专题训练一 三角形及其全等（单元评价十八）2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形及全等核心考点，以"概念辨析-性质应用-模型建构"为主线，融合几何直观与推理能力培养，形成递进式训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形基础|选择1-3、填空12|三角形三边关系/高的识别/尺规作图|从构成条件到三线概念，构建几何图形认知基础| |全等判定|选择4-6、填空11/13/14|SSS/SAS/ASA/AAS/HL判定应用|通过性质逆推判定条件，强化逻辑推理链| |性质应用|解答17-20|中线倍长/角平分线性质/面积转化|结合等腰三角形性质，培养几何直观与转化思想| |模型综合|解答22-24|手拉手全等模型/辅助线构造|从静态证明到动态模型，提升创新意识与问题解决能力|

数学八年级(上册)单元评价(十八) 专题训练一 三角形及其全等 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________ 选择题 1.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(　　) A.2 cm,3 cm,5 cm B.7 cm,4 cm,2 cm C.3 cm,4 cm,8 cm D.3 cm,3 cm,4 cm 2.根据下列已知条件,能画出唯一的△ABC的是(　　) A.∠C=90°,AB=6 B.AB=4,BC=3,∠A=30° C.∠A=60°,∠B=45°,AB=4 D.AB=3,BC=4,CA=8 3.如图,在△ABC中,BC边上的高是(　　) A.BD B.CE C.BE D.AF 4.下列命题中,属于真命题的是(　　) A.三角形的一个外角等于两个内角的和 B.两条直线被第三条直线所截,内错角相等 C.两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 D.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,且这一点到三角形的三个顶点的距离相等 5.已知△ABC,AB<BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,则下列选项中,正确的是(　　) 6.如图,已知两个三角形全等,则∠α的度数为(　　) A.21° B.23° C.24° D.25° 7.如图,已知△ABC的周长是16,BM和CM分别平分∠ABC和∠ACB,过点M作BC的垂线交BC于点D,且MD=4,则△ABC的面积是(　　) A.42 B.32 C.48 D.64 8.如图,在等边三角形ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,P是AB上一动点,连结OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD,若使点D恰好落在BC上,则线段AP的长为(　　) A.4 B.5 C.6 D.8 9.如图,D,E分别为△ABC的边AC,BC上的点,AE⊥BD,垂足为F,且AF=EF。若∠ABC=36°,∠C=44°,则∠EAC的度数为(　　) A.18° B.28° C.36° D.38° 10.如图,AD是△ABC的中线,E是AD上一点,连结BE并延长交AC于点F,若EF=AF,BE=7.5,CF=6,则EF=(　　) A.2.5 B.2 C.1.5 D.1 填空题 11.如图,若两个三角形全等,则∠a的度数为______。 12.一个三角形的两边长分别是1和4,若第三边的长为偶数,则第三边的长是______。 13.如图,已知△ABD≌△ACE,且∠1=45°,∠ADB=95°,则∠AEC=______,∠C=______。 14.如图,已知OP为∠AOB的平分线,PC⊥OB于点C,且PC=3,则点P到OA的距离为______。 15.如图,在△ABC中,AD=ED,AB=EB,若∠A=80°,则∠CED=______。 16.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,下列结论:①EF垂直平分AD;②AD⊥EF;③AE+DF=AF+DE;④O为EF的中点。其中一定正确的是______(填序号)。 解答题 17.(8分)在△ABC中,BC=8,AB=1。 (1)若AC的长是整数,求AC的长。 (2)已知BD是△ABC的中线,若△ABD的周长为10,求△BCD的周长。 18.(8分)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,EC∥FD,EC=BD,AC=FD,求证:AE=FB。 