专题03 利用轴对称的性质解决将军饮马问题的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以轴对称性质为核心，构建将军饮马问题五种模型（直线、三角形、角、全等三角形、实际应用）的阶梯式训练体系，实现从模型认知到综合应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线型|5题（含作图与计算）|作对称点转化线段和为两点间距离|轴对称性质→基础模型构建→网格应用| |三角形|4题（含垂直平分线、角平分线）|结合特殊三角形性质定位对称点|基础模型→三角形背景拓展→动态最值| |角模型|4题（含双动点）|两次轴对称转化折线为直线|单一直线→角内双路径→周长最小化| |全等三角形|2题（含折叠与动点）|利用全等性质迁移对称转化思想|静态模型→图形变换→综合应用| |实际应用|5题（含牧民饮马、管道铺设）|抽象为几何模型并应用对称法|数学建模→实际问题解决→核心素养落地|

专题03 利用轴对称的性质解决将军饮马问题的五种模型 题型一 在一直线中找线段和最小值的点 题型二 在三角形中找线段和最小值问题 题型三 在某一角中线段和最小值的问题 题型四 在全等三角形中线段和最小值的问题 题型五 实际应用问题中的最短路径问题 题型一：在一直线中找线段和最小值的点 1．B 2．C 3． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 4． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解，最小值为 (3)作图见详解 (4)点到的距离为 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：如图所示： 点即为所求， 则最小值； （3）解：如图所示： 点即为所求； （4）解：过点作于点，如图所示： ∵， ∴， 解得， ∴点到的距离为． 5． 【答案】(1)作图依据：两点之间线段最短 (2) (3) 【详解】（1）解：连接，与直线l相交于点C，则有最小值． （2）解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． （3）解：作法：①作点Q关于的对称点C， ②作点Q关于的对称点D， ③连接，分别交于点M，交于点N，则的周长最小． 题型二：在三角形中找线段和最小值问题 6．C 7．8 8． 9． 【答案】(1)6，理由见解析 (2)10 【详解】（1）解：当A,B,P三点共线时，PA+PB最小 ； 原因：两点之间，线段最短． （2）∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上， ∴点C关于直线m的对称点是点B， 则， ∵， ∵， 要使周长最小， 即最小， 当点P是直线m与AB的交点时，最小， 即，此时． 题型三：在某一角中线段和最小值的问题 10.B 11．70 12. 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图即为所作三角形    分别过点作、的对称点，连接分别交、于点、，连接、，则即为所求； （2）如图，由（1）知， ， ， ， 是等边三角形 周长的最小值为．    13． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 题型四：在全等三角形中线段和最小值的问题 14. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵∠DEC=∠ACE， ∴DE∥AC， ∵∠DCE=∠B， ∴CD∥AB， ∵∠EAC=∠ACB， ∴AE∥CB； （2）如图，延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P， ∵AB=AQ，AC⊥BQ， ∴AC是BQ的垂直平分线， ∴BP=PQ， ∴BM+PM=PQ+PM=MQ； 即此时BP＋PM取得最小值； （3）如图，延长DE至点N，使EN=DE，连接AN， ∵AE∥DB， ∴∠NEA=∠NDC，∠NAE=∠B， ∴∠ENA=90°， ∴△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得到， ∴AN=CE， 连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H， ∵DE=NE，CE⊥DN， ∴DP=NP， ∴DP+PM=NP+PM， 当N、P、M三点共线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度， ∵S△BDN=×DN×BN=×BD×NH， ∴2c×NH=2a×2b， 解得NH=， ∴DP+PM的最小值为． 15. 【答案】(1) (2)9 (3)当时，；当时， 【详解】（1）解：∵沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，在上取点，使得，连接， 根据对称的性质，，    ∴， 要求的最小值，求的最小值即可， ∴当B、P、M三点共线，且时，取得最小值， 此时，如图所示，    由对称的性质，， ∵取得最小值时，， ∴， 即：，解得：， ∴的最小值为9； （3）解：①当时，； ∵由翻折变换的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由翻折的性质，当时，． 题型五：实际应用问题中的最短路径问题 16． 【答案】(1)， (2) 如图，点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置， 故答案为：，，； （2）解：作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 17． 【答案】(1)④，两点之间，线段最短； (2)11 (3) 解：如图，最短， 理由：过点P分别作的对称点，， 连接与交点即为点C，D． ，， 最短． 【详解】（1）解：正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）解：过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点P， 由对称轴的性质可得：，， ，， 的周长最小值为： ； （3）略 18． 【答案】任务1：520米 任务2：（1）6，理由：由“两点之间线段最短”，当在与直线的交点时， ∴的最小值为． （2）10 任务3：9 【详解】任务1 解：作关于河岸的对称点，设的中点为M，连接， ∵，且点到中点的距离为米， ∴到该中点的距离为米， ∵， ∴， ∴，， 又点C、M、D在同一条直线上，则, ∴, ∴点在同一条直线上， 最短距离（米）． 故答案为：． 任务2 （1）略 （2）解：∵直线是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的最小值为, ∴的最小值为6, ∴周长最小值． 任务3 解：作关于的对称点，关于的对称点，连接交于、交于，则此时，取得最小值．连接． 则，，，， ，， ∵，， ∴． 19． 