2.8 直角三角形全等的判定-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

股定理，得DG=AG2-AD=25.因为DG>0,所以 G=5.所以CG=CD-DG=》在R△ABE中，由 勾股定理，得AE2=AB2十BE,在Rt△CEG中，由勾 股定理，得GE=CE2十CG.因为AE=GE,所以 AB+BE=CE+CG.所以（受） +(12-CE)2= CF+(受）》广，餐得CE-孕 第2课时勾股定理的逆定理 1.CA.7+24=25,能构成直角三角形，不符合题意 B.9+12=15,能构成直角三角形，不符合题意.C.12+ (2)2≠32，不能构成直角三角形，符合题意.D.0.32十 0.4=0.52,能构成直角三角形，不符合题意. 2.B由题意，得AB=2+32=13,BC2=1+22=5, CD2=22+22=8,所以AB2=BC2+CD2.所以三条线段 AB,BC,CD首尾相连能拼成一个直角三角形. 3.45°因为∠BAC=90°，AB=4,AC=4,所以∠ABC 45°，BC=AB2+AC2=4+42=32.因为BD=7,DC=9, 所以BD2+BC2=49+32=81=92=DC.所以△DBC是 直角三角形，∠DBC=90°.所以∠DBA=∠DBC一 ∠ABC=45°. 4.在Rt△ABD中，BD2=AD2-AB2=92-62=45(dm2), 在△BCD中，BC2+CD=32+62=45(dm2),所以BC2+ CD2=BD2.所以△BCD是直角三角形，∠BCD=90°，即 BC⊥CD.所以该车符合安全标准。 5.C因为AB2=1+62=37,AC2=42+5=41,BC2= 12+3=10,37+10≠41，所以点A,B,C不可以构成直角 三角形.故选项A不符合题意.同理，可得选项B,D也不符 合题意.因为BE2=62+4=52,BF2=5+52=50,EF2= 1+1=2,50十2=52，所以点B,E,F可以构成直角三角 形.故选项C符合题意. 6.45°如图，延长AP到点C,使AP=PC,连结BC.易 知点C在网格的格点上.因为AP2=PC=1+2=5, BC2=12+22=5,BP2=12+32=10,所以PC=BC, PC2+BC2=BP2.所以△PCB是等腰直角三角形，且 ∠PCB=90°.所以∠CPB=∠CBP=45°.所以∠PAB+ ∠PBA=∠CPB=45° (第6题) 7.17,144,145分析各组数据：①3=2×1+1,4=2×1× (1+1),5=2×1×(1+1)+1;②5=2×2+1,12=2×2× (2+1),13=2×2×(2+1)+1:③7=2×3+1,24=2× 3×(3+1),25=2×3×(3+1)+1;④9=2×4+1,40= 2×4×(4+1),41=2×4×(4十1)+1，….则第①组勾股 数的第一个数是2n十1，第二个数为2n(n十1)，第三个数 为2m(n+1)+1,所以第⑧组勾股数为17,144,145. 8.(1)在△CHB中，因为CH2+BH=2.4+1.82= 9(km),BC2=9km,所以CH2+BH2=BC2.所以 △CHB是直角三角形，且∠CHB=90°，即CH⊥AB.所以 CH是从村庄C到河边最近的路.(2)设AC=xkm.因 为AB=AC,所以AB=xkm.所以AH=(x一1.8)km.因 为CH⊥AB,所以∠CHA=90°.在Rt△ACH中，由勾股 定理，得AC2=AH+CH,即x2=(x-1.8)2+2.4,解 得x=2.5.所以AC的长为2.5km. 9.(1)如图，连结AC.因为AB=BC=AD=50m, ∠ABC=90°，所以△ABC是等腰直角三角形.所以AC= AB2+BC2=502+502=5000(m2),∠BAC=45°.因为 AD2=502=2500(m2),CD2=7500m,所以AD2+ AC2=CD2.所以△ACD是直角三角形，∠CAD=90°.所 以∠DAB=∠CAD+∠BAC=90°+45°=135°.(2)该 监控装置符合要求.理由：如图，过点D作DE⊥直线 AB于点E,作点A关于DE的对称点A',连结DA'.所以 ∠DEA=90°.因为∠BAD=135°，所以∠DAE=45°.所以 ∠ADE=90°-45°=45°.所以DE=AE,△DEA是等腰直 角三角形.在Rt△DEA中，DE2+EA2=AD,所以 2EA2=2500.所以EA2=1250m2.因为352=1225，所以 AE>35m所以AA'=2AE>70m.所以AA>68m.所 以该监控装置符合要求 D 工厂 A E B (第9题) 2.8直角三角形全等的判定 1.D因为BE⊥AD,CF⊥AD,所以∠AEB=∠CFD= 90°.添加①，可利用“AAS”判定△ABE2△DCF.添加②， 由ABCD,可得∠A=∠D,可利用“AAS”判定△ABE≌ △DCF.添加③，可利用“HL”判定Rt△ABE≌Rt△DCF 添加④，由AF=DE,可得AE=DF,再利用“HL”判定 Rt△ABE≌Rt△DCF.综上所述，添加①②③④都可以判 定△ABE与△DCF全等 2.B因为ED LAB,所以∠ADE=∠C=90.°在Rt△ACE AE-AE 和Rt△ADE中，因为 所以Rt△ACE≌Rt△ADE. AC-AD. 所以∠AEC=∠AED.因为∠EDB=90°，所以∠CED= ∠BDB+∠B=90+28°=18.所以∠ABC=号∠CED= 59°. 3.7因为MN∥PQ,AB⊥PQ,所以AB⊥MN.所以 ∠DAE=∠EBC=90°.在Rt△ADE和Rt△BEC中， DE=BC,所以R△ADE≌R△BEC(H.所以AE= AD-BE. BC.因为AD+BC=7,所以BE+AE=AD+BC=7,即 AB=7. 4.(1)因为PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS,所以AP平分 ∠BAC.所以∠BAP=∠CAP.又因为∠CAP=∠APQ, 所以∠BAP=∠APQ.所以QP∥AR.(2)相等.理 由：因为PR⊥AB,PS⊥AC,所以∠ARP=∠ASP=90°. (AP=AP, 在Rt△APR和Rt△APS中，因为 所以 PR=PS. Rt△APR≌Rt△APS.所以AR=AS. 5.C因为AD⊥BC,所以∠BDF=∠ADC=90°.在 BF=AC, Rt△BDF和Rt△ADC中，因为 所以Rt△BDF≌ DF-DC. Rt△ADC(HL).