19.(8分)在如图所示的方格纸中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C在小正方形的顶点上。 (1)画出△ABC中BC边上的高线AD。 (2)用直尺和圆规,作出△ABC的角平分线CE(保留作图痕迹,不写作法)。 (3)求△ABC的面积。 20.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在AB,AC上,BD=CE,BE与CD相交于点O。 (1)求证:△DBC≌△ECB。 (2)求证:OB=OC。 21.(8分)如图,在△ABC中,AE为∠BAC的平分线,D为BC的中点,DE⊥BC交AE于点E,EG⊥AC于点G。 (1)求证:AB+AC=2AG。 (2)若BC=8 cm,AG=5 cm,求△ABC的周长。 22.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,CE⊥BD交BD的延长线于点E,BA和CE的延长线交于点F。 (1)在图中找出与△ABD全等的三角形,并说出全等的理由。 (2)求证:BD=2EC。 23.(10分)如图,在△ABC中,∠B=60°,AD平分∠BAC,CE平分∠BCA,AD,CE交于点F,G为AC上一点,且CD=CG,连结FG。 (1)求证:FD=FG。 (2)线段FG与FE之间有怎样的数量关系,请说明理由。 (3)若∠B≠60°,其他条件不变,则(1)和(2)中的结论是否仍然成立?请直接写出判断结果,不必说明理由。 24.(12分)定义:如果两个等腰三角形的顶角相等,且顶角的顶点互相重合,那么称此图形为“手拉手全等模型”,例如,如图1,△ABC与△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,则△ABD≌△ACE(SAS)。 (1)如图2,△ABC与△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,求证:BD=CE。 (2)如图3,若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一条直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连结BE,求∠AEB的度数以及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由。 (3)如图4,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,求BD的长。 参 考 答 案 选择题 1. D 2. C 3. D 4. D 5. B 6. A 7. B 8. C 9. B 10. C 解析:如图,延长AD至点G,使DG=AD,连结BG。因为AD是△ABC的中线,所以CD=BD。 又因为AD=DG,∠ADC=∠BDG,所以△ADC≌△GDB(SAS),所以AC=BG=CF+AF=6+AF,∠DAC=∠G。 因为EF=AF,所以∠DAC=∠AEF,所以∠G=∠AEF=∠BEG,所以BE=BG=7.5, 所以6+AF=BG=7.5,所以AF=1.5=EF。故选C。(第10题答图:见答案图 第10题答图) 填空题 11. 72° 12. 4 13. 95°;50° 14. 3 15. 100° 16. ②③④ 解析:如果EF垂直平分AD,则点O是AD的中点,AE=DE,AF=DF。因为DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,所以∠AED=∠AFD=90°,但∠BAC的度数不确定,故①不一定正确。 因为AD是△ABC的角平分线,所以∠EAD=∠FAD。 在△AED和△AFD中,∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°,AD=AD,所以△AED≌△AFD(AAS),所以AE=AF,DE=DF,所以AE+DF=AF+DE,故③正确。 在△AEO和△AFO中,AE=AF,∠EAO=∠FAO,AO=AO,所以△AEO≌△AFO(SAS),所以EO=FO,所以O为EF的中点,故④正确。 又因为AE=AF,所以AO所在的直线是EF的中垂线,所以AD⊥EF,故②正确。 综上,正确的是②③④。故答案为②③④。 解答题 17. 解:(1)由题意得BC−AB<AC<BC+AB,所以7<AC<9。 因为AC的长是整数,所以AC=8。 (2)如图,因为BD是△ABC的中线,所以AD=CD。 因为△ABD的周长为10,所以AB+AD+BD=10。 