3.2 不等式的基本性质-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

第3章一元一次不等式 3.2不等式的基本性质 自一阶·基础通关 融通新授知识，夺实双基山 1.[2025衢州期中若x>y,则下列式子中，错误的是 () A.x+3>y+3 B.x-3>y-3 C.-3x>-3y D分 2.易错题下列选项中，不等式的变形错误的是 A若m>则1广年 B.若a<b,则ax2≤bx2 C.若xz2>yz2,则x>y D.若ac>bc,则a>b 3如果a一3>5，那么x。55则a的取值范用是 4.（1)在3一2x<一2的两边都加上 ,得-2x<-5. (2②)在+>-13的两边都乘 ,得1+2x>-26. (3)在-2(x+1)<12的两边都除以 ,得x十1>-6. 5.若x<y,试比较下列各式的大小 (1)3x-1与3y-1. (+号与+号 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能。 6.[2025温州瑞安期中]形状相同的图形质量相同，A,B在天平上的状态如图所示，下列选项中，天 平状态一定正确的是 () ①四 ①0 ☒ ①心国心 众d@d 品 (第6题) A. B. C. D. 7.对问题“已知a<0,试比较-3a和一2a的大小”的解法有下列4个：①因为一3<-2，a<0,所 以-3a>-2a;②因为a<0,即3a-2a<0,所以-2a<-3a;③因为a<0,所以-a>0,两边 都加上-2a,得-3a>-2a;④因为当a<0时，一3a与-2a都表示正数，且在数轴上表示-3a 的点在表示一2a的点的右边，所以一3a>一2a.其中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 65 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 8.一题多解数m,m十1，一m一2(m>0)的大小关系是 A.-m-2<m<m+1 B.-m-2<m+1<m C.m<m+1<-m-2 D.m<-m-2<m+1 9.舒情境生活实际李师傅第一次进货，以每件α元的价格购进了30件甲种小商品，以每件b元的 价格购进了40件乙种小商品，且a<b. (1)若李师傅将甲种小商品每件提价40%，乙种小商品每件提价30%后全出售，则他获利多 少元（用含有a,b的式子表示结果）？ (2》若李师傅将甲，乙两种小商品都以每件“”元的价格全部出售，则他在这次买卖中是暖了还 是亏了？请说明理由. 道]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.舒向阅读理解题【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数 大小的方法：若a一b>0,则a>b;若a一b=0,则a=b;若a一b<0,则a<b.反之 也成立.这种比较大小的方法称为“作差法”， 【理解】(1)若a一b+2>0,则a+1 b一1（填“>”“<”或“=”）为 【运用】(2)若M=a2+3b,N=2a2+3b+1,试比较M,N之间的大小. 【拓展】(3)请运用“作差法”解决问题. 制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板、6块B型钢板；方案二：用4块A型钢 板、7块B型钢板.每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小.方案一的总面积记为S1, 方案二的总面积记为S2,试比较S1,S2之间的大小 66 >“答案与解析”见P37错误因为日-古6ab06-a>0,所以62<0， ab 即上-<0.故选项C正确 a b 8.1600一130r十x<20因为小明跑步的时间为xmin, 60 所以走路的时间为1600-130zmin.所以1600130z+ 60 60 x20. 9.(1)根据题意，得a一1<3.(2)由数轴可知，数一3 对应的点到，点B的距离为4>3，数0对应的点到，点B的 距离为1<3，数4对应的点到点B的距离为3，所以在数 一3,0,4所对应的点中，0对应的点到点B的距离小于3. 