌△FCQ时， OP=CQ,所以t=6-4t,解得t=1.2.如图②，当 △BOP≌△FCQ时，OP=CQ,所以t=4t-6,解得t=2. 综上所述，当t=1.2或2时，△BOP与△FCQ全等 ① ② (第9题) [综合素养提升] ①D因为CM平分∠ACB,CF平分∠ACE,所以 ∠M=∠ACM-∠ACB,∠GCB=∠BCF-∠ACF= 合∠AE.所以∠GB+∠CM=∠ACE+号∠ACB= (∠ACE+∠AC8)=S0,即∠MG=90所以∠G+ ∠CMG=90°.因为∠CMG=∠ACM+∠A,∠CHD= ∠BCM+∠CBD,∠CBD=∠A,所以∠CMG=∠CHD: 所以∠G+∠CHD=90°.所以∠CHD与∠G互余.故① 正确.因为∠BCG+∠BCM=90°，∠A+∠G+∠ACM+ ∠BCG+∠BCM=180°，所以∠A+∠G+∠ACM=90°. 因为∠BCM=∠ACM,所以∠BCG=90°-∠BCM= 90°-∠ACM=∠A+∠G.因为∠CBD=∠A,所以 ∠BCG=∠CBD+∠G.故②错误.因为∠A+∠G+ ∠ACM=90°，∠CBD=∠A,所以∠MHD=∠BHC 180°-∠CBD-∠BCM=180°-∠A-∠ACM=180°- (90°-∠G)=90°+∠G.所以∠MHD-∠G=90°.故③正 确.因为∠A不一定与∠G相等，所以∠MHD=90°+∠A 不一定成立.故④错误综上所述，正确的结论是①③， ②D因为AD是△ABC的高线，所以∠ADC=90°.所以 ∠ACD+∠CAD=180°-90°=90°.因为CF是△ABC的 角平分线，AE平分∠CAD,所以∠MCA=∠MCB= 3∠ACD,∠MAC=∠HAM=7∠CAD.所以∠MCA+ ∠MAC=3∠ACD+号∠CAD=3×90=45.所以 ∠AMC=180°-（∠MCA+∠MAC)=135°.故①正确.因 为AD是△ABC的高线，BM⊥AE,所以∠ADC= ∠AMB=∠BME=∠AMN=90°.因为∠AHM= ∠BHD,所以∠HAM=90°-∠AHM=90°-∠BHD= ∠MBC.又因为∠MAC=∠HAM,所以∠MAC= 「∠MCA=∠MCB, ∠MBC.在△MAC和△MBC中，因为∠MAC=∠MBC, MC-MC, 所以△MAC≌△MBC(AAS).所以MA=MB.在△AMH ∠HAM=∠EBM, 和△BME中，因为MA=MB, 所以△AMH≌ ∠AMH=∠BME △BME(ASA).故②正确.因为△AMH≌△BME, △MAC≌△MBC,所以AH=BE,AC=BC.所以AH+ CE=BE+CE=BC=AC.故③正确.在△AMH和 ∠HAM=∠NAM, △AMN中，因为AM=AM, 所以△AMH≌ ∠AMH=∠AMN, △AMN(ASA).所以MH=MN.所以BM+MH=BM+ MN=BN.故④正确.综上所述，正确的结论是①②③④. 附：答案与解析 ③TP设∠ABK=x,∠AKB=y,∠ADP=之.根据题意， 得∠ABC=2∠ABK=2x,∠ADE=2∠ADP=2x,∠A= 180°-x-y,所以∠DCE=∠A+∠ABC=180°+x-y, ∠CDE=180°-∠ADE=180°-2x.所以∠E=180°- ∠DCE-∠CDE=180°-(180°+x-y)-(180°-2x)= 2z-x十y-180°.因为∠AKP是△PKD和△ABK的外 角，所以∠P=∠AKP-∠ADP,∠AKP=∠A+ ∠ABK.所以∠P=∠A+∠ABK-∠ADP=180° ∠AKB-∠ADP=180°-y-之.所以∠A-∠E=(180°- x-y)-(2x-x+y-180°)=2(180°-y-z)=2∠P.所 以∠-2（∠A-∠E)-2×(46-32)= O1或7或12由题意，易得△DMC与△ENC始终有 对应角相等，所以要使这两个三角形全等，只要满足CD= CE.分四种情况讨论：①当点E在BC上，点D在AC上， 即0<≤号时，CE=(8-3)cm,CD=(6-)cm所以 6-t=8-3t.所以t=1.②当点E在AC上，点D在AC 上即<<号时，E-(-8m,(D-(6-》m所 7 以6-t=3-8.所以1=2③当点E到达点A,点D在 AC上，即号<6时不符合题意①当点E到达点A, 点D在BC上，即6≤t≤14时，CE=6cm,CD=(t一 6)cm.所以t一6=6.所以t=12.综上所述，t的值为1或 或记 ⑤(1)因为∠CAD=20°，AE平分∠CAD,所以∠CAE= ∠DAE=号∠CAD=2×20=10.因为∠BAC=∠B= 30°，所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=30°-20°=10°， ∠BAE=∠BAC-∠CAE=30°-10°=20°.因为EH⊥ AB,所以∠AHE=90°.所以∠AEH=180°-90°- ∠BAE=90°-20°=70°，即a=70°.