第1章 三角形 拔尖自主测评-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 第1章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.如图，现用剪刀把甲、乙两根小棒中的一根剪断，若得到的两根小棒与另一根能组成三角形，则剪 断的是 () A.甲 B.乙 C.甲或乙 D.甲或乙均不可以 (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE,BC=EF,且点A在EF上，点D在BC上.下列条件 中，添加后仍然不能判定△ABC≌△DEF的是 () A.∠B=∠E B.AC=DF C.∠C=∠F D.AB∥DE,EF∥BC 3.根据如图所示的尺规作图痕迹，下列结论中，不一定成立的是 () A.EA-ED B.DE⊥AB C.AF//DE D.AE-AF 4.如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的中线，DF⊥AB于点F.若S△AEc=6,DF=2, AC=7.5,则AB的长是 () A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 07D (第4题) (第5题) (第6题) 5.如图，AD交BC于点O,∠BAD的平分线与△OCD的外角∠OCE的平分线交于点P,∠B ∠D,有下列结论：①∠PA0+∠PCE=90:②∠PAB=∠CD;@∠P=90+∠D: ④∠P=90°+号∠B.其中正确的结论的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，在△ABO和△CDO中，OA=OB=a,OC=OD=b(0<a<b),∠AOB与∠COD互补，连 结AC,BD,BC,AD,E是BD的中点，连结OE,下列结论中，正确的是 () A.AD-BC B.AC=20E C∠BOD=2∠ZA0CD6,<20E<68 2 二、填空题（每小题5分，共25分） 7.有下列命题：①三角形的一个外角大于与它相邻的内角；②有两边和一角对应相等的两个三角 形全等；③全等三角形的周长和面积一定分别对应相等；④三角形一边的垂直平分线把这个三 角形分成面积相等的两部分.其中属于真命题的是 (填序号). 30 第1章三角形 8.眉境生活实际如图所示为某可调躺椅的示意图，AE与BD的交点为C,∠CAB=50°，∠CBA 60°，∠CEF=30°.为了舒适，需调整∠D的度数，使∠EFD=150°，且∠CAB,∠CBA,∠E的度 数保持不变，则图中∠D的度数应调整为 (第8题) (第9题 (第10题) (第11题) 9.如图，BD是△ABC的中线，CF是△BCD的中线，AE∥CF交BD的延长线于点E.若△ADE 的面积为3，则△ABC的面积是 10.如图，L是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，E为l上任意一点，且AC=5,BC=8,AB= 6,则△AEC周长的最小值为 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm,BC=2cm,CD为AB边上的高线，点 E从点B出发，在直线BC上以1cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线 CD于点F,当点E运动s时，CF=AB. 三、解答题（共45分） 12.(8分)如图，在△ABC中，∠A=20°，CD是∠BCA的平分线，在△CDA中，DE是CA边上的 高线，∠EDA=∠CDB,求∠B的度数. (第12题) 13.(8分)如图，在△ABC中，BE⊥AC于点D,BE=AC,∠ACF=∠ABE,CF=AB,连结AE, AF,则线段AE与AF之间有怎样的关系？请说明理由. (第13题) 31 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 14.