所以∠DBF=∠2，BD=AD.因为 ∠ADB=90°，所以∠DBA=∠DAB=45°.所以∠1十 ∠2=∠1+∠DBF=∠DBA=45°，即∠1与∠2的度数之 和为45° 6.5如图，以AC为边，C为顶点作∠ACD=∠ACB,延 长BA与CD交于点D,则∠BCD=2∠ACB.因为 2∠ABE+∠ACB=45,所以∠ABE+2∠ACB=90即 ∠ABE十∠BCD=90°.所以∠D=90°.所以AD⊥DC.又 因为AE⊥BC,CA平分∠BCD,所以AE=AD.在 AC=AC, Rt△AEC和Rt△ADC中，因为 所以Rt△AEC≌ AE=AD, R△ADC(H.所以CD=CE=&因为SA=AB· CD=2ABX8=20,所以AB=5 B E (第6题) 3 7.(1)因为AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,所以 ∠CEB=∠F=90°，CE=CF.在Rt△BCE和Rt△DCF BC=DC, 中，因为 所以Rt△BCE≌Rt△DCF(HL). CE=CF, (2)由(1)，得Rt△BCE≌Rt△DCF,所以BE=DF.设 BE=DF=x.在Rt△AFC和Rt△AEC中，因为 (AC=AC, 所以Rt△AFC≌Rt△AEC(HL).所以AF= CF=CE, AE,即AD+DF=AB-BE.因为AB=21,AD=9,BE= DF=x,所以9十x=21一x,解得x=6.所以DF=6,则 AF=9+6=15.因为在Rt△DCF中，DF=6,CD=10,所 以CF2=CD2-DF2=64.又因为CF>0,所以CF=8.所 以在Rt△AFC中，AC2=CF2+AF2=82+152=289.又 因为AC>0,所以AC=17. 方法归纳 判定直角三角形全等的“四种思路” (1)若已知条件中有一组斜边和一组直角边分别相 等，则用“HL”来判定 (2)若有一组锐角和一组斜边分别相等，则用 “AAS”来判定 (3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，①直角 边是锐角的对边，则用“AAS”来判定；②直角边是锐角 的邻边，则用“ASA”来判定 (4)若有两组直角边分别相等，则用“SAS”来判定 8.(1)L.(2)如图，过点A作AG⊥BC,交BC的延长 线于点G,过点D作DH⊥EF,交EF的延长线于点H,则 ∠G=∠H=90°.因为∠BCA=∠EFD,所以∠ACG= ∠G=∠H, ∠DFH.在△ACG和△DFH中，因为∠ACG=∠DFH, AC=DF, 所以△ACG≌△DFH(AAS).所以AG=DH.在Rt△ABG AB=DE, 和Rt△DEH中，因为 所以Rt△ABG≌ AG=DH, Rt△DEH(HL).所以∠B=∠E.在△ABC和△DEF中， ∠ACB=∠DFE, 因为∠B=∠E, 所以△ABC≌△DEF(AAS). AB=DE, G E (第8题)第2章特殊三角形 2.8直角三角形全等的判定 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，AB=DC,BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,有下列条件：①∠B=∠C;②AB∥CD; ③BE=CF;④AF=DE.其中，添加一个就可以判定△ABE与△DCF全等的是 （) A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④ M B D B C Q (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，ED⊥AB,交AB,BC于点D,E,且AD=AC,连结AE.若∠B= 28°，则∠AE℃的度数为 () A.289 B.59° C.60° D.62° 3.如图，MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D和点B,C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+ BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB的长为 4.如图，在△ABC中，P是BC上一点，PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别为R,S,PR=PS,Q是AC 上一点，且∠CAP=∠APQ. (1)求证：QP∥AR. (2)AR和AS相等吗？请说明理由， (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,E为AC上一点，连结BE,交AD于点F.若BF=AC, DF=DC,则∠1与∠2的度数之和为 () A.35° B.40° C.45° D.50° B (第5题) (第6题) 6,如图，在△ABC中，高线AE交BC于点E.若2∠ABE+∠ACB=45,CE=8,△ABC的面积 为20，则AB的长为 55 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 7.★如图，AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,CF⊥AD,交AD的延长线于点F,BC=CD. (1)求证：△BCE≌△DCF. (2)若AB=21,AD=9,BC=CD=10,求AC的长. (第7题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维◆ 8.学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“已知两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角 形不一定全等”，但在下列两种情形下还是可以得出两个三角形全等的. (1)第一种情形（如图①）：在△ABC和△DEF中，若∠C=∠F=90°，AC=DF,AB=DE,则根 据 ,即可得出△ABC≌△DEF. (2)第二种情形（如图②）：在△ABC和△DEF中，∠C=∠F(∠C和∠F均为钝角)，AC= DF,AB=DE.求证：△ABC≌△DEF (第8题) 56 >“答案与解析”见P31