2.6 第2课时 直角三角形的判定定理-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

第2章特殊三角形 第2课时直角三角形的判定定理 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.下列不能推出△ABC为直角三角形的条件是 () A∠A:∠B:∠C=1:2:3 B.∠A+∠B=∠C C.∠A:∠B:∠C=3:4:5 D.△ABC的一个外角等于和它相邻的内角 2.把等边三角形ABC的边AB延长一倍至点D,连结DC,则△ADC是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形D.直角三角形 3.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，若∠B=∠ACD=62°，∠A=28°，则图中共有直角三角 形 个 (第3题)》 (第4题) 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，CD是斜边AB上的中线，DE⊥BC于点E,则图 中等腰直角三角形有 个 5.如图，AD,BF分别是△ABC的高线与角平分线，AD,BF相交于点E,∠1=∠2.求证：△ABC 是直角三角形 (第5题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 6.如图，在△ABC中，AC,BC的垂直平分线l,m的交，点P在边AB上，则△ABC是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定 (第6题) (第7题) 7.舒情境生活实际如图，轮船从A处以每小时40海里的速度沿北偏东35°方向匀速航行，在A处 观察到灯塔B在北偏东80°的方向上，轮船航行半小时后到达C处，此时C处在灯塔B的北偏 西55°方向上，则△ABC是 三角形，C处与灯塔B之间的距离是 海里 49 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,M为直线AC上一点， ME⊥BC,垂足为E,∠AME的平分线交直线BD于点F.求证：△DMF是直角三角形 (第8题， 9.如图，在△ABC中，三条高线AD,BF,CE相交于点O,G,H分别是FB,CB的延长线上的点. 若∠H=∠BAO+∠ACO,请判断△BGH的形状，并证明你的结论. (第9题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维◆ 10.考向探究题如图，在△ABC中，∠A=90°，D为BC的中点，E,F分别是AB,AC上的点，连 结DE,DF,EF. (1)若AB=AC,BE=AF,求证：△DEF为等腰直角三角形 (2)若E,F分别为AB,CA的延长线上的点，仍有AB=AC,BE=AF,其他条件不变，则 △DEF是否仍为等腰直角三角形？请说明理由. (3)若DE⊥DF,观察BE,EF,CF,并判断这三条线段能不能构成直角三角形，请说明理由. (第10题) 50 >“答案与解析”见P283.3因为点D在边AC的垂直平分线上，所以DA= DC=6.因为∠ABC=90°，E是AD的中点，所以BE= 2AD=2X6=3. 4.(1)因为CD为斜边AB上的中线，所以CD=BD= AB.所以∠DCB=∠B.因为∠EFD=∠B,所以 ∠DCB=∠EFD.所以EF∥BC.(2)因为在Rt△ABC 中，∠A=65°，所以∠B=90°-∠A=25°.因为EF∥BC, 所以∠FED=∠B=25°.所以∠AEF=180°-∠FED= 180°-25°=155°. 5.D因为在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中 点，所以BE=CE=2AB.因为∠B=20,所以∠ECB= ∠B=20°.因为AD=BD,所以∠DAB=∠B=20°.所以 ∠ADC=∠B+∠DAB=20°+20°=40°.所以∠DFE= ∠ADC+∠ECB=40°+20°=60°. 6.D因为∠ACB=90°，CD⊥AB,所以∠ACD+ ∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°.所以∠ACD=∠B.故 选项A正确，不符合题意.