【答案】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 20． 【答案】【数学建模】， ① ，； 【问题拓展】 桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 【迁移应用】米 【详解】，①，； 解：【问题拓展】略 解：【迁移应用】如图所示， 过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于直线对称点， ∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得 ， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03利用轴对称的性质解决将军饮马问题的五种模型 题型归纳 题型一在一直线中找线段和最小值的点 题型二在三角形中找线段和最小值问题 题型三在某一角中线段和最小值的问题 题型四在全等三角形中线段和最小值的问题 题型五实际应用问题中的最短路径问题 题型专练 题型一：在一直线中找线段和最小值的点 1.(25-26八年级上湖北期中)如图，牧民从P地出发，到一条笔直的河边1饮马，然后到9地.要使牧 民所走的路径最短，这个饮马的地点是() - P。 A B C D A.点A B.点B C.点C D.点D 2.(25-26八年级上广东东莞期末)如图，在4×4的正方形网格中，直线a外，有A,B两点，在直线4 上求一点P,使PA+PB最短，则点P的位置应选在点 处，（填图中的字母） A0--7----r-- 3. (2025浙江台州·三模)如图，在正方形网格中，点A为格点（网格线的交点），点B在网格线上，仅 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 使用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹. B m 图1 图2 (I)如图1，在直线m上找到一点P,使得AP+BP的值最小： (2)如图2，部分网格被墨汁污染，在仅剩的网格中，标出格点Q,使线段BQ的长度等于(1)中的最小值. 4.(25-26七年级上山东烟台期中)如图，每一个小正方形的边长为1. 6 (I)画出格点△ABC关于直线DE的对称的△A'B'C': (②)在DE上画出点P,使PA+PC最小.求出(PA+PC)的最小值： (3)在DE上画出点Q,使PA-QB最大： (4)求点B到AC所在直线的距离， 5.(25-26七年级下重庆南岸·期末)唐代诗人李颀的诗句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，引出 一系列有趣的数学问题，通常称为将军饮马问题， ·B B -B ① ② ③ (I)如图①，若点A和点B分别在直线I的两侧，请作示意图，在直线I上找点C,使得CA+CB有最小值， 并写出作图依据： (2)如图②，若点A和点B分别在直线I的同侧，请作示意图，在直线I上找点P,使得PA+PB有最小值： (3)如图③，定点Q在∠AOB内部，点M,N分别在射线OA,OB上，请作示意图，确定点M,N,使 得△OMN的周长最小. 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二：在三角形中找线段和最小值问题 6.(25-26七年级上江苏苏州阶段检测)如图，AC=3,BC=4,AB=5,点D是平面内一点，且满足 AD=2CD,则2BD+AD的最小值是() D A.6 B.7 C.8 D.9 7.(25-26八年级上全国期中)如图，己知点D,E分别是等边三角形ABC中BC,AB边的中点.若 AD=8,点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为 E B D 8.(25-26七年级下·广东清远期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,△ABC的面积为7，BD平分 ∠ABC,若M,N分别是BD,BC上的动点，则CM+MN的最小值为 M 9.(25-26八年级上山西吕梁期末)如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的 一动点，若AB=6,AC=4,BC=7, 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求PA+PB的最小值，并说明理由. (2)求△APC周长的最小值. 题型三：在某一角中线段和最小值的问题 10.如图，已知∠AOB=15°，点M在边OB上，且OM=4,点N和点P分别是OM和OA上的一个动点，则 PM+PN的最小值为() A M B A.1 B.2 C.3 D.4 11.(26-27八年级上·湖南湘潭·开学考试)如图，已知∠A0B=55°，点P是∠A0B内一定点，将军牵马 从军营P出发，先到河流OA边上一点C饮马，再到草地OB边上一点D吃草，最后回到军营P.当将军走 过的路程PC+CD+DP最短时，则∠CPD=_ B 12.点C为∠AOB内一点. A C B (I)在OA上求作点D,OB上求作点E,使△CDE的周长最小，请画出图形： (2)在(1)的条件下，若∠AOB=30°，OC=10,求aCDE周长的最小值. 13.(25-26八年级上辽宁大连期中)综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将 军饮马问题”时抽象出数学模型：直线I同侧有两个定点A,B,在直线I上存在点C,使得CA+CB的值最 小 小明的作法是：如图2，作点B关于直线I的对称点B,连接AB',则AB'与直线I的交点即为点C,且 CA+CB的最小值为AB的长， 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 图4 图5 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点C',连接AC',BC',B'C', 证明AC+BC<AC'+BC'即可. (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在△ABC中，直线m是边BC的垂直平分线，点P是直线m上的动点.若AB=6,AC=5, BC=8,则△APC周长的最小值为 (3)如图5，已知∠MON=35°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A,ON上有一点B,当△PAB的周长 取最小值时，∠APB的大小为度， 题型四：在全等三角形中线段和最小值的问题 14.直观感知和操作确认是几何学习中发现结论的重要方式，解决下列问题， E ●y BD 图1 图2 图3 (1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线： (2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中 C心BM),点P是线段AC上的一个动点，画出BP+PM取得最小值时点P的位置，并说明理由： (3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P 是线段CE上的一个动点，若AC=a、CE=b、AE=C(其中a、b、c为常数)，求DP+PM的最小值， 15.