因为AB=1,所以AD+BD=9, 所以△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=8+9=17。 18. 证明:因为EC∥FD,所以∠ACE=∠D。 在△ACE和△FDB中,AC=FD,∠ACE=∠D,EC=BD, 所以△ACE≌△FDB(SAS),所以AE=FB。 19. 解:(1)如图,AD即为△ABC中BC边上的高线。 (2)如图,CE即为所求。 (3)由图可知,BC=4,AD=4,故S△ABC=½BC·AD=½×4×4=8。 20. 证明:(1)因为AB=AC,所以∠ECB=∠DBC。 在△DBC与△ECB中,BD=CE,∠DBC=∠ECB,BC=CB, 所以△DBC≌△ECB。 (2)由(1)知,△DBC≌△ECB,所以∠DCB=∠EBC,所以OB=OC。 21. (1)证明:如图,过点E作EF⊥AB,交AB的延长线于点F。 因为AE平分∠BAC,EG⊥AC于点G,所以EG=EF,∠EFB=∠EGC=90°。 连结BE,EC,因为D是BC的中点,DE⊥BC,所以BE=EC。 在Rt△BFE与Rt△CGE中,BE=EC,EF=EG, 所以Rt△BFE≌Rt△CGE(HL),所以BF=GC。 因为AB+AC=AB+AG+GC,所以AB+AC=AB+AG+BF=AF+AG。 在Rt△AFE与Rt△AGE中,AE=AE,EF=EG, 所以Rt△AFE≌Rt△AGE(HL),所以AF=AG,所以AB+AC=2AG。 (2)解:因为AG=5 cm,AB+AC=2AG,所以AB+AC=10 cm, 又因为BC=8 cm,所以△ABC的周长为AB+AC+BC=8+10=18(cm)。 所以△ABC的周长为18。 22. (1)解:△ABD≌△ACF。理由:因为CE⊥BD,所以∠CED=90°,所以∠CED=∠BAC=90°, 又因为∠ADB=∠CDE,所以∠ABD=∠DCE。 在△ACF和△ABD中,∠ACF=∠ABD,AC=AB,∠CAF=∠BAD, 所以△ACF≌△ABD。 (2)证明:由(1)得△ABD≌△ACF,所以CF=BD。 因为在△BEF和△BEC中,∠EBF=∠EBC,BE=BE,∠FEB=∠CEB, 所以△BEF≌△BEC(ASA),所以EF=EC=½CF,所以BD=CF=2EC。 23. (1)证明:因为CE平分∠ACB,所以∠FCD=∠FCG。 因为CG=CD,CF=CF,所以△CFD≌△CFG(SAS),所以FD=FG。 (2)解:FG=FE。理由: 因为∠B=60°,所以∠BAC+∠BCA=120°。 因为AD平分∠BAC,CE平分∠BCA, 所以∠FAG=∠FAE,∠ACF+∠FAC=½(∠BCA+∠BAC)=60°, 所以∠AFC=120°,∠CFD=∠AFE=60°。 因为△CFD≌△CFG,所以∠CFD=∠CFG=60°, 所以∠AFG=∠AFE=60°。 因为AF=AF,∠FAG=∠FAE, 所以△AFG≌△AFE(ASA),所以FG=FE。 (3)解:(1)中结论成立;(2)中结论不成立。 24. (1)证明:因为∠BAC=∠DAE, 所以∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE。 因为AB=AC,AD=AE,所以△ABD≌△ACE(SAS),所以BD=CE。 (2)解:∠AEB=90°,AE=BE+2CM。理由如下: 设AE交BC于点K,如图1,因为∠ACB=∠DCE=90°, 所以∠ACB−∠BCD=∠DCE−∠BCD,即∠ACD=∠BCE, 因为AC=BC,CD=CE,所以△ACD≌△BCE(SAS), 所以AD=BE,∠CAD=∠CBE。 因为∠AKC=∠BKE,所以∠BEK=∠ACK=90°,即∠AEB=90°。 因为CM为等腰直角三角形DCE中DE边上的高,所以DE=2CM, 因为AE=AD+DE,所以AE=BE+2CM。 (3)解:作AE⊥AD,且AE=AD=4,连结DE,CE,如图2。 因为∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,所以AB=AC, 所以∠BAC=∠DAE=90°, 所以∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠DAB=∠CAE, 因为AB=AC,AD=AE,所以△DAB≌△EAC(SAS),所以BD=CE, 因为AE=AD=4,所以∠EDA=∠DEA=45°, 在Rt△EAD中,因为DE²=AD²+AE²,所以DE=, 因为∠EDC=∠ADC+∠EDA=90°, 所以CE²=DC²+DE²=3²+()²=41, 所以BD=CE=。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $