2.8 专题特训七 运用勾股定理解决最短路径问题&综合与实践2 勾股定理的证明与运用-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

专题特训七运用勾股定理解决最短路径问题 1.装过点A作ADLRC于点D.因为AB=AC,所以 BD-CD.所以BD=C=&在R△ABD中，由勾股定 理，得AD2=AB2一BD2=16.因为AD>0,所以AD=4. 当BPLACE时，BD的长最.短此时SAr-AC,BD- 号AD·C,所以BP-CC-6-彩，即即长的 AC 5 最小值是 2.17如图，连结AD,AM.因为△ABC是等腰三角形，D 为BC边的中点，所以AD⊥BC,CD=2BC=5.因为 AC=13,所以在Rt△ADC中，AD=AC2-CD=144.因 为AD>0,所以AD=12.因为EF是线段AC的垂直平分 线，所以，点C关于直线EF的对称点为A,AM=CM.所以 CM+MD=AM+MD≥AD.所以当A,M,D三点共线 时，△CDM的周长最小，最小值为AD+CD=12+5=17. A F (第2题) 3.100cm如图，作点D关于AB的对称，点D',连结D'P 交AB于点Q,连结DQ,则小虫沿着DQ→P爬行时路 线最短.所以DQ十QP=D'Q十QP=D'P.在Rt△D'EP 中，DE=60+(60-40)=80cm,EP=60cm,D'P2= D'E2+EP2=10000cm.因为D'P>0,所以D'P=100cm, 即这只小虫爬行的最短路线的长为100cm. D (第3题) 4.(1)如图，作点A关于l的对称，点F,连结BF交CD于 点P,连结AP,易知此时PA十PB的值最小，即当牛在点 P处饮水时，所走的路程最短.(2)如图，过点B作 BE⊥CA,交CA的延长线于点E.由题意，得EF=BD十 AC=600+200=800(m),BE=CD=600m,∠E=90°.在 Rt△BEF中，由勾股定理，得BF2=EF2十BE2=800+ 6002=1000000m.因为BF>0,所以BF=1000m.所以 最短路径的长为1000m. A D .-E (第4题) 综合与实践2勾股定理的证明与运用 (1)由题图，易知大正方形的边长为a十b,小正方形的边 长为c,每个直角三角形的两条直角边长分别为a,b.因为 S大正方无=S小正*形十4S宜角三形，所以(a十b)2=c2十4· 2b,整理，得a2+2ab+b2=c2+2ab,即a2+b=c. (2)由题图，可得以c为边长的正方形的面积与两个直角 1 三角形的面积之和为c2+2ab+2ab,即c+ab:分别以 α和b为边长的两个小正方形的面积与两个直角三角形的 面积之和为a2十b2十ab.根据面积相等，得c2十ab=a2+ b2+ab,整理，得a2+b2=c2.(3)因为△ADE,△BCE, △CDE是直角三角形，AB⊥AD,BC⊥AB,DE⊥CE,所 1 1 以梯形ABCD的面积为2a+b)P或2c2+ab.所以 a+6P=号c2+a6.所以2a2+ab+号8=ab+ 1 2c,即a+6=.(4Sae=,r 1 之，(6+a)h,SaD=习(a二b)a.因为S知泣蒂mc Snax+sam所以2=26ta6+a-6la.所 -2ab.所以a2+b2=c2. (5)117空白部分的面积=边长为c的正方形的面积一 2个直角三角形的面积=c2一2×2ab.因为a=9,b=12, a2+62=c2,所以空白部分的面积=g9+12-2×号×9× 12=117.(6)因为“数学风车”外围轮廓的总长度为108， 所以AD+BD=108÷4=27.设AD=x,则BD=27-x. 在Rt△BCD中，BC2+CD2=BD,所以b2+(a+x)2= (27-x)2.将a=9,b=12代入，可得144+(9+x)2= (27一x)2,解得x=7.所以CD的长为16，小正方形的边 长为6-a=12-9=3所以数学风车”的面积为4X号× 12×16+3×3=393.(7)在Rt△ABH中，AB2= AH+BH=100.因为AB>0,所以AB=10.因为 △ABH≌△AFH≌△ADI≌△ADG,所以AH=AI=6, AD=AF=AB=10.所以DH=AD-AH=10-6=4, BI=AB一AI=10一6=4.所以DH=BI.因为∠DCH= ∠BCI,∠CHD=∠CIB=90°，所以△CDH≌△CBI (AAS).