如图，已知△ABC≌△CDA,将△ABC沿AC所在的直线折叠至△ABC的位置，点B的对应点为B',连 结BB (备用图1) (备用图2) (1)直接填空：BB与AC的位置关系是 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)点P、Q分别是线段AC、BC上的两个动点（不与点A、B、C重合），己知△BB'C的面积为36， BC=8,求PB+PO的最小值： (3)试探索：△ABC的内角满足什么条件时，△ABE是直角三角形？ 题型五：实际应用问题中的最短路径问题 16.(25-26八年级上内蒙古呼和浩特期中)如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边1处饮马，然 后回到B地.牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ B B B 图① 图② 图③ 图④ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线1的对称点B',连接AB与直 线I交于点P,点P就是饮马的位置 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线I的对称点B,连接AB与直线1交于点P',在直线1上任取一点P(与点 P'不重合)，连接BP 点B与点B关于直线I对称 ..PB= PB= ∴.AP+PB=AP+PB'≥ 当A,P,B三点共线，即点P与点P'重合时，AP+BP的值最小，最小值为AB的长，即点P'就是饮马 的位置 (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧，现要在河岸CD上建一水厂P,并从 水厂向两村铺设管道以输送自来水.请你在河岸CD上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短.（保 留作图痕迹，不写作法) 17.(25-26七年级下江苏徐州期中)【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望 烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题一一将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发， 先到河流边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方案① B 方案② m 4.18 B 方案③ 方案④ C B 图1 图2 图3 ()【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案.正确的方案是 (填序号)，此方案中用到的求最短路程的数学知识是 (2)【解决问题】如图2，在△ABC中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线上的动点.若 AB=5,AC=6,BC=8,求△ABP周长的最小值. (3)【类比探究】如图3，点P是∠AOB内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流OA边上一点C饮马， 再到草地OB边上一点D吃草，最后回到军营P.请在图3上画图：使将军走过的路程PC+CD+DP最短， (尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线)并说明理由 18.(25-26八年级上·福建龙岩期中)请根据以下素材，完成探究任务. 探索最短距离 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转 背景材 化的数学思想.这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路 料 径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=BD,若 点A到河岸CD的中点的距离为260米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是 米 任务1 C D 河 A B 如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若 AB=6,AC=4,BC=7 任务2 (I)求PA+PB的最小值，并说明理由： (2)求△APC周长的最小值. 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m A 如图∠AOB=30°，点MN分别在边OA、OB上，且OM=2,ON=9,点P、Q分别在边OB 、OA上，则当MP+Pg+QN取最小值时，求S.e+Seor+SMor的值. 任务3 19.(25-26八年级上·全国课后作业)综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣 的数学问题一一将军饮马.如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边1饮马后再回到点B宿 营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ ·P B A 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 【分析问题】 (1)小亮：如图②，作点B关于1的对称点B,连接AB与I交于点C,点C就是饮马的地方，此时按路 线AC-CB走的路程就是最短的. 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在1上另取一点C',连接AC,BC,B'C,只要证明AC+CB<AC'+C"B即可.请写出小 亮的证明过程. 【解决问题】 (2)任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边OA饮马，再到草地OB牧马，最后回到P处， 试分别在OA和OB上各找一点E,F,使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路 8/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 径用实线)： (3)任务二：如图⑤，在P,Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过 这两条河.现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥EF,MN,则这两座桥EF,MN造在何处可使 由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置)？ 20.