因为∠B=30°， ∠BAD=10°，所以∠ADC=∠B+∠BAD=30°+10°= 40°，即B=40°.(2)2a+B=180°.理由：设∠DAC= 2y,∠BAC=∠B=x.因为AE平分∠DAC,所以∠DAE= ∠CAE=号∠DAC=.所以∠BAE=∠BAC ∠CAE=x-y,∠BAD=∠BAC-∠DAC=x-2y.因为 EH LAB,所以∠AHE=90°.所以∠AEH=180°-90°- ∠BAE=90°-(x一y),即a=90°-(x-y).因为 51 数学（浙教版）八年级上 ∠BAD=x-2y,∠B=x,所以∠ADC=∠B+∠BAD= 2-2y,即B=2x-2y.所以a=90°-2月，即2a+B= 180°.(3)设∠CAD=2m°，因为AE平分∠CAD,所以 ∠CAE=∠DAE=号∠CAD=因为∠BAC=∠B= m°，所以∠BAE=∠BAC十∠CAE=(m+n)°.因为 EH⊥AB,所以∠AHE=90°.所以∠AEH=180°-90° ∠BAE=90°-(m+n)°，即a=90°-(m+n)°.因为∠B= m°，∠BAD=∠BAC+∠CAD=(m+2)°，所以 ∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-m°-(m+2)°= 180°-2(m+n)°，即B=180°-2(m+n)°.所以B=2a. O(I)子.因为△ABP与△CBP是“偏等积三角形”， 所以S△m=5.所以AP=CP=号AC=子因为 AP=CP,PB=PB,AB≠BC,所以△ABP与△CBP不 全等.所以△ABP与△CBP是“偏等积三角形”，符合题 意.(2)因为△ABD与△ACD是“偏等积三角形”，所以 S△ABn=S△ACD.所以BD=CD.因为CE∥AB,所以 ∠ECD=∠B,∠E=∠BAD.在△CDE和△BDA中，因 ∠ECD=∠B, 为3∠E=∠BAD,所以△CDE≌△BDA.所以CE= CD-BD, BA=2,ED=AD.所以AE=ED+AD=2AD.因为线段 AD的长为正整数，所以AE的长为偶数.在△ACE中，因 为AC-CE<AE<AC+CE,所以6-2<AE<6+2,即 4<AE<8.所以AE=6.(3)①△ACD与△BCE是“偏 等积三角形”.理由：如图①，过点A作AM⊥DC,交DC 的延长线于点M,过点B作BN⊥CE于点N,则 ∠AMC=∠BNC=90°.因为∠ACB=∠DCE=90°，且 ∠BCN+∠ACD=360°-∠ACB-∠DCE=360°-90°- 90°=180°，∠ACM+∠ACD=180°，所以∠ACM= (∠AMC=∠BNC, ∠BCN.在△ACM和△BCN中，因为∠ACM=∠BCN, AC-BC, 所以△ACM≌△BCN.所以AM=BN.因为SAACD= 2CD·AM,Sm=CE·BN,5所以Sam=Sa.因 1 为∠BCE+∠ACD=180°，0°<∠BCE<90°，所以 ∠ACD≠∠BCE.因为CD=CE,AC=BC,所以△ACD 与△BCE不全等.所以△ACD与△BCE是“偏等积三角 形”.②如图②，过点A作APCD,交CG的延长线于 52 点P,则∠P=∠GCD.因为G为AD的中点，所以AG= ∠P=∠GCD, GD.在△AGP和△DGC中，因为∠AGP=∠DGC,所以 AG=DG, △AGP≌△DGC.所以AP=DC.因为CD=CE,所以 AP=CE.因为AP∥CD,所以∠CAP+∠ACD=180°.因 为∠ACB=∠DCE=90°，所以∠ACD+∠BCE=360° 90°-90°=180°.所以∠CAP=∠BCE.在△ACP和 AP=CE, △CBE中，因为∠CAP=∠BCE,所以△ACP≌△CBE. AC=CB, 所以∠ACP=∠CBE.因为∠ACP+∠BCF=180°一 90°=90°，所以∠CBE+∠BCF=90°.所以∠BFC=90° 所以CF⊥BE.由①，得△ACD与△BCE是“偏等积三角 形，所以5m=2BECF.5am=5am=210m2. 所以CF-2S整-2X2100=70(m.所以修建小路C下 BE 60 的总造价为600×70=42000（元）. 。 ① ② (第6题) 第2章特殊三角形 [高频考点突破] OB因为△PBC的面积等于△ABC的面积的号，所以 易得点P在线段AD的垂直平分线上.如图，作点B关于 AD的垂直平分线的对称点B',连结B'C,交AD的垂直平 分线于点P.易得B'B=AD,B'B⊥BC,B'P=BP,所以 BP+PC=B'P+PC=B'C,此时PB+PC的值最小.因 为AD=BB',AD=BC,所以BB'=BC.所以△BCB是等 腰直角三角形.所以∠B'CB=∠B'=45°.因为B'P=BP, 所以∠B'BP=∠B'=45°.又因为∠B'BC=90°，所以 ∠PBC=45°. B D (第1题)