(14分)青境生活实际如图，某村庄有一块五边形的田地ABCDE,AB=AE= CD=60m,∠ABC=∠AED=90°，连结对角线AC,AD,∠BAE=2∠CAD. (1)用等式表示∠BAC,∠DAE与∠CAD之间的数量关系是 (2)为保护田内作物不被踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏 的建造成本是60元，则建造木栅栏共需花费多少元？ (3)在△ADE和△ABC区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为18克，需准备多少 千克的小麦种子？ B (第14题) 15.(15分)如图，在△ABC中，AD为BC边上的高线，AE是∠BAD的平分线，F为AE上一点， 连结BF,∠BFE=45° (1)求证：BF平分∠ABE. (2)连结CF交AD于点G,若S△Ar=SCBr,求证：∠AFC=90°. (3)在(2)的条件下，当BE=3,AG=4.5时，求线段AB的长. (第15题) 32 “答案与解析”见PI6方法归纳 遇角平分线作垂线 过角平分线上一点向该角的两边作垂线是常见的 添加辅助线的方法.在本题中先过点P分别向∠AMN 和∠MNB的两边作垂线，连结OP,再利用角平分线的 性质得出PC=PD=PH,然后利用面积法即可求出 OM十ON的值. 8.(1)如图所示.(2)因为∠A=45°，∠ACB=90°，所以 ∠B=∠A=45°，∠ACD=90°.因为CM平分∠ACD,所 以∠MCA=45°.所以∠FCN=∠EAN.因为EF垂直平 分线段AC,所以AN=CN.在△ANE和△CNF中，因为 ∠A=∠FCN, AN-CN, 所以△ANE≌△CNF(ASA).所以 ∠ANE=∠CNF, FN=EN. E (第8题) 9.因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD=∠CBD.在 (AB=CB, △ABD和△CBD中，因为3∠ABD=∠CBD,所以 BD=BD, △ABD≌△CBD(SAS).所以∠ADB=∠CDB.又因为 PM⊥AD,PN⊥CD,所以PM=PN. 方法归纳 运用角平分线的性质的两点注意 (1)运用角平分线的性质时，角平分线、角平分线上 的，点到角两边的距离两个条件缺一不可，不能错用为角 平分线上的，点到角两边任意，点的距离相等 (2)由角平分线的性质不用证全等可以直接得到线 段相等，这是证线段相等的一个简便方法。 10.如图，过点C作CMLAD,交AD的延长线于点M.因 为CE⊥AB,所以∠M=∠BEC=∠AEC=90°.因为 ∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠MDC=180°，所以 ∠B=∠MDC.因为AC平分∠BAD,CM⊥AD,CE⊥ AB,所以CM=CE,∠MAC=∠EAC.在△MAC和△EAC f∠MAC=∠EAC, 中，因为∠M=∠AEC,所以△MAC≌△EAC(AAS). AC=AC, ∠MDC=∠B, 所以AM=AE.在△DMC和△BEC中，因为∠M=∠BEC, CM=CE, 所以△DMC≌△BEC(AAS).所以DM=BE.所以AB+ AD-AE+BE+AD-AE+DM+AD-AE+AM- 2AE.所以AE= 2(AB+AD). B E (第10题) 综合与实践1如何测量墙上一点到地面的距离 (1)D00:OD.(2)理由：因为AO⊥DO,所以∠AOB= ∠DOC=90°.由题意，得∠ABO=∠DCO,AB=DC.在 ∠ABO=∠DCO, △AOB和△DOC中，因为∠AOB=∠DC,所以△AOB≌ AB=DC, △DOC(AAS).所以OA=OD.所以测量线段OD的长度， 即为点A到地面的高度AO.(3)同意小刚的观点.理 由：因为△AOB≌△DOC,所以OB=OC,OA=OD, ∠OAB=∠ODC.所以OA一OC=OD一OB,即AC=DB. ∠CAE=∠BDE 在△ACE和△DBE中，因为 ∠AEC=∠DEB,所以 AC=DB, △ACE≌△DBE(AAS).