2.8 直角三角形全等的判定 课时作业 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 本同步练习以HL定理为核心，通过“知识梳理-基础应用-综合解答-拓展提升”四层设计，实现从概念理解到推理应用的递进，适配新授课知识巩固与思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|HL定理及适用范围、角平分线判定|通过几何语言规范与易错提醒，培养抽象能力与推理意识| |基础应用（选择填空）|直角三角形全等判定方法辨析、简单计算|选择题聚焦判定方法区分（如第1题D选项），填空题强化HL条件应用（如第12题补全直角边），发展几何直观| |综合解答|全等证明与性质应用|解答题（如21题）结合垂直条件构建直角三角形，通过HL证全等推导边等角等，体现推理能力与模型意识| |拓展提升|多三角形综合证明与面积计算|拓展题（如24题）融合勾股定理与全等，需构建面积模型求距离，发展创新意识与应用能力|

2.8　直角三角形全等的判定 浙教版八年级上册　第2章　特殊三角形　·　课时作业 班级：____________　姓名：____________　学号：________　得分：________ 一、知识梳理 知识点1　判定直角三角形全等的方法 直角三角形是特殊的三角形，所以判定一般三角形全等的方法对它同样适用： SSS（三边分别相等）、SAS（两边及其夹角分别相等）、ASA（两角及其夹边分别相等）、AAS（两角及其中一个角的对边分别相等）． 除此之外，直角三角形还有一个专用的判定方法——HL． 知识点2　HL定理（斜边、直角边定理） 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成"斜边、直角边"或"HL"）． 几何语言：如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中， （HL定理示意图） 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵AB＝DE（斜边相等），AC＝DF（直角边相等），∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． 书写要点：①必须先写明"在Rt△……和Rt△……中"，说明它们都是直角三角形；②两个条件中一个是斜边相等，另一个是直角边相等，缺一不可；③结论后面要注明依据（HL）． 知识点3　HL定理的适用范围 ①　HL只能用于直角三角形，一般三角形中"SSA"（两边及其中一边的对角分别相等）不能判定全等． ②　判定两个直角三角形全等时，直角（∠C＝∠F＝90°）已经是一对相等的角，所以再有两个条件即可： 　　两直角边相等→SAS；一直角边与一锐角相等→ASA或AAS；斜边与一锐角相等→AAS；斜边与一直角边相等→HL． ③　只有两个锐角分别相等（AA）不能判定两个直角三角形全等，因为形状相同但大小可能不同． 知识点4　角平分线的判定定理（用HL证明） 定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 如图，点P在∠AOB的内部，PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，且PD＝PE，则OP平分∠AOB． （角平分线的判定） 证明思路：连结OP，在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP＝OP（公共斜边），PD＝PE（直角边），由HL得Rt△OPD≌Rt△OPE，所以∠POD＝∠POE，即OP平分∠AOB． 易错提醒 ★　用HL时相等的两条边必须是"一条斜边＋一条直角边"，若是"两条直角边"应写SAS，不能写HL． ★　没有说明是直角三角形就直接用HL是错误的，证明中一定要先指出两个直角． ★　证明线段（或角）相等的基本思路：找出（或构造）含这两条线段的两个三角形，再选择合适的判定方法证全等． 二、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．两条直角边分别相等　　B．斜边和一条直角边分别相等 C．一条直角边和一个锐角分别相等　　D．两个锐角分别相等 2．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AB＝DE，AC＝DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是（　　） （第2题图） A．SSS　　B．SAS　　C．ASA　　D．HL 3．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AB＝DE．若要使Rt△ABC≌Rt△DEF，则下列条件中不能添加的是（　　） A．AC＝DF　　B．BC＝EF　　C．∠A＝∠D　　D．∠B＝∠E＋10° 4．如图，点P在∠AOB的内部，PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，且PD＝PE．则下列结论中错误的是（　　） （第4题图） A．Rt△OPD≌Rt△OPE　　B．OD＝OE C．OP平分∠AOB　　D．PD＝OD 5．已知两个直角三角形的斜边长都是10，其中一条直角边长都是6，则这两个三角形（　　） A．一定全等　　B．一定不全等　　C．不一定全等　　D．无法判断 6．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BD＝CE，则可以直接判定全等的一对三角形是（　　） （第6题图） A．Rt△ABE与Rt△ACD　　B．Rt△BDC与Rt△CEB C．Rt△BDO与Rt△CEO　　D．△ABC与△AEO 7．在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，下列条件中能判定这两个三角形全等的有（　　） ①AC＝DF，AB＝DE；②AC＝DF，∠A＝∠D；③AB＝DE，BC＝EF；④∠A＝∠D，∠C＝∠F． A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 8．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF，则下列结论中不一定成立的是（　　） （第8题图） A．Rt△BDE≌Rt△CDF　　B．∠B＝∠C　　C．AB＝AC　　D．AE＝AB 9．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，且BE＝CF，则图中全等的直角三角形共有（　　） （第9题图） A．1对　　B．2对　　C．3对　　D．4对 10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则AB边上的高与Rt△ABC斜边上的中线的长度之和为（　　） A．24/5　　B．5　　C．49/5　　D．29/5 三、填空题（每小题3分，共24分） 11．判定两个直角三角形全等的专用方法是____________定理，可以简写成"________________"或"________"． 12．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，若AB＝DE，则只要再添加一个条件____________，就可以用HL判定Rt△ABC≌Rt△DEF． （第12题图） 13．如图，点P在∠AOB的内部，PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E．若PD＝PE＝4，OP＝5，则OD＝________，OE＝________． （第13题图） 14．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF＝13，AB＝DE＝5，则BC＝________，EF＝________，这两个三角形________（填"全等"或"不全等"）． 15．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E．若BD＝CE，则由________可证Rt△BDC≌Rt△CEB，从而得到∠DBC＝________，进而得AB________AC． （第15题图） 16．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD是BC边上的高，则BD＝________，AD＝________． （第16题图） 17．已知一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为8，则这个直角三角形的面积为________，斜边上的高为________． 18．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE＝DF，BE＝3，则CF＝________，∠B与∠C的数量关系是________． （第18题图） 四、解答题（共36分） 19．（8分）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AB＝DE，AC＝DF． （第19题图） （1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF； （2）若AC＝6，AB＝10，求EF的长． 20．（8分）如图，点P在∠AOB的内部，PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，且PD＝PE． （第20题图） 求证：OP平分∠AOB．（这就是角平分线的判定定理，请用HL加以证明．） 21．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，且BD＝CE． （第21题图） （1）求证：Rt△BDC≌Rt△CEB； （2）求证：AB＝AC． 22．（10分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF． （第22题图） （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）若∠A＝40°，求∠EDF的度数． 五、拓展提升（共10分） 23．（5分）如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，且BE＝CF，BE与CF相交于点O． （第23题图） （1）求证：AB＝AC； （2）求证：点O在∠BAC的平分线上． 24．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的高． （第24题图） （1）求证：Rt△ABD≌Rt△ACD； （2）求AD的长及△ABC的面积； （3）求点D到边AB的距离． 参考答案与解析 2.8　直角三角形全等的判定 一、选择题 1．D 【解析】A中两直角边相等，加上夹角是直角，可用SAS；B是HL；C中一条直角边和一个锐角相等，可用ASA或AAS；D中只有两个锐角相等，没有任何一组边相等，两个三角形形状相同但大小可能不同，不能判定全等． 2．D 【解析】AB，DE是斜边，AC，DF是直角边，恰好是"斜边和一条直角边分别相等"，所以依据是HL． 3．D 【解析】A：斜边AB＝DE与直角边AC＝DF，用HL；B：斜边与另一条直角边相等，也用HL；C：斜边AB＝DE与一组锐角∠A＝∠D，用AAS；D：∠B＝∠E＋10°说明两个锐角不相等，两个三角形不可能全等．故不能添加的是D． 4．D 【解析】连结OP．在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP＝OP，PD＝PE，由HL得Rt△OPD≌Rt△OPE，A正确；由全等得OD＝OE，∠POD＝∠POE，B、C正确；PD与OD分别是同一个直角三角形的一条直角边与另一条直角边，一般并不相等，D不一定成立． 5．A 【解析】两个直角三角形的斜边相等、一条直角边相等，符合HL的条件，所以一定全等．（这也说明"SSA"在直角三角形中是成立的．） 6．B 【解析】因为CD⊥AB，BE⊥AC，所以∠BDC＝∠CEB＝90°．在Rt△BDC和Rt△CEB中，BC＝CB（公共斜边），BD＝CE（直角边），由HL可直接判定Rt△BDC≌Rt△CEB，故选B．A、C中缺少足够的条件，不能直接判定． 7．C 【解析】①斜边与直角边分别相等，HL，可以；②斜边与一组锐角相等，AAS，可以；③两条直角边分别相等，SAS，可以；④只有两组角相等，没有边相等，不能．所以能判定的有3个． 8．D 【解析】因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED＝∠CFD＝90°；又D是BC中点，BD＝CD，且DE＝DF，由HL得Rt△BDE≌Rt△CDF，A正确；由全等得∠B＝∠C，B正确；由"等角对等边"得AB＝AC，C正确；AE是AB的一部分，显然AE＜AB，D不成立． 9．C 【解析】由BE＝CF及BC＝CB，∠BEC＝∠CFB＝90°，得Rt△BEC≌Rt△CFB（HL），这是第1对；由此得∠ABC＝∠ACB，于是AB＝AC，进而可得Rt△ABE≌Rt△ACF（AAS或HL），这是第2对；又由AB＝AC，BE＝CF可得BF＝CE，从而Rt△BOF≌Rt△COE（AAS），这是第3对．共3对． 10．C 【解析】AB=√(82+62)=√(100)=10．斜边上的高h=AC×BC/AB=8×6/10=24/5；斜边上的中线=1/2AB=5．所以和为24/5+5=24+25/5=49/5． 二、填空题 11．斜边、直角边；斜边、直角边；HL 12．AC＝DF（或BC＝EF） 【解析】已有斜边AB＝DE，再补一条直角边相等即可用HL． 13．3；3 【解析】因为PD⊥OB，所以△OPD是直角三角形，OP是斜边．由勾股定理得OD=√(OP2-PD2)=√(52-42)=√(9)=3．同理OE=3．（也可由Rt△OPD≌Rt△OPE直接得OE＝OD＝3．） 14．12；12；全等 【解析】BC=√(132-52)=√(144)=12，同理EF＝12．由斜边AC＝DF与直角边AB＝DE，根据HL可知两个三角形全等． 15．HL；∠ECB；＝ 【解析】∠BDC＝∠CEB＝90°，BC＝CB（公共斜边），BD＝CE（直角边），故由HL得Rt△BDC≌Rt△CEB，所以∠DBC＝∠ECB，即∠ABC＝∠ACB，由"等角对等边"得AB＝AC． 16．6；8 【解析】因为AB＝AC，AD⊥BC，由"三线合一"得BD=1/2BC=6；在Rt△ABD中，AD=√(102-62)=√(64)=8． 17．24；4.8 【解析】另一条直角边为√(102-82)=6，面积为1/2×8×6=24；设斜边上的高为h，则1/2×10×h=24，h=4.8． 18．3；∠B＝∠C 【解析】由Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）得CF＝BE＝3，∠B＝∠C． 三、解答题 19．（1）证明：∵∠C＝∠F＝90°， ∴△ABC与△DEF都是直角三角形． 在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB＝DE，AC＝DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． （2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=√(AB2-AC2)=√(102-62)=√(64)=8． 由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，所以EF＝BC＝8． 20．证明：连结OP． ∵PD⊥OB，PE⊥OA，∴∠ODP＝∠OEP＝90°， ∴△ODP与△OEP都是直角三角形． 在Rt△ODP和Rt△OEP中，OP＝OP（公共斜边），PD＝PE（直角边）， ∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL）， ∴∠POD＝∠POE，即OP平分∠AOB． 【方法小结】要证一条射线是角的平分线，常用的办法有两个：①证明它分成的两个角相等（多用全等）；②证明这条射线上有一点到角的两边距离相等（用判定定理）． 21．（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠CEB＝90°， ∴△BDC与△CEB都是直角三角形． 在Rt△BDC和Rt△CEB中，BC＝CB（公共斜边），BD＝CE（直角边）， ∴Rt△BDC≌Rt△CEB（HL）． （2）证明：由（1）知Rt△BDC≌Rt△CEB， ∴∠DBC＝∠ECB，即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC（等角对等边）． 【易错提醒】这里BC是两个直角三角形的公共斜边，一定要先找准斜边，否则容易误用SAS． 22．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°． ∵点D是BC的中点，∴BD＝CD． 在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD＝CD（斜边相等），DE＝DF（直角边相等）， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC（等角对等边）， 即△ABC是等腰三角形． （2）解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠B=∠C=180°-40°/2=70°． 在四边形AEDF中，∠A＋∠AED＋∠EDF＋∠AFD＝360°， 即40°＋90°＋∠EDF＋90°＝360°， ∴∠EDF＝140°． （另解：∠BDE＝90°－70°＝20°，∠CDF＝20°，所以∠EDF＝180°－20°－20°＝140°．） 四、拓展提升 23．（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BEC＝∠CFB＝90°． 在Rt△BEC和Rt△CFB中，BC＝CB（公共斜边），BE＝CF（直角边）， ∴Rt△BEC≌Rt△CFB（HL）， ∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC（等角对等边）． （2）证明：由（1）中Rt△BEC≌Rt△CFB得CE＝BF． 在Rt△BOF和Rt△COE中，∠BFO＝∠CEO＝90°，∠BOF＝∠COE（对顶角相等），BF＝CE， ∴Rt△BOF≌Rt△COE（AAS），∴OF＝OE． 又OF⊥AB，OE⊥AC，且点O在∠BAC的内部， ∴点O在∠BAC的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． 24．（1）证明：∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°． 在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB＝AC（斜边相等），AD＝AD（公共直角边）， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）． （2）解：由（1）得BD＝CD，又BC＝10，∴BD=1/2×10=5． 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD=√(AB2-BD2)=√(132-52)=√(144)=12． ∴S△ABC=1/2×BC×AD=1/2×10×12=60． （3）解：设点D到AB的距离为h，即DH⊥AB于点H，DH＝h． 用两种方法计算△ABD的面积：S△ABD=1/2×BD×AD=1/2×5×12=30， 又S△ABD=1/2×AB×h=1/2×13×h， ∴1/2×13×h=30，解得h=60/13． 即点D到边AB的距离为60/13． 【本节总结】证直角三角形全等时，先看有没有"斜边＋直角边"，有就用HL；没有就回到SSS，SAS，ASA，AAS．得到全等之后，再用"对应边相等、对应角相等"去证线段相等、角相等、平行、垂直等结论． 学科网（北京）股份有限公司 $