10.(1)我国正常成年人在安静状态时的舒张压x(mmHg) 的正常范围是60≤x≤90，在数轴上表示如图所示. (2)把x甲=72，x乙=55，x丙=88表示在数轴上如图所示。 显然，x甲，x丙在不等式表示的范围内，满足不等式60≤ x≤90，则甲、丙的舒张压在正常范围内.x乙不在不等式表 示的范围内，不满足不等式60x90,则乙的舒张压不在 正常范围内 405060708090100 (第10题) 方法归纳 将文字语言抽象成数学符号语言后构建不等式 解决这类不等式问题的一般方法是先厘清问题中 各个量之间的不等关系，再将文字语言抽象成数学符号 语言，并恰当地用“>”“<”等不等号连接各个量，从而 列出符合题意的不等式 11.(1)1:9:4<x≤5.(2)因为18.2>5，所以该乘客乘 车行驶的路程超过3km.根据题意，得5十1.2([x]一3)= 18.2,解得[x]=14.所以13<x≤14.所以该乘客乘车行驶 的路程x(单位：km)的取值范围是13<x≤14. 3.2不等式的基本性质 1.C在不等式x>y的两边同时加上3，不等号的方向不 变，即x十3>y十3，选项A正确.在不等式x>y的两边同 时减去3，不等号的方向不变，即x一3>y一3，选项B正 确.在不等式x>y的两边同时乘一3，不等号的方向改变， 即一3x<一3y,选项C错误.在不等式x>y的两边同时 除以3，不等号的方向不变，即学>学选项D正确 2D因为m>。+1>0.所以。年>。年放途项 1 A正确.因为a<b,x≥0，所以a.x2≤bx2.故选项B正确. 由x之>yz2,可知之≠0，所以x>y.故选项C正确.当c< 0时，根据ac>bc不能得出a>b.故选项D错误. 易错警示 因忽略不等式中字母取0的特殊情况而出现错误 本题中易出现误认为x2>0,而忽略x2=0的情况， 从而导致解题错误 3.a<3因为(a一3)x>5,在不等式的两边同时除以 。3,得x。3不等号的方向发生改变，所以a一3<0. 所以a3. 4.(1)一3因为3一2x<一2，所以不等式的两边都加 上-3，得3-2x-3<-2-3,即-2x<-5.(2)2因 为十红3，所以不等式的两边都乘2，得× 2 2>-13×2,即1+2x>-26.(3)一2因为-2(x+ 1)<12,所以不等式的两边都除以一2，得一2(x+1)÷ (-2)>12÷(-2),即x+1-6. 5.(1)因为x<y,所以3x<3y.所以3x-1<3y-1. (2)因为x<所以-子x>-子.所以-子x+> 、3 1 4y+2 6.D由A,B在天平上的状态可得，A的质量>B的质 量.在A的质量>B的质量的两边同时乘2得，2倍的A 的质量>2倍的B的质量，则选项A错误，不符合题意.在 A的质量>B的质量的两边同时加上C的质量得，A的质 量十C的质量>B的质量十C的质量，则选项B错误，不符 合题意.在A的质量>B的质量的两边同时加上C的质量 得，A的质量十C的质量>B的质量十C的质量，但不确 定A的质量十C的质量与B的质量十2倍的C的质量的 大小关系，则选项C不一定正确，不符合题意.在A的质 量>B的质量的两边同时加上A的质量和C的质量得， 2倍的A的质量+C的质量>A的质量+B的质量+C 的质量，则选项D一定正确，符合题意. 7.D①因为一3<一2，a<0,不等式两边都乘同一个负 数a,不等号的方向改变，所以一3a>一2a.故①正确； ②因为a<0,即3a-2a<0,不等式两边都减去同一个数 3a,不等号的方向不变，所以一2a<-3a.故②正确；③因 为a<0,所以一a>0.两边都加上一2a,不等号的方向不 变，所以一3a>-2a.故③正确；④因为当a<0时，在数轴 上表示-3a的点在表示-2a的点的右边，所以一3a> 一2a.故④正确.综上所述，正确的有4个. 8.A解法一：因为m>0,所以一m<0.所以一m一2< 0<m①.因为0<1，所以0十m<1+m,即m<m+1②.综 合①②，得一m-2<m<m十1.解法二（特殊值法）：取 m=1,则m十1=2，一m一2=-3.因为一3<1<2，所以 -m-2<m<m+1. 