所以AE=DE, 第1章拔尖自主测评 1.B假设剪断乙小棒，设乙小棒长度为adm,剪成两段 长度分别为mdm、ndm,甲小棒长度为bdm.因为乙小棒 的长度大于甲小棒，即a>b,所以m+n>b.所以剪断乙小 棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形.假设剪断 甲小棒，因为乙小棒的长度大于甲小棒，所以甲小棒剪成 的两根小棒的长度和小于乙小棒的长度.所以围不成三角 形.综上所述，剪断的小棒是乙，故B正确。 2.C若添加∠B=∠E,在△ABC和△DEF中，因为 AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,所以△ABC≌△DEF (SAS).故A不符合题意.若添加AC=DF,在△ABC和 △DEF中，因为AB=DE,BC=EF,AC=DF,所以 △ABC≌△DEF(SSS).故B不符合题意.若添加∠C= ∠F,在△ABC和△DEF中，由AB=DE,BC=EF, ∠C=∠F,不能判定两个三角形全等.故C符合题意.因 为ABDE,EF∥BC,所以∠B=∠EDC,∠EDC=∠E. 所以∠B=∠E.在△ABC和△DEF中，因为AB=DE, ∠B=∠E,BC=EF,所以△ABC≌△DEF(SAS).故D 不符合题意 3.B根据尺规作图痕迹可得，AD是∠BAC的平分线， EF是AD的垂直平分线，所以EA=ED,∠EAD= ∠FAD,AO=OD.故A不符合题意.又易证△AOE≌ △DOE(SSS),所以∠EAO=∠EDO.所以∠EDA= ∠FAD.所以AF∥DE.故C不符合题意.因为∠AOF= ∠DOE,所以易证△AOF≌△DOE(ASA).所以AF= DE.所以AE=AF.故D不符合题意.根据已知条件无法 得到DE⊥AB,故B符合题意， 4.C过点D作DH⊥AC于点H.因为AD是△ABC的 角平分线，DF⊥AB,DH⊥AC,DF=2,所以DF=DH= 2.因为AE是△ABC的中线，所以BE=CE.所以 S△Ax=2S△Ac=2X6=12.因为S△AC=SAAHD十 Sm=AB·DF+号AC·DH,所以2×2AB+号X 7.5X2=12,解得AB=4.5. 5.C因为∠BOD=∠BAO十∠B=∠BCD+∠D, ∠B=∠D,所以∠BAO=∠BCD.因为∠BCD十∠BCE= 180°，所以∠BAO+∠BCE=180°.因为AP平分∠BAO, CP平分∠BCE,所以∠PAB=∠PA0=号∠BAO. ∠PCE=?∠BCE.所以∠PAO+∠PCE=2∠BAO+ 2∠BCE=号（∠BA0十∠BCE)=90,故①正确因为 ∠BAO=∠BCD,∠PAB=2∠BAO,所以∠PAB= 2∠BCD.故②正确.延长AP交BC于点M,则∠APC ∠AMC+∠BCP=∠BAM+∠B+∠BCP.因为∠B= ∠D,∠BAP+∠BCP=∠PAO+∠PCE=90°，所以 ∠APC=90°十∠B=90°十∠D.故③正确，④不正确.综上 所述，正确的结论的个数为3. 6.B因为OA=OB,OC=OD,所以AD=BC需满足的 条件是△AOD≌△BOC.因为∠AOB与∠COD互补，但 ∠AOB与∠COD不一定相等，所以∠AOD与∠BOC不 一定相等.所以△AOD与△BOC不一定全等.所以AD与 BC不一定相等.故A错误.如图，作DFOB交OE的延 长线于点F,则∠F=∠BOE.因为E是BD的中点，所以 ∠F=∠BOE, DE=BE.在△DFE和△BOE中，因为∠DEF=∠BEO, DE=BE, 所以△DFE≌△BOE(AAS).所以DF=BO=OA,FE= OE.因为∠AOB+∠COD=180°，所以∠AOC+∠BOD 180°.因为DF∥OB,所以∠FDO+∠BOD=180°.所以 ∠FDO=∠AOC.在△FDO和△AOC中，因为 DF-OA, ∠FDO=∠AOC,所以△FDO≌△AOC(SAS).所以 DO=OC, FO=AC.因为FE=OE,所以AC=FO=2OE.故B正 确.因为∠AOC+∠BOD=180°，所以∠BOD=2∠AOC 需满足的条件是∠AO℃=60°.由已知条件无法证得，所以 ∠BOD不一定等于2∠AOC.故C错误.因为OD一DF< FO<DF+OD,且DF=OB=a,OD=b,所以b-a< 20E<a+6,即22<0E<士故D错误 2 (第6题) 7.③三角形的一个外角和与它相邻的内角互补，只有当 这个外角是钝角的时候，这个外角才大于与它相邻的内 角.故①是假命题.在全等三角形的判定中，“两边和一角对 应相等”需满足这个角是两边的夹角（即SAS判定定理）， 若角是其中一边的对角，则此时两个三角形不一定全等 (如“SSA”不能判定全等).故②是假命题全等的两个三角 形能够互相重合，故其周长和面积一定分别对应相等.故 ③是真命题.三角形的中线把这个三角形分成面积相等的 两部分，三角形一边的垂直平分线与这边上的中线不一定 在同一条直线上.故④是假命题.综上所述，属于真命题的 是③. 8.50°延长DF交CE于点M.因为∠CAB=50°， ∠CBA=60°，所以∠ACB=180°-50°一60°=70°.所以 ∠DCE=∠ACB=70°.因为∠EFD=∠E+∠EMF, ∠EMF=∠D+∠DCE,所以∠EFD=∠E+∠D+ ∠DCE.因为∠E=30°，∠EFD=150°，所以∠D=150°- 30°-70°=50°.所以∠D的度数应调整为50° 9.12因为BD是△ABC的中线，所以CD=AD.因为 AECF,所以∠DFC=∠E.在△CDF和△ADE中，因为 ∠CDF=∠ADE, ∠DFC=∠E,所以△CDF≌△ADE(AAS).所以 CD=AD, S△cpr=S△ADE=3.因为CF是△BCD的中线，所以BF= DF.所以S△gr=SAcF=3.所以S△AD=S△sn= S△Cpr+SACr=6.所以S△ABc=2S△A5D=12. 10.13如图，连结BE.因为l是△ABC的边AB的垂直 平分线，所以EA=EB.因为△AEC的周长=AE十CE十 AC=BE+CE+AC≥BC+AC,所以当点E在边BC上 时，△AEC的周长最小，为BC+AC.因为AC=5,BC=8, 所以△AEC周长的最小值为13. (第10题) 11.7或3因为CD⊥AB,EF⊥BC,所以∠ADC= ∠CEF=90°.所以∠ACD+∠A=180°-∠ADC=90°.又 因为∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CEF,∠ACD+ ∠DCB=90°.所以∠A=∠DCB=∠ECF.如图①，当点E 在直线CD的上方时，在△ACB和△CEF中，因为 ∠A=∠ECF, ∠ACB=∠CEF,所以△ACB≌△CEF(AAS).所以 AB=CF, CE=AC=5cm.所以BE=BC+CE=2+5=7(cm).所以 点E的运动时间为7÷1=7(s).如图②，当点E在直线 CD的下方时，同理可证△ACB≌△CEF(AAS),所以 CE=AC=5cm.所以BE=CE-BC=5-2=3(cm).所以 点E的运动时间为3÷1=3(s).综上所述，当点E运动7s 或3s时，CF=AB. ① ② (第11题) 12.因为DE是CA边上的高线，所以∠DEA=∠DEC 90°.因为∠A=20°，所以∠EDA=180°-∠DEA-∠A 180°-90°-20°=70°.因为∠EDA=∠CDB,所以 ∠CDE=180°-∠EDA-∠CDB-180°-70°-70°=40°. 所以∠DCE=180°-∠DEC-∠CDE=180°-90°-40° 50°.因为CD是∠BCA的平分线，所以∠BCA=2∠DCE= 2×50°=100°.所以∠B=180°-∠BCA-∠A=180°- 100°-20°=60°. 13.AE=AF,AE⊥AF.理由：在△ABE和△FCA中， BE=CA, 因为∠ABE=∠FCA,所以△ABE≌△FCA(SAS).所以 AB=FC, AE=AF,∠E=∠CAF.因为BE⊥AC,所以∠ADE= 90°.所以∠DAE+∠E=180°-90°=90°.所以∠DAE+ ∠CAF=90°.所以∠EAF=90°.所以AE⊥AF. 14.(1)∠BAC+∠DAE=∠CAD.因为∠BAE= ∠BAC+∠CAD十∠DAE,∠BAE=2∠CAD,所以 ∠BAC+∠CAD+∠DAE=2∠CAD.所以∠BAC+ ∠DAE=∠CAD.(2)如图，延长CB至点G,使GB= ED,连结AG.所以BC+DE=BC+BG=GC.因为 ∠ABC=∠AED=90°，所以∠ABG=90°，即∠ABG= (AB=AE, ∠AED.在△AGB和△ADE中，因为∠ABG=∠AED, GB-DE, 所以△AGB≌△ADE(SAS).所以∠GAB=∠DAE, AG=AD.因为∠BAC+∠DAE=∠CAD,所以∠BAC+ ∠GAB=∠CAD,即∠GAC=∠CAD.在△AGC和 AC=AC, △ADC中，因为∠CAG=∠CAD,所以△AGC≌△ADC AG=AD, (SAS).所以GC=DC.所以BC+ED=GC=CD=60m. 五边形ABCDE的周长=3×60+60=240(m),240×60= 14400(元).所以建造木栅栏共需花费14400元.(3)因 为△AGB≌△ADE,所以S△ADE+S△Ax=S△AGB+ SaW-Sx-2GC,AB=专×60X60=180(m). 所以需准备小麦种子18×1800÷1000=32.4（千克）. B (第14题)》 15.(1)因为AE是∠BAD的平分线，所以∠BAD= 2∠BAF.因为∠BFE=45°，所以∠FBA+∠BAF=45 所以2∠FBA十2∠BAF=90°.因为AD为BC边上的高 线，所以AD⊥BC,即∠ADB=90°.所以∠ABD+ ∠BAD=180°-∠ADB=90°.所以∠EBF+∠FBA+ 2∠BAF=90°.又因为2∠FBA十2∠BAF=90°，所以 2∠FBA=∠EBF+∠FBA.所以∠EBF=∠FBA.所以 BF平分∠ABE.(2)如图，过点F作FMLBC于点M, FN⊥AB于点N.因为BF平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥ AB,所以FM=FN因为SAm=Sa,即AB· FN=BC·FM,所以AB=BC.在△A5F和△CBF BA=BC, 中，因为∠ABF=∠CBF,所以△ABF≌△CBF(SAS). BF=BF, 所以∠AFB=∠CFB.因为∠BFE=45°，所以∠AFB= ∠CFB=135°.所以∠CFE=∠CFB-∠BFE=135°-AG=CE=4.5.因为BE=3,所以BC=-BE+CE=7.5.所 45°=90°.所以∠AFC=180°-90°=90°.(3)因为 以AB=BC=7.5. △ABF≌△CBF,所以AB=CB,AF=CF.因为∠AGC= ∠AFC+∠FAG=∠ADC+∠FCE,∠AFC=∠ADC= 90°，所以∠FAG=∠FCE.在△AFG和△CFE中，因为 ∠AFG=∠CFE, AF=CF, 所以△AFG≌△CFE(ASA).所以 EM D ∠FAG=∠FCE， (第15题) 第2章特殊三角形 2.1图形的轴对称 方法归纳 画轴对称图形的一般步骤 1.B根据轴对称图形的定义，可得选项A,C,D中的图案 (1)找：在原图形上找特殊点 均能找到一条直线，使得将图案沿着直线折叠后，直线两 (2)画：画各个特殊，点关于对称轴的对称，点」 侧的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意 (3)连：依次连结这些点。 选项B中的图案无法找到这样的一条直线，所以不是轴对 称图形，符合题意， 5.D移法如图所示，共有13种 2.C因为△ABC与△A'B'C关于直线MN对称，所以 △ABC≌△A'B'C',OB=OB',MN垂直平分CC'.所以 AB=A'B',∠ACB≠∠A'B'C'.综上所述，①②④正确，不 符合题意，③不正确，符合题意. 3.5如图，涂法共有5种 (第3题) 4.(1)如图，△A'B'C即为所求作. (2)如图，直线A'B 与直线！的交点D即为所求作 (第5题) 6.C如图，作点M关于OB的对称点M',点N关于OA 的对称点N',连结M'N'交OA于点Q,交OB于点P,则 此时MP+PQ+QN的值最小.易得∠OPM=∠OPM= (第4题) ∠NPQ,∠OQP=∠AQN'=∠AQN,所以∠QPN= 19