(25-26八年级下·广东深圳期末)【综合实践活动】 【问题背景】如图1，A,B表示两个村庄，要在A,B一侧的河岸边建造一个抽水站P,使得它到两个村 庄的距离和最短，抽水站P应该修建在什么位置？ 村庄B 村庄A 河流 图1 图2 图3 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图2，A,B是直线I同侧的两个点，点P在直线I上.P在何处时，PA+PB的值最小. 画图：如图3，作B关于直线I的对称点B,连结AB与直线I交于点P,点P的位置即为所求 证明：B和B关于直线I对称 ∴·直线I垂直平分BB ..PB= .PA+PB=PA+PB' 根据“ ”(填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线.)可得 PA+PB最小值为. (填线段名称)，此时P点是线段AB和直线的交点 【问题拓展】如图4，村庄B的某物流公司在河的对岸有一个仓库C(河流两侧河岸平行，即GD∥EF), 为了方便渡河，需要在河上修建一座桥MN(桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直)， 请问桥MN修建在何处才能使得B到C的路线最短？请你画出此时桥MN的位置（保留画图痕迹，否则不 给分)· 村庄B G M D 河流■ E /N 仓库C 图4 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形AEDC为花海景区，∠CDE=∠E=90°，AE=80米， 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE=50米，长方形CFGH为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线 AM-MN-BN),A为起点，终点B在ED上，BD=30米，MN为湖边观景台，长度固定不变 (MN=40米)，且需要修建在湖边所在直线CF上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化， 请直接写出步行观光路线的最短长度. G E B D 99999 N 人 花海 工 M 湖 C H 马路 图5 10/10 专题03 利用轴对称的性质解决将军饮马问题的五种模型 题型一 在一直线中找线段和最小值的点 题型二 在三角形中找线段和最小值问题 题型三 在某一角中线段和最小值的问题 题型四 在全等三角形中线段和最小值的问题 题型五 实际应用问题中的最短路径问题 题型一：在一直线中找线段和最小值的点 1．（25-26八年级上·湖北·期中）如图，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．要使牧民所走的路径最短，这个饮马的地点是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称 - 最短路径问题，其理论依据是两点之间线段最短以及轴对称的性质．解题关键在于利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点，把求折线的最短长度问题转化为求线段的长度问题，即运用“化折为直”的思想也是“将军饮马”模型的典型运用．作出点关于直线的对称点．连接，与直线交点即是所求饮马点． 【详解】 作出点关于直线的对称点（在图中可通过网格的对称性直观地确定) 的位置）．此时直线上的点到点，点距离都相等，将同侧折线段，转化为异侧折线段（折线中间点为动点），连接，可以发现与直线相交于点（通过观察网格中线段的位置关系得出）．此时最短路劲为（两点之间线段最短）． 所以，要使牧民所走的路径最短，这个饮马的地点是点， 答案为：B． 2．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点_______处，（填图中的字母） 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故答案为：C． 3．（2025·浙江台州·三模）如图，在正方形网格中，点为格点（网格线的交点），点在网格线上，仅使用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)如图，在直线上找到一点，使得的值最小； (2)如图，部分网格被墨汁污染，在仅剩的网格中，标出格点，使线段的长度等于（）中的最小值． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，由轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，故点即为所求； （）取点，作点关于直线的对称点，连接，由轴对称可知，故线段即为所求； 本题考查了轴对称最短线段问题，作轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 4．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，每一个小正方形的边长为1． (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点，使最小．求出的最小值； (3)在上画出点，使最大； (4)求点到所在直线的距离． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解，最小值为 (3)作图见详解 (4)点到的距离为 【分析】本题考查对称作图、勾股定理、网格中求三角形面积及等面积法求三角形的高等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，连接三个顶点即可得到； （2）连接交直线于点，使最小，此时的最小值就是线段，在网格中由勾股定理求解即可得到答案； （3）延长交直线于点，使最大； （4）由等面积法，根据，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：如图所示： 点即为所求， 则最小值； （3）解：如图所示： 点即为所求； （4）解：过点作于点，如图所示： ∵， ∴， 解得， ∴点到的距离为． 5．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）唐代诗人李颀的诗句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，引出一系列有趣的数学问题，通常称为将军饮马问题． (1)如图①，若点和点分别在直线的两侧，请作示意图，在直线上找点，使得有最小值，并写出作图依据； (2)如图②，若点和点分别在直线的同侧，请作示意图，在直线上找点，使得有最小值； (3)如图③，定点在内部，点，分别在射线，上，请作示意图，确定点，，使得的周长最小． 【答案】(1)作图依据：两点之间线段最短 (2) (3) 【分析】（1）依据两点之间线段最短得出答案； （2）利用对称的性质即可得出结果； （3）分别作Q关于、的对称点C、D，连接，交、于点M、N，则的周长最小． 【详解】（1）解：连接，与直线l相交于点C，则有最小值． （2）解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． （3）解：作法：①作点Q关于的对称点C， ②作点Q关于的对称点D， ③连接，分别交于点M，交于点N，则的周长最小． 题型二：在三角形中找线段和最小值问题 6．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知点，分别是等边三角形中，边的中点．若，点是线段上的动点，则的最小值为________． 【答案】8 【分析】本题考查了“将军饮马”问题：将B关于对称到C，，再根据三角形三边关系，数形结合即可得到最小值． 【详解】解：如图，连接，． 是等边三角形，D是中点，E是中点， ∴是的垂直平分线，， ， ，当且仅当C、F、E三点共线时，等号成立， ∴的最小值为8． 8．（25-26七年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于对称点，连接，则，由得当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点， ∴在上， 连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为7， ∴， ∴ ， 即的最小值为， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，． (1)求的最小值，并说明理由． (2)求周长的最小值． 【答案】(1)6，理由见解析 (2)10 【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论； （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论． 【详解】（1）解：当A,B,P三点共线时，PA+PB最小 ； 原因：两点之间，线段最短． （2）∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上， ∴点C关于直线m的对称点是点B， 则， ∵， ∵， 要使周长最小， 即最小， 当点P是直线m与AB的交点时，最小， 即，此时． 题型三：在某一角中线段和最小值的问题 10.如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，垂线段最短及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，作M关于的对称点，过作交于一点即为最小距离和点P，结合直角三角形角所对直角边等于斜边一半求解即可得到答案． 【详解】解：作M关于的对称点，过作交于一点P，如图所示， ∵是M关于的对称点，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴． ∴， 故选：B． 11．（26-27八年级上·湖南湘潭·开学考试）如图，已知，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．当将军走过的路程最短时，则__________． 【答案】70 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，此时，路程最短；通过对称性得出为等腰三角形且顶角为，进而求出底角；最后利用对称性将底角转化为和，求和即可得到． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，如下图： 此时，路程最短， 由对称性质可知，，． ， ， ， ∵， ， 由对称性质可知，， ，， ． 12.点为内一点．    (1)在上求作点上求作点，使的周长最小，请画出图形； (2)在（1）的条件下，若，，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称作图和轴对称的性质、两点之间线段最短、等边三角形的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据两点之间线段最短和轴对称的性质可确定动点的位置，从而可得所求图形； （2）由轴对称的性质得对应线段和对应角相等，从而得出等边三角形并根据等边三角形的性质，结合条件即可求解． 【详解】（1）解：如图即为所作三角形    分别过点作、的对称点，连接分别交、于点、，连接、，则即为所求； （2）如图，由（1）知， ， ， ， 是等边三角形 周长的最小值为．    13．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 题型四：在全等三角形中线段和最小值的问题 14.直观感知和操作确认是几何学习中发现结论的重要方式，解决下列问题． (1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线； (2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中CM>BM），点P是线段AC上的一个动点，画出BP＋PM取得最小值时点P的位置，并说明理由； (3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P是线段CE上的一个动点．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c为常数），求DP＋PM的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的判定定理解答即可； （2）延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P； （3）延长DE至点N，使EN=DE，连接AN，证得△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得到，连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H，求出DP=NP，得到DP+PM=NP+PM，当N、P、M三点共线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度，利用S△BDN=×DN×BN=×BD×NH求出NH即可． 【详解】（1）解：∵∠DEC=∠ACE， ∴DE∥AC， ∵∠DCE=∠B， ∴CD∥AB， ∵∠EAC=∠ACB， ∴AE∥CB； （2）如图，延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P， ∵AB=AQ，AC⊥BQ， ∴AC是BQ的垂直平分线， ∴BP=PQ， ∴BM+PM=PQ+PM=MQ； 即此时BP＋PM取得最小值； （3）如图，延长DE至点N，使EN=DE，连接AN， ∵AE∥DB， ∴∠NEA=∠NDC，∠NAE=∠B， ∴∠ENA=90°， ∴△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得到， ∴AN=CE， 连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H， ∵DE=NE，CE⊥DN， ∴DP=NP， ∴DP+PM=NP+PM， 当N、P、M三点共线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度， ∵S△BDN=×DN×BN=×BD×NH， ∴2c×NH=2a×2b， 解得NH=， ∴DP+PM的最小值为． 