2.7 第1课时 勾股定理-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

第2章特殊三角形 2.7探索勾股定理 第1课时 勾股定理 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为 () A.225 B.200 C.150 D.无法计算 B水平面 (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，点A,B为被固定的两端，然后从中点C将橡皮筋 垂直向上拉升3cm至点D,则橡皮筋被拉长了 () A.2 cm B.3 cm C.4cm D.6 cm 3.舒精境生活实际如图，某种货车的车高AC为4，卸货时货车后面的支架AB弯折，使点A落 在地面点A1处，经测量A1C=2m,则弯折点B到地面的距离为 m. 4.如图，每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为1. (1)如图①，求涂色正方形的面积，并根据面积求正方形的边长。 (2)如图②，在4×4的正方形网格中，由(1)中的解题思路和方法，作出长为10的线段，并说明 理由. ① ② (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.舒境数学文化“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图 所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三 角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若(a+b)2=24,大正方形的面积为15，则小正方形 的面积为 A.8 B.5 C.6 (第5题) D.4 51 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 6.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四 个正方形，面积分别为S1,S2,S3,S4.若S1=48,S2+S3=135,则S4的值为 s.C A S. B E (第6题) (第7题) 7.*舒情境生活实际如图，有一只摆钟，将摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度 DE=6cm,当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF=8cm,此时摆锤与静止时位置 的水平距离BC=10cm,则钟摆AD的长度是 8.方程思想如图，在△ABC中，AB=AC=20,BC=32,D是BC上一点，且AD⊥AC,求BD的长. D (第8题) 微专题·勾股定理在折叠问题中的应用 1.方程思想如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=13,BC=12,D为BC边上一点.将△ABD 沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则DE的长为 () A号 B. 26 5 c. 26 4 D.3 B (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=9,将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重 合，折痕交AC于点M,交BC于点N,则BN的长为 3.如图，在长方形ABCD中，AB-号，BC=12.AG=13,E为BC上一点，沿AE所在直线翻折 △ABE,使AB与AF重合，点F在AG上，则CE的长是 52 >“答案与解析”见P30段能构成直角三角形. D ① (第10题) 2.7探索勾股定理 第1课时勾股定理 1.A在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理，得 AC+BC=AB2=152=225,所以正方形ADEC和正方 形BCFG的面积和为225. 2.A由题意可知，AC=BC,DC⊥AB.所以AD=DB. 在Rt△ACD中，∠ACD=90,AC=2AB=4cm,CD 3cm.根据勾股定理，得AD=AC2+CD2=42+32 25(cm).因为AD>0,所以AD=5cm.所以AD+BD- AB=2AD一AB=10-8=2(cm).所以橡皮筋被拉长了 2 cm. 3.号由题意，得AB=A,B,∠CA,=90C设BC=xm, 则AB=A,B=AC-BC=(4-x)m.在Rt△A,BC中，根 据勾股定理，得A,C+BC2=A,B2,即22+x2=(4 x尸，解得x一号所以弯折点B到地面的距离为号m 4.(1)如图①.根据勾股定理，得AB2=AE2+BE=1十 22=5.所以涂色正方形的面积=AB2=5,则正方形的边长 为5.(2)作法不唯一，如图②，线段GH即为所求作。 理由：如图②，根据勾股定理，得GH2=MH+GM= 12+32=10.因为GH>0,所以GH=√10. M ① ② (第4题) 5.C设大正方形的边长为c,则c2=a2+b2=15.因为 (a+b)2=24,所以a2+2ab十b2=24,解得ab=4.5.所以 小正方形的面积为15-2ab×4=15-号×4.5×4= 15-9=6. 6.87连结BD.因为∠DAB=∠BCD=90°，所以AB2+ AD2=BD,BC2+CD2=BD2.所以AB2+AD2=BC2+ CD.所以S1+S,=S2+S3.所以S,=135-48=87. 7.26am设AB=AD=xcm.根据题意可知，BC∥EF, CE⊥EF,BF⊥EF,BF=8cm,所以CE=BF=8cm.所 以AC=AD+DE-CE=x+6-8=(x-2)cm.在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，所以AB?=AC?+BC,即 x2=(x-2)2+102,解得x=26.所以钟摆AD的长度是 26cm. 方法归纳 利用勾股定理构建方程模型 勾股定理中含有等量关系，在几何问题的求解过程 中，可以利用勾股定理构建方程模型，通过解方程求线 段的长度，从而使问题得到解决. 8.过点A作AE⊥BC于点E.因为AB=AC=20,BC=32, 所以BE=CE=?BC=16.在R△AEC中，∠AEC= 90°，所以AE2=AC2-CE2=144.因为AE>0,所以AE= 12.设DE=x,则BD=16-x,CD=16+x.因为AE⊥ DE,AD⊥AC,所以在Rt△ADE中，AD=AE+DE, 即AD=122+x2,在Rt△ADC中，AD2=CD-AC,即 AD2=(16+x)2-202,所以122+x2=(16+x)2-20,解 得x=9.所以BD=16-9=7. 一微专题·勾股定理在折叠问题中的应用 1.C因为∠ACB=90°，AB=13,BC=12,所以AC2= AB2-BC2=25.因为AC>0,所以AC=5.因为将 △ABD沿AD折叠，点B恰好落在线段AC的延长线 上点E处，所以AE=AB=13,BD=DE.所以CE=8. 因为DE2=CD2+CE,所以DE2=(12-DE)2+64. 所以DE-9 2.4因为D是AB的中点，AB=6,所以AD=BD= 3.因为将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合， 以DN=CN.所以BN=BC一CN=9一DN.在 Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2,所以DN2=(9 DN)2+9.所以DN=5.所以BN=4. 号 连结BG.在长方形ABCD中，AB=号，BC 12,AG=13,所以∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD= 2,AD=BC=12.根据题意，得∠AFE=∠B=90 AF=AB=号，所以FG=AG-AF-兰所以AF FG.所以EF垂直平分AG.所以AE=GE.因为AD= BC=12,AG=13,∠D=90°，所以在Rt△ADG中，由勾 股定理，得DG=AG2-AD=25.因为DG>0,所以 G=5.所以CG=CD-DG=》在R△ABE中，由 勾股定理，得AE2=AB2十BE,在Rt△CEG中，由勾 股定理，得GE=CE2十CG.因为AE=GE,所以 AB+BE=CE+CG.所以（受） +(12-CE)2= CF+(受）》广，餐得CE-孕 第2课时勾股定理的逆定理 1.CA.7+24=25,能构成直角三角形，不符合题意 B.9+12=15,能构成直角三角形，不符合题意.C.12+ (2)2≠32，不能构成直角三角形，符合题意.D.0.32十 0.4=0.52,能构成直角三角形，不符合题意. 2.B由题意，得AB=2+32=13,BC2=1+22=5, CD2=22+22=8,所以AB2=BC2+CD2.所以三条线段 AB,BC,CD首尾相连能拼成一个直角三角形. 3.45°因为∠BAC=90°，AB=4,AC=4,所以∠ABC 45°，BC=AB2+AC2=4+42=32.因为BD=7,DC=9, 所以BD2+BC2=49+32=81=92=DC.所以△DBC是 直角三角形，∠DBC=90°.所以∠DBA=∠DBC一 ∠ABC=45°. 4.在Rt△ABD中，BD2=AD2-AB2=92-62=45(dm2), 在△BCD中，BC2+CD=32+62=45(dm2),所以BC2+ CD2=BD2.所以△BCD是直角三角形，∠BCD=90°，即 BC⊥CD.所以该车符合安全标准。 5.C因为AB2=1+62=37,AC2=42+5=41,BC2= 12+3=10,37+10≠41，所以点A,B,C不可以构成直角 三角形.故选项A不符合题意.同理，可得选项B,D也不符 合题意.因为BE2=62+4=52,BF2=5+52=50,EF2= 1+1=2,50十2=52，所以点B,E,F可以构成直角三角 形.故选项C符合题意. 6.45°如图，延长AP到点C,使AP=PC,连结BC.易 知点C在网格的格点上.因为AP2=PC=1+2=5, BC2=12+22=5,BP2=12+32=10,所以PC=BC, PC2+BC2=BP2.所以△PCB是等腰直角三角形，且 ∠PCB=90°.所以∠CPB=∠CBP=45°.所以∠PAB+ ∠PBA=∠CPB=45° (第6题) 7.17,144,145分析各组数据：①3=2×1+1,4=2×1× (1+1),5=2×1×(1+1)+1;②5=2×2+1,12=2×2× (2+1),13=2×2×(2+1)+1:③7=2×3+1,24=2× 3×(3+1),25=2×3×(3+1)+1;④9=2×4+1,40= 2×4×(4+1),41=2×4×(4十1)+1，….则第①组勾股 数的第一个数是2n十1，第二个数为2n(n十1)，第三个数 为2m(n+1)+1,所以第⑧组勾股数为17,144,145. 8.(1)在△CHB中，因为CH2+BH=2.4+1.82= 9(km),BC2=9km,所以CH2+BH2=BC2.所以 △CHB是直角三角形，且∠CHB=90°，即CH⊥AB.所以 CH是从村庄C到河边最近的路.(2)设AC=xkm.因 为AB=AC,所以AB=xkm.所以AH=(x一1.8)km.因 为CH⊥AB,所以∠CHA=90°.在Rt△ACH中，由勾股 定理，得AC2=AH+CH,即x2=(x-1.8)2+2.4,解 得x=2.5.所以AC的长为2.5km. 9.(1)如图，连结AC.因为AB=BC=AD=50m, ∠ABC=90°，所以△ABC是等腰直角三角形.所以AC= AB2+BC2=502+502=5000(m2),∠BAC=45°.因为 AD2=502=2500(m2),CD2=7500m,所以AD2+ AC2=CD2.所以△ACD是直角三角形，∠CAD=90°.所 以∠DAB=∠CAD+∠BAC=90°+45°=135°.(2)该 监控装置符合要求.理由：如图，过点D作DE⊥直线 AB于点E,作点A关于DE的对称点A',连结DA'.所以 ∠DEA=90°.因为∠BAD=135°，所以∠DAE=45°.所以 ∠ADE=90°-45°=45°.所以DE=AE,△DEA是等腰直 角三角形.在Rt△DEA中，DE2+EA2=AD,所以 2EA2=2500.所以EA2=1250m2.因为352=1225，所以 AE>35m所以AA'=2AE>70m.所以AA>68m.所 以该监控装置符合要求 D 工厂 A E B (第9题) 2.8直角三角形全等的判定 1.D因为BE⊥AD,CF⊥AD,所以∠AEB=∠CFD= 90°.添加①，可利用“AAS”判定△ABE2△DCF.添加②， 由ABCD,可得∠A=∠D,可利用“AAS”判定△ABE≌ △DCF.添加③，可利用“HL”判定Rt△ABE≌Rt△DCF 添加④，由AF=DE,可得AE=DF,再利用“HL”判定 Rt△ABE≌Rt△DCF.综上所述，添加①②③④都可以判 定△ABE与△DCF全等