所以CD=CB.设CD=CB=x,则CH=8-x.在 Rt△CDH中，CH2+DH2=CD,所以(8-x)2+42=x2, 解得x=5.所以BC=CD=5.同理，可得DE=EF=5.所 以“帽子”外围轮廓的周长为AB+AF+BC十CD十DE+ EF=10+10+5+5+5+5=40. 第2章拔尖自主测评 1.A因为△ABC与△A'B'C关于直线MN对称，所以 ∠ABC=∠A'B'C',∠BAC=∠B'A'C',∠ABC不-定等 于∠B'A'C'故选项A不一定正确，符合题意.因为成轴对 称的两个图形的对应点的连线段被对称轴垂直平分，所以 直线MN垂直平分线段AA',CC.故选项B正确，不符合 题意.因为成轴对称的两个图形形状相同，大小相等，所以 △ABC与△A'B'C的面积相等.故选项C正确，不符合题 意.因为点P在直线MN上，点A,P,A'不共线，且直线 MN垂直平分AA',所以PA=PA'.所以△AA'P是等腰 三角形.故选项D正确，不符合题意 2.D因为AB=NB,BM⊥AC,∠A=a,所以∠ABM= ∠NBM=90°-a.因为NM=ND,BM⊥AC,ND⊥BC, 所以BN平分∠MBC.所以∠ABM=∠DBN=∠NBM= 90°-&.所以∠ABC=∠ABM+∠DBN+∠NBM= 270°-3a.所以∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-a (270°-3a)=2a-90°. 3.A由题意，得AC=1m,BD=1m,AO=4m.设OB= xm.在Rt△AOB中，根据勾股定理，得AB2=AO2+ OB2=(4+x2)m.在Rt△COD中，根据勾股定理，得 CD2=CO2+OD2=[(4-1)2+(x+1)2]m2.因为AB= CD,所以4+x2=(4-1)2+(x十1)2，解得x=3.所以 AB2=25m.因为AB>0,所以AB=5m,即梯子AB的 长为5m. 4.C连结PA,EC.因为△ACD是以AC为底边的等腰 三角形，DE平分∠ADC,所以ED垂直平分AC.所以点A 与点C关于直线DE对称.所以EA=EC,PC=PA.当点 P与点E重合时，PC十PB=EC+EB=EA十EB=AB, 此时△PBC的周长最小.因为AC=12,BC=5,△ABC的 周长为30，所以AB=13.所以△PBC的周长的最小值为 AB+BC=13+5=18. 5.D如图，在射线OA,OB上分别截取OC=OD=OP= 2,连结PC,PD.在线段OD上任取一点M,连结PM,以 P为顶点，PM为一边在∠CPD内部作∠MPN=60°，PN 交OC于点N.因为∠AOB=120°，OP平分∠AOB,所以 ∠POC=∠POD=60°.又因为OC=OD=OP=2,所以 △OPC,△OPD都是等边三角形.所以∠NCP=∠MOP= 60°，∠OPC=∠OPD=60°.所以∠OPC=∠MPN=60°. 所以∠OPC-∠OPN=∠MPN-∠OPN,即∠NPC= ∠NCP=∠MOP, ∠MPO.在△NPC和△MPO中，因为CP=OP, ∠NPC=∠MPO, 所以△NPC≌△MPO(ASA).所以PN=PM.又因为 ∠MPN=60°，所以△PMN是等边三角形.所以只要 ∠MPN=60°，△PMN即为等边三角形.因为在线段OD 上满足条件的点M有无数个，所以满足条件的△PMN有 无数个. (第5题) 6.C根据题意，得∠B=∠ADE=40°.因为∠BAD= 180°-40°-∠ADB,∠CDE=180°-40°-∠ADB,所以 ∠BAD=∠CDE.故①正确.因为D为BC的中点，AB= AC,所以∠B=∠C=40°，AD⊥BC.所以∠ADC=90°.所 以∠CDE=90°-∠ADE=90°-40°=50°.因为∠C=40°， 所以∠CDE十∠C=90°.所以△EDC是直角三角形， ∠CED=90°，即DE LAC.故②正确.因为∠C=40°，所以 ∠AED=∠C+∠CDE>40°.所以∠ADE≠∠AED.所以 AD≠AE.则△ADE为等腰三角形分两种情况讨论：当 AE=DE时，∠DAE=∠ADE=40°.因为∠BAC=180°- 40°-40°=100°，所以∠BAD=100°-40°=60°.当AD= DE时，∠DAE=∠AED=180,40°=70，此时 2 ∠BAD=100°-70°=30°.综上所述，当△ADE为等腰三 角形时，∠BAD=60°或30°.故③错误.因为∠BAD=30°， 所以∠CDE=30°.所以∠ADC=40°+30°=70°.所以 ∠CAD=180°-70°一40°=70°.所以∠DAC=∠ADC.所 以CD=AC.因为AB=AC,所以CD=AB.所以易得 △ABD≌△DCE(ASA).所以BD=CE.故④正确.综上 所述，正确结论的个数为3.第2章特殊三角形 专题特训七运用勾股定理解决最短路径问题 类型一平面图形中线段的最值 1.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动，则BP长的最小值是 R (第1题) (第2题) 2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，腰AC的长为13，腰AC的垂直平分线 EF分别交AC,AB边于点E,F,若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则 △CDM周长的最小值为 类型二实际问题中的最短路径 3.如图所示为一个长方体透明玻璃鱼缸，其中AB=80cm,高AD=60cm,水深ED=40cm,在鱼 缸内水面上紧贴内壁的，点P处有一鱼饵，点P在水面线EF上，且EP=60cm.一只小虫想从鱼 缸外的点D处沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁点P处吃鱼饵.鱼缸壁的厚度忽略不计，这只小虫爬行的 最短路线的长为 (第3题) 4.新境生活实际如图，牧童在点A处放牛，其家在点B处，点A,B到水平河岸1的距离分别为 AC,BD的长，AC=200m,BD=600m,且CD=600m. (1)牧童从点A处将牛牵到河岸1饮水后再回家.当牛在何处饮水时，所走的路程最短？ (2)求最短路径的长 B D --=-==-==--=-----=-- (第4题) “答案与解析”见P33 57 拔尖特训· 数学（浙教版）八年级上 综合与实践2勾股定理的证明与运用 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.我国是最早了解勾股定理的国 家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“赵爽弦图”（边 长为c的大正方形中有四个全等的直角三角形和一个小正方形，直角三角形的两直角 边长分别为α，b,斜边长为c).大正方形的面积有两种求法，一种求c2的值，另一种求 ① 四个全等的直角三角形与一个小正方形的面积之和，即)bX4+(6一a)2,从而得到等式c2-) bx 4+(b一α)2，化简，得a2+b2=c2.这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我 们称之为“双求法” 【方法运用】(1)将图①进行变换，得到图②.请利用图②证明勾股定理 b ② (2)将图①中的4个三角形拼合为如图③所示的形状.通过用两种不同的方法计算整个组合图形的 面积来证明勾股定理。 ③ (3)请利用图④中的图形证明勾股定理， 58 第2章特殊三角形 (4)把两个全等的Rt△ABC和Rt△DEA按如图⑤所示的方法放置，其三边长分别为a,b,c, ∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD.请用含a,b,c的式子分别表示出四边形ABDC,梯形 AEDC,△BED的面积，再通过探究这三个图形面积之间的等量关系，证明勾股定理. a-b 0 h ⑤ 【拓展应用】 (5)现将图②中的两个直角三角形向内翻折，得到图⑥.若α=9，b=12,则空白部分 的面积为 ⑥ (6)将图①中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图⑦所示的“数 学风车”.若a=9,b=12,“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个“数学风车” 的面积. ⑦ (7)小明将四个全等的直角三角形拼成如图⑧所示的“帽子”形状.若AH=6,BH=8,请求出“帽 子”外围轮廓（图中实线部分）的周长 8 “答案与解析”见P33 59