15.如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．      (1)直接填空：与的位置关系是__________； (2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值； (3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 【答案】(1) (2)9 (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据轴对称的性质即可判断； （2）根据对称的性质，在上取点，使得，结合对称性质推出，确定三点共线且垂直于时，取得最小值，结合面积进行计算即可； （3）分和两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答． 【详解】（1）解：∵沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，在上取点，使得，连接， 根据对称的性质，，    ∴， 要求的最小值，求的最小值即可， ∴当B、P、M三点共线，且时，取得最小值， 此时，如图所示，    由对称的性质，， ∵取得最小值时，， ∴， 即：，解得：， ∴的最小值为9； （3）解：①当时，； ∵由翻折变换的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由翻折的性质，当时，． 题型五：实际应用问题中的最短路径问题 16．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)， (2) 如图，点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可． 【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置， 故答案为：，，； （2）解：作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 17．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ (1)【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________． (2)【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值． (3)【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由． 【答案】(1)④，两点之间，线段最短； (2)11 (3) 解：如图，最短， 理由：过点P分别作的对称点，， 连接与交点即为点C，D． ，， 最短． 【分析】（1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短． 【详解】（1）解：正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）解：过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点P， 由对称轴的性质可得：，， ，， 的周长最小值为： ； （3）略 18．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探索最短距离 背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． 任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是__________米． 任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若． （1）求的最小值，并说明理由； （2）求周长的最小值． 任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值． 【答案】任务1：520米 任务2：（1）6，理由：由“两点之间线段最短”，当在与直线的交点时， ∴的最小值为． （2）10 任务3：9 【分析】本题考查了最短路径问题（涉及轴对称、垂直平分线的性质），解题的关键是利用轴对称或垂直平分线“到线段两端点距离相等”的性质，将折线路径转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解． 任务1通过作对称点，结合中点与的条件转化路径求最短距离； 任务2利用垂直平分线性质转化线段，结合线段最短求及三角形周长的最小值； 任务3作对称点转化折线路径，结合角度条件求面积和． 【详解】任务1 解：作关于河岸的对称点，设的中点为M，连接， ∵，且点到中点的距离为米， ∴到该中点的距离为米， ∵， ∴， ∴，， 又点C、M、D在同一条直线上，则, ∴, ∴点在同一条直线上， 最短距离（米）． 故答案为：． 任务2 （1）略 （2）解：∵直线是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的最小值为, ∴的最小值为6, ∴周长最小值． 任务3 解：作关于的对称点，关于的对称点，连接交于、交于，则此时，取得最小值．连接． 则，，，， ，， ∵，， ∴． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【答案】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求； （3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 【详解】略 20．（25-26八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【答案】【数学建模】， ① ，； 【问题拓展】 桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 【迁移应用】米 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 【数学建模】由垂直平分线的性质得，由两点之间线段最短得； 【问题拓展】解过作垂直于河岸，使得，连接交另一河岸于，过 作垂直河岸于，即为所求； 【迁移应用】过作，使得，作关于直线对称点，连接交直线于，此时使得最短，最后由勾股定理求解即可． 【详解】，①，； 解：【问题拓展】略 解：【迁移应用】如图所示， 过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于直线对称点， ∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得 ， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $