3.1 认识不等式-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

第3章一元一次不等式 3.1认识不等式 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，数轴上所表示的不等式为 () Ax<-2 B.x>-2 C.x≤-2 D.x≥-2 ←—LF40±0.02单位：mm -32-10123 若■ (第1题) (第4题) 2.下列说法中，正确的是 () Aa不是负数，可表示成a>0 B.x与2的和是非负数，可表示成x十2>0 C.m与4的差是负数，可表示成m一4<0 D.x不大于3，可表示成x<3 3.有下列各式：①-3<0；②2x-5>0;③2x=5;④x2-xy+y2;⑤x2-y≥1；⑥a≠3.其中， 属于不等式的有 个. 4.如图所示为某汽车零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸(L的取值范围)是 5.★教材P99作业题T4变式在数轴上表示下列不等式： (1)x<3. (2)x>0. (3)x≥-1. (4)-1<x≤4. 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.根据数量关系：x的3倍加上5不大于x与4的差的2倍，可列不等式为 () A.3(x+5)≤2(x-4)B.3(x+5)<2(x-4)C.3.x+5≤2x-4 D.3x+5≤2(x-4) 7.实数α，b在数轴上的位置如图所示，则下列不等式中，一定成立的是 () A.a-b0 B.b2-a2>0 a0→ (第7题) e日60 D.la-b<0 8.境生活实际为保证学生有充足的睡眠时间，某校要求学生早上8：00前到达学校，小明出家门 时7：40，已知他家与学校的距离为1600m,他跑步的速度为130m/min,走路的速度为60m/min, 则小明至少跑步多长时间才能保证不迟到？设小明跑步的时间为xin.根据题意，可列不等式 为 63 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 9.在数轴上有A,B两点，其中点A表示的数是a,点B表示的数是1.已知A,B两点间的距离小 于3. (1)写出a满足的不等式. (2)在数一3,0,4所对应的点中，哪个数对应的点到点B的距离小于3？ 10.★新青境生活实际安静状态时，我国正常成年人的舒张压在60~90mmHg范围内（包括60mmHg 和90mmHg),经常低于60mmHg则可认为是低血压.设甲、乙、丙三名成年人在安静状态时 测得的舒张压（单位：mmHg)分别为x甲=72，x乙=55，x丙=88. (1)用不等式表示我国正常成年人在安静状态时的舒张压x(mmHg)的正常范围，并表示在数 轴上 (2)利用(1)中数轴，判断甲、乙、丙三人的舒张压是否在正常范围内. 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.考新定义题已知x>0,现规定符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.5]=1，[4.3]= 5,[6]=6. 1)填空： [17 ,[8.05]= 若[x]=5,则x的取值范围是 (2)小明要到某市游玩，从网上了解到该市出租车的收费标准如下：3km以内（包括3km)收费 5元，超过3km,每超过1km,加收1.2元（不足1km的按1km计算）.用x(单位：km)表示所 行驶的路程，y(单位：元)表示行驶xkm应付的乘车费，则乘车费可按以下方式计算：当0 x≤3时，y=5;当x>3时，y=5+1.2([x]一3).某乘客乘出租车后付乘车费18.2元，求该乘 客乘车行驶的路程的取值范围， 64 “答案与解析”见P36AD=ED.又因为∠ADE=60°，所以△ADE是等边三角 Rt△PDE和Rt△PDC中，因为 形，即(1)中的结论成立 PD=PD·所以R△PDE≌ DE-DC, Rt△PDC.所以PE=PC=12-2t.因为DE=CD=6, AD=AC一CD=16-6=10,所以在Rt△ADE中，由勾股 定理，得AE2=AD2-ED=64.因为AE>0,所以AE= 8.所以AP=AE+PE=8+12-2t=20-2t.在Rt△APC B D 中，由勾股定理，得AC”+PC2=AP,即162+(12 (第14题) 2t)2=(20-2t)2,解得t=0.②如图②，当点P在线段BC 15.(1)根据题意，得BP=2×3.5=7,则PC=12-7=5. 的延长线上时，连结PD.同理，可得Rt△PDE≌Rt△PDC. 在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP2=AC+PC2.因为 所以ED=CD=6,PE=PC=2t-12.所以AD=AC- AP>0,所以AP=√28I.(2)在Rt△ABC中，因为 CD=16一6=10.所以在Rt△ADE中，由勾股定理，得 AC=16,BC=12,所以易得AB=20.根据题意，得BP= AE2=AD2-ED=64.因为AE>0,所以AE=8.所以 2t.当△ABP为等腰三角形时，分三种情况讨论：①当 AP=AE+PE=8+2t-12=2t-4.在Rt△APC中，由勾 BA=BP时，20=2t,解得t=10.②当AB=AP时，因为 股定理，得AC2+PC2=AP2,即162+(2t-12)2=(2t 4)2,解得t=12.综上所述，当DE=CD时，t的值为0 ∠ACB=90°，即AC⊥BP,所以BC=PC.所以BP= 或12. 2BC.所以2t=2×12,解得t=12.③当PA=PB时，在 Rt△ACP中，PA=2t,PC=2t-12,所以PA2=PC2+ AC,即(2x)=(2-12+16,解得1=5综上所述，当 D △ABP为等腰三角形时t的值为10或12或气。 (3)①如 图①，当点P在线段BC上时，连结PD.因为DE LAP,所 B(P) B C ① ② 以∠AED=∠PED=90°.所以∠PED=∠ACB=90°.在 (第15题) 第3章 一元一次不等式 3.1认识不等式 -3-2-10123→ 1.B数轴上表示的是一2右边的部分，即x>一2. ⑨ 2.Ca不是负数，可表示成a≥0，选项A错误.x与2的 和是非负数，可表示成x十2≥0，选项B错误m与4的差 -2-101234 ④ 是负数，可表示成m一4<0，选项C正确.x不大于3，可表 (第5题) 示成x≤3，选项D错误。 方法归纳 3.4①-3<0，②2x-5>0,⑤x2-y≥1，⑥a≠3均 用数轴表示不等式的解集的方法 由不等号连接，是不等式：③2x=5是等式；④x2一xy十 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两个确定”： y2是代数式.故有4个不等式. 4.39.98≤L≤40.02零件长度（单位：mm)的合格尺寸 一是确定边界，点（起，点），若边界点（起，点）是不等式的解 为40-0.02≤L≤40+0.02，即39.98≤L≤40.02. (不等号中有等号)，则在起点处画实心圆点“·”：若边 5.(1)如图①所示.(2)如图②示.(3)如图③所 界点（起点）不是不等式的解（不等号中没有等号），则在 示.(4)如图④所示 起点处画空心圆圈“。”.二是确定方向，对边界点（起点） 而言，“小于向左，大于向右” -3-2-10123 ① 6.D根据题意，可列不等式为3x十52(x一4). -3-2-10123 7.C由实数a,b在数轴上的位置，可知a<0<b,且a|> ② lb1,所以a-b<0,b2-a2<0,|a|-|b>0.故选项ABD 36 错误因为日-古b2606->0.所以62<0… 由x2>yz2,可知之≠0，所以x>y.故选项C正确.当c< ab 0时，根据ac>bc不能得出a>b.故选项D错误. 即1-上<0，故选项C正确 a b 易错警示 因忽略不等式中字母取0的特殊情况而出现错误 8.1600一130r+x<20因为小明跑步的时间为xmin, 60 本题中易出现误认为x>0,而忽略x2=0的情况， 所以走路的时间为160130min所以1600130r+ 从而导致解题错误 60 60 3.a<3因为(a一3)x>5,在不等式的两边同时除以 x20 9.(1)根据题意，得a一1<3.(2)由数轴可知，数-3 a-3,得x<5 一3不等号的方向发生改变，所以a一3<0， 对应的点到，点B的距离为4>3，数0对应的点到点B的 所以a<3, 距离为1<3，数4对应的点到点B的距离为3，所以在数 4(1)一3因为3一2x<一2，所以不等式的两边都加 一3,0,4所对应的点中，0对应的点到点B的距离小于3. 上-3，得3-2x-3<-2-3,即-2x<-5.(2)2因 10.(1)我国正常成年人在安静状态时的舒张压x(mmHg) 为+24>-13，所以不等式的两边都乘2，得1+24× 的正常范围是60≤x≤90，在数轴上表示如图所示 2 2 (2)把x甲=72，x乙-55，x丙-88表示在数轴上如图所示 2>-13X2,即1+2x>-26.(3)-2因为-2(x+ 显然，x手，x丙在不等式表示的范围内，满足不等式60≤ 1)<12,所以不等式的两边都除以-2，得一2(x+1)÷ x≤90，则甲、丙的舒张压在正常范围内.x乙不在不等式表 (-2)>12:(-2),即x+1-6. 示的范围内，不满足不等式60x90,则乙的舒张压不在 5.(1)因为x<y,所以3x<3y.所以3x-1<3y-1. 正常范围内 (2)因为x<,所以-子>-子.所以-子x+> 之甲， 40,5060708090100 3 (第10题) 6.D由A,B在天平上的状态可得，A的质量>B的质 方法归纳 将文字语言抽象成数学符号语言后构建不等式 量.在A的质量>B的质量的两边同时乘2得，2倍的A 解决这类不等式问题的一殷方法是先厘清问题中 的质量>2倍的B的质量，则选项A错误，不符合题意.在 各个量之间的不等关系，再将文字语言抽象成数学符号 A的质量>B的质量的两边同时加上C的质量得，A的质 语言，并恰当地用“>”“<”等不等号连接各个量，从而 量十C的质量>B的质量十C的质量，则选项B错误，不符 列出符合题意的不等式」 合题意.在A的质量>B的质量的两边同时加上C的质量 得，A的质量十C的质量>B的质量十C的质量，但不确 11.（1)1:9:4<x≤5.(2)因为18.2>5，所以该乘客乘 定A的质量十C的质量与B的质量+2倍的C的质量的 车行驶的路程超过3km.根据题意，得5十1.2([x]一3)= 大小关系，则选项C不一定正确，不符合题意.在A的质 18.2,解得[x]=14.所以13<x≤14.所以该乘客乘车行驶 量>B的质量的两边同时加上A的质量和C的质量得， 的路程x(单位：km)的取值范围是13<x≤14. 2倍的A的质量十C的质量>A的质量+B的质量+C 3.2不等式的基本性质 的质量，则选项D一定正确，符合题意， 7.D①因为一3<一2，a<0,不等式两边都乘同一个负 1.C在不等式x>y的两边同时加上3，不等号的方向不 数a,不等号的方向改变，所以一3a>一2a.故①正确； 变，即x十3>y十3，选项A正确.在不等式x>y的两边同 ②因为a<0,即3a-2a<0,不等式两边都减去同一个数 时减去3，不等号的方向不变，即x一3>y一3，选项B正 3a,不等号的方向不变，所以-2a<-3a.故②正确；③因 确.在不等式x>y的两边同时乘一3，不等号的方向改变， 为a<0,所以一a>0.两边都加上一2a,不等号的方向不 即一3x<一3y,选项C错误.在不等式x>y的两边同时 变，所以一3a>一2a.故③正确；④因为当a<0时，在数轴 除以3，不等号的方向不变，即号>学，选项D正确 上表示-3a的点在表示-2a的点的右边，所以-3a> 一2a.故④正确.综上所述，正确的有4个. 2D因为m>:a+1>0,所以>放选项 1 8.A解法一：因为m>0,所以一m<0.所以一m一2< A正确.因为a<b,x≥0，所以ax2≤bx2.故选项B正确. 0<m①.因为0<1，所以0十m<1十m,即m<m+1②.综 37