因为∠BCD十∠ACD=∠A十 ∠ACD=90°，所以∠BCD=∠A.因为∠ECB=∠BCD+ ∠ECD,所以∠ECB=∠A十∠ECD.故选项B正确，不符 合题意.因为CE是Rt△ABC斜边AB上的中线，所以 CE=号AB.所以CE=BE.所以∠B=∠CB.因为 ∠ACD=∠B,所以∠ACD=∠ECB.故选项C正确，不符 合题意.假设∠DCB=∠DCE.因为∠ACD=∠BCE,所 以∠DCB=∠DCE=∠ACE.因为∠DCB十∠DCE+ ∠ACE=90°，所以∠DCB=∠DCE=∠ACE=30°.但三 个角的度数均未知，故选项D错误，符合题意 7.2如图，取BF的中点O,连结AO.因为AF⊥AB,所 以∠BAF=90°.所以AO=OB=OF.所以∠ABC= ∠OAB.所以∠AOF=∠ABC+∠OAB=2∠ABC.因为 ∠ACB=2∠ABC,所以∠ACB=∠AOF.因为∠ACB+ ∠ACO=180°，∠AOC+∠AOF=180°，所以∠ACO= ∠AOC.所以AC=AO.因为AE⊥BF,所以CE=OE.设 CE=OE=x,则CD=BD=DE一CE=3一x.所以OB= BD+DE+OE=3-x+3+x=6.所以OF=6.因为 CF=10,即CE+EO+OF=10,所以2x+6=10,解得 x=2,即CE=2. B4 DC E O (第7题) 2 8.(1)因为BD=BA,E是AD的中点，所以BE⊥AD.所 以△EBC为直角三角形.因为F是BC的中点，所以EF 是R△FBC斜边C上的中线所以EF=号比.2)因 为CG/EP,所以∠G=∠FEB.因为EP=号BC=BF,所 以∠FEB=∠CBE.所以∠G=∠CBE.所以GC=BC.所 以△BCG是等腰三角形. 9.(1)BM=DM,∠BMD=2∠BCD.(2)(1)中的结论 不发生变化.因为M是Rt△BEC的斜边EC的中点，所 以BM=MC=2EC,又因为M是Rt△DEC的斜边EC 的中点，所以DM=MC=2EC.所以BM=DM因为 BM=MC,DM=MC,所以∠CBM=∠BCM,∠DCM= ∠CDM.所以∠BMD=∠EMB-∠EMD=(∠CBM+ ∠BCM)-(∠DCM+∠CDM)=2∠BCM-2∠DCM= 2(∠BCM-∠DCM)=2∠BCD,即∠BMD=2∠BCD. 第2课时直角三角形的判定定理 1.C因为∠A:∠B:∠C=1:2:3,∠A+∠B+ 3 ∠C=180,所以三角形中最大角∠C=1+2+3X180°- 90°.所以△ABC为直角三角形，选项A不符合题意.因为 ∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°，所以三角形中 最大角∠C=号×180°=90.所以△ABC为直角三角形， 选项B不符合题意.因为∠A:∠B:∠C=3:4:5, ∠A+∠B+∠C=180°，所以三角形中最大角∠C= 3+4+5X180°=75°<90°.所以△ABC为锐角三角形，选 5 项C符合题意.因为△ABC的一个外角等于和它相邻的内 角，所以该内角=2×180°=90°所以△ABC为直角三角 形，选项D不符合题意， 2.D如图，因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC, ∠ACB=∠A=∠ABC=60°.因为将AB延长一倍至，点 D,所以DB=AB=CB.所以∠BDC=∠BCD=30°.因为 ∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+30°=90°，所以△ADC 是直角三角形 D (第2题) 3.3因为∠B=∠ACD=62°，∠A=28°，所以∠B+ ∠A=90°，∠ACD十∠A=90°.所以△ABC与△ACD都 是直角三角形.所以∠ADC=90°.所以∠BDC=90°.所以 △BCD是直角三角形.综上所述，共有直角三角形3个 4.5在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，所以 ∠B=45°.所以∠A=∠B.所以CA=CB.所以△ABC是 等腰直角三角形.因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中 线，所以CDLAB,CD=AD=DB=2AB.所以△ADC, △CDB都是等腰直角三角形.因为DE LBC于点E,所以 DE=BE=EC=2BC.所以△CED,△DEB都是等腰直 角三角形.综上所述，共有5个等腰直角三角形 5.因为BF是△ABC的角平分线，所以∠ABF=∠CBF, 因为AD是△ABC的高线，即AD⊥BC,所以∠ADB 90°.所以∠CBF+∠BED=90°.又因为∠BED=∠1 ∠2，所以∠CBF+∠2=90°.所以∠ABF+∠2=90°.所以 ∠BAC=90°.所以△ABC是直角三角形. 6.C连结CP.因为l,m分别是AC,BC的垂直平分线， 所以AP=PC,PC=PB.所以∠A=∠ACP,∠B= ∠PCB.所以∠A+∠B=∠ACP+∠PCB.因为∠A+ ∠ACP+∠B+∠PCB=180°，所以∠A+∠B=90°.所以 △ABC是直角三角形， 7.等腰直角20如图，根据题意，得∠DAC=35°， ∠DAB=80°，∠EBC=55°，DA∥EB,所以∠CAB= ∠DAB-∠DAC=80°-35°=45°.因为DA∥EB,所以 ∠DAB+∠EBA=180°.所以∠EBA=180°-80°=100°. 所以∠ABC=∠EBA-∠EBC=45°=∠CAB.所以 ∠C=90°，AC=BC.所以△ABC是等腰直角三角形.因为 AC=40×0.5=20(海里)，所以BC=AC=20海里 北 北 E (第7题) 8.因为∠BAC=90°，ME⊥BC,所以∠ABC+∠C= ∠AME+∠C=90°.所以∠ABC=∠AME.因为BD平分 ∠ABC,MF平分∠AME,所以∠ABD=2∠ABC, ∠AMF=号∠AME.所以∠ABD=∠AMR.因为 ∠ABD+∠ADB=90°，所以∠AMF+∠ADB=90°.所以 △DMF是直角三角形. 9.△BGH为直角三角形.因为在△ABC中，三条高线 AD,BF,CE相交于点O,所以∠ADB=∠BFC= ∠CEA=90°.所以∠BAO=90°-∠ABD,∠FBC=90°一 ∠BCF,∠ACO=90°-∠CAE.所以∠BAO+∠FBC+ ∠ACO=90°-∠ABD+90°-∠BCF+90°一∠CAE= 270°-（∠ABD+∠BCF+∠CAE)=270°-180°=90°.因 为∠FBC=∠HBG,∠H=∠BAO+∠ACO,所以 ∠HBG+∠H=90°.所以△BGH为直角三角形 10.(1)连结AD.因为AB=AC,∠BAC=90°，D为BC 的中点，所以AD=2BC=BD=CD,AD LBC,即 ∠ADB=90°，AD平分∠BAC,∠B=∠C=45°.所以 ∠BAD=∠CAD=45°.在△BDE和△ADF中，因为 (BD=AD, ∠B=∠DAF=45°，所以△BDE≌△ADF(SAS).所以 BE=AF, DE=DF,∠BDE=∠ADF.又因为∠BDE十∠ADE= 90°，所以∠ADF+∠ADE=90°，即∠EDF=90°.又因为 DE=DF,所以△DEF为等腰直角三角形.(2)△DEF 仍为等腰直角三角形.理由：如图①，连结AD.因为AB= AC,∠BAC=90,D为BC的中点，所以AD=2BC= BD=CD,AD⊥BC,即∠ADB=90°，AD平分∠BAC, ∠ABC=∠C=45°.所以∠BAD=∠CAD=45°.所以 ∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°.因为∠BAC= 90°，所以∠BAF=90°.所以∠DAF=∠BAD+∠BAF= 45°+90°=135°.所以∠DAF=∠DBE.在△DAF和 (AD=BD, △DBE中，因为∠DAF=∠DBE,所以△DAF≌2△DBE AF=BE, (SAS).所以DF=DE,∠ADF=∠BDE.又因为∠ADF+ ∠FDB=∠ADB=90°，所以∠BDE+∠FDB=90°，即 ∠EDF=90°.又因为DF=DE,所以△DEF为等腰直角 三角形.(3)BE,EF,CF这三条线段能构成直角三角形. 理由：如图②，延长FD至点F',使DF=DF,连结BF, EF.因为D为Rt△ABC的斜边BC的中点，所以BD= (BD=CD, CD.在△BDF和△CDF中，因为∠BDF'=∠CDF,所 DE'=DE. 以△BDF'≌△CDF(SAS).所以BF'=CF,∠DBF'= ∠C.又因为∠CBA+∠C=90°，所以∠CBA+∠DBF= 90°，即∠EBF'=90°.所以△EBF是以EF'为斜边的直角 三角形，即BE,EF',BF'这三条线段能构成直角三角形. 因为DE⊥DF,DF=DF',即DE垂直平分FF',所以 EF'=EF.又因为BF'=CF,所以BE,EF,CF这三条线 段能构成直角三角形. D ① (第10题) 2.7探索勾股定理 第1课时勾股定理 1.A在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理，得 AC+BC=AB2=152=225,所以正方形ADEC和正方 形BCFG的面积和为225. 2.A由题意可知，AC=BC,DC⊥AB.所以AD=DB. 在Rt△ACD中，∠ACD=90,AC=2AB=4cm,CD 3cm.根据勾股定理，得AD=AC2+CD2=42+32 25(cm).因为AD>0,所以AD=5cm.所以AD+BD- AB=2AD一AB=10-8=2(cm).所以橡皮筋被拉长了 2 cm. 3.号由题意，得AB=A,B,∠CA,=90C设BC=xm, 则AB=A,B=AC-BC=(4-x)m.在Rt△A,BC中，根 据勾股定理，得A,C+BC2=A,B2,即22+x2=(4 x尸，解得x一号所以弯折点B到地面的距离为号m 4.(1)如图①.根据勾股定理，得AB2=AE2+BE=1十 22=5.所以涂色正方形的面积=AB2=5,则正方形的边长 为5.(2)作法不唯一，如图②，线段GH即为所求作。 理由：如图②，根据勾股定理，得GH2=MH+GM= 12+32=10.因为GH>0,所以GH=√10. M ① ② (第4题) 5.C设大正方形的边长为c,则c2=a2+b2=15.因为 (a+b)2=24,所以a2+2ab十b2=24,解得ab=4.5.所以 小正方形的面积为15-2ab×4=15-号×4.5×4= 15-9=6. 6.87连结BD.因为∠DAB=∠BCD=90°，所以AB2+ AD2=BD,BC2+CD2=BD2.所以AB2+AD2=BC2+ CD.所以S1+S,=S2+S3.所以S,=135-48=87. 7.26am设AB=AD=xcm.根据题意可知，BC∥EF, CE⊥EF,BF⊥EF,BF=8cm,所以CE=BF=8cm.所 以AC=AD+DE-CE=x+6-8=(x-2)cm.在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，所以AB?=AC?+BC,即 x2=(x-2)2+102,解得x=26.所以钟摆AD的长度是 26cm. 方法归纳 利用勾股定理构建方程模型 勾股定理中含有等量关系，在几何问题的求解过程 中，可以利用勾股定理构建方程模型，通过解方程求线 段的长度，从而使问题得到解决. 8.过点A作AE⊥BC于点E.因为AB=AC=20,BC=32, 所以BE=CE=?BC=16.在R△AEC中，∠AEC= 90°，所以AE2=AC2-CE2=144.因为AE>0,所以AE= 12.设DE=x,则BD=16-x,CD=16+x.因为AE⊥ DE,AD⊥AC,所以在Rt△ADE中，AD=AE+DE, 即AD=122+x2,在Rt△ADC中，AD2=CD-AC,即 AD2=(16+x)2-202,所以122+x2=(16+x)2-20,解 得x=9.所以BD=16-9=7. 一微专题·勾股定理在折叠问题中的应用 1.C因为∠ACB=90°，AB=13,BC=12,所以AC2= AB2-BC2=25.因为AC>0,所以AC=5.因为将 △ABD沿AD折叠，点B恰好落在线段AC的延长线 上点E处，所以AE=AB=13,BD=DE.所以CE=8. 因为DE2=CD2+CE,所以DE2=(12-DE)2+64. 所以DE-9 2.4因为D是AB的中点，AB=6,所以AD=BD= 3.因为将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合， 以DN=CN.所以BN=BC一CN=9一DN.在 Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2,所以DN2=(9 DN)2+9.所以DN=5.所以BN=4. 号 连结BG.在长方形ABCD中，AB=号，BC 12,AG=13,所以∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD= 2,AD=BC=12.根据题意，得∠AFE=∠B=90 AF=AB=号，所以FG=AG-AF-兰所以AF FG.所以EF垂直平分AG.所以AE=GE.因为AD= BC=12,AG=13,∠D=90°，所以在Rt△ADG中，由勾