9.(1)因为甲种小商品赚了30×40%a元，乙种小商品赚 了40×30%b元，所以全部出售，他获利30×40%a+40× 30%b=(12a+12b)元.(2)亏了.理由：根据题意，得 点进价为〔30十仙)元，总售价为”士 ·(30+40)= (35a+35b)元，所以35a+35b一(30a+40b)=(5a 5b)元.因为a<b,所以5a<5b,即5a一5b<0.所以总售 价<总进价.所以李师傅亏了. 10.(1)>.因为a一b十2>0，所以a一b+2+b>0+b. 所以a+2>b.所以a+1>b-1.(2)因为M=a+3b, N=2a2+3b+1,所以M-N=(a2+3b)-(2a2+3b+ 1)=a2+3b-2a2-3b-1=-a2-1.因为-a2-1<0,所 以M<N.(3)设A型钢板的面积为a,B型钢板的面积 为b.因为方案一的总面积记为S1,方案二的总面积记为 S2,所以S1=5a十6b,S2=4a+7b.所以S1-S2=(5a十 6b)-(4a+7b)=5a十6b-4a-7b=a-b.因为每块A型 钢板的面积比每块B型钢板的面积小，即a<b,所以a b0,即S1<S2 3.3一元一次不等式及其解法 1.C①因为不等式x十3>6的解集为x>3,所以4是 不等式x十3>6的解.故说法①正确；②x+3<6的解集 是x<3,故说法②错误；③因为x+3≤6的解集是x≤3， 所以3是不等式x十36的解.故说法③正确：④因为不 等式x十3>6的解集为x≥3，所以x>4是不等式x+3≥ 6解集的一部分.故说法④正确.综上所述，正确的有3个 2.A解不等式2x-1<3(x十1)，得x>一4.所以手掌盖 住的数是一4. 3.x<-3由题意，得2m+1=1且m-2≠0，所以m= 0.所以原不等式可化为一2x一1>5，解得x<一3 4-3移项，得分x十号>-14十3.合并同类项，得 5 3x>-1.两边都除以3，得>-号所以不等式的最小 负整数解是一3. 5.(1)移项，得9x一7x≤3十2.合并同类项，得2x≤5.两 边都除以2，得x2.5.所以原不等式的解集为x2.5.在 数轴上表示如图①所示.(2)去括号，得3x一3<4x 2一3.移项，得3x一4x<一2一3十3.合并同类项，得一x< 一2.两边都除以一1，得x>2.所以原不等式的解集为x 2.在数轴上表示如图②所示.(3)去分母，得2(2x 1)<3(3x+1).去括号，得4x-2<9x十3.移项，得4x 3 9x<2十3.合并同类项，得-5x<5.两边都除以一5，得 x>一1.所以原不等式的解集为x>一1.在数轴上表示如 图③所示.(4)去分母，得4(x一3)-(5x-4)≤-6.去 括号，得4x一12一5.x十4≤一6.移项，得4x一5x≤-6+ 12一4.合并同类项，得一x≤2.两边都除以一1，得x≥-2. 所以原不等式的解集为x≥一2.在数轴上表示如图④所示. -2-10122.534 ① -101234 ② -2-10123→ ③ 3-2-1012→ ④ (第5题) 易错警示 解一元一次不等式时应注意的问题 (1)去分母时，不等式的两边各项都应乘各分母的 最小公倍数，常数项不要漏乘； (2)去分母时，要将每个分数的分子视为一个整体， 特别是当分子是多项式时，要注意添括号： (3)去括号时，若括号前面有负号，则括号里的每 项都要变号： (4)移项时不要忘记变号； (5)当不等式的两边都乘（或除以）同一个负数时， 不等号的方向要改变 &C设微里水污染的内容为十m,则原不等式为'号 （x+m1,解得≥-”士卢因为该不等式的架华为 ≥-1，所以-3m,5=-1,解得m=-1,所以被墨水污 2 染的内容为一1. 7.B因为3a一22和2a-3是实数m的两个平方根，所 以3a-22+2a-3=0,解得a=5.所以2a一3=7.所以 m=位所以：=瓜=7.因为2-3号>≥最所以 2号2品得品 3 8.10解不等式3(x-2)+5<4(x一1)+6，去括号，得 3x-6+5<4x-4+6.移项，得3x一4x<-4+6+6-5. 合并同类项，得一x<3.两边都除以一1，得x>一3.所以x 的最小整数解是-2，即方程2x一a.x=3的解是x=-2.