2.7 探索勾股定理一课一练（1）2026-2027学年浙教版数学八年级上册

浙教版（2024）数学八年级上册一课一练 第2章　特殊三角形 2.7　探索勾股定理 第1课时　勾股定理 1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列说法中，正确的是(　 　) A．a2＋b2＝c2 B．a2＋c2＝b2 C．a2－b2＝c2 D．b2＋c2＝a2 2.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为____________． (第2题) 3．如果直角三角形的斜边长为5，一直角边的长为3，则此直角三角形的面积为_________． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为_________． (第4题) 5．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝c，BC＝a，AC＝b. (1)已知b＝a＝5，则c= . (2)已知c＝6，b＝1，则a= . (3)已知a＝，b＝，则c= . 6．如图，数轴上点A，B分别表示数1，2，过点B作PQ⊥AB.以点B为圆心，AB长为半径作弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径作弧，交数轴于点M，则点M表示的数是_________ . (第6题) 7．如图，有两棵树，一棵高12 m，另一棵高6 m，两树相距8 m．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则至少要飞行__________m. 　　　　　　　 (第7题) 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高线，且AB＝13，BC＝12，则AC的长为 ，CD的长为 . (第8题) 9．我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理． 如图的长方形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该长方形的面积为(　 　) (第9题) A．20 B．24 C. D. 10．已知，如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于点D，M为AD上任意一点，则MC2－MB2＝__________． (第10题) 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6 cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒 cm的速度向终点B运动；同时，点Q从点B出发，沿BC方向以每秒1 cm的速度向终点C运动，当△PQC是以QC为底边的等腰三角形时，运动时间t＝_________s. 　　　　　　 (第11题) 12．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了如下的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答． →→ (第12题) 13．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B顺时针旋转90°后得到△CBQ. (1)求∠PCQ的度数． (2)当AB＝2，AP∶PC＝1∶3时，求PQ的长． (3)当点P在线段AC上运动时(点P不与点A重合)，请直接写出PA2，PC2，PB2之间数量关系． (第13题) 【参考答案】 1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列说法中，正确的是(　B　) A．a2＋b2＝c2 B．a2＋c2＝b2 C．a2－b2＝c2 D．b2＋c2＝a2 2.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为__100__． (第2题) 3．如果直角三角形的斜边长为5，一直角边的长为3，则此直角三角形的面积为__6__． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为__8__． (第4题) 【解析】 ∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD. ∵AB＝5，AD＝3，∴BD＝＝4，∴BC＝2BD＝8. 5．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝c，BC＝a，AC＝b. (1)已知b＝a＝5，则c= . (2)已知c＝6，b＝1，则a= . (3)已知a＝，b＝，则c= . 【解析】(1)c＝＝. (2)a＝＝. (3)c＝＝1. 6．如图，数轴上点A，B分别表示数1，2，过点B作PQ⊥AB.以点B为圆心，AB长为半径作弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径作弧，交数轴于点M，则点M表示的数是 . (第6题) 【解析】 由题意，得OB＝2，BC＝1， ∴OM＝OC＝＝， ∴点M表示的数是. 7．如图，有两棵树，一棵高12 m，另一棵高6 m，两树相距8 m．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则至少要飞行__10__m. 　　　　　　　 (第7题) 【解析】 如答图，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形EBDC是长方形，连结AC. (第7题答图) 由题意得，大树高AB＝12 m，小树高CD＝6 m，两树间距EC＝8 m， ∴EB＝CD＝6 m，∴AE＝AB－EB＝6 m，∴Rt△AEC中，AC＝＝10 m， 即小鸟至少要飞行10 m. 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高线，且AB＝13，BC＝12，则AC的长为 ，CD的长为 . (第8题) 【解析】(1)∵AB＝13，BC＝12，∴AC＝＝5. (2)∵S△ABC＝AB·CD＝BC·AC，∴13CD＝12×5，∴CD＝. 9．我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理． 如图的长方形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该长方形的面积为(　B　) (第9题) A．20 B．24 C. D. 【解析】 设小正方形的边长为x. ∵a＝3，b＝4，∴AB＝3＋4＝7. 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即(3＋x)2＋(x＋4)2＝72，整理，得x2＋7x＝12， ∴长方形的面积＝(x＋3)(x＋4)＝x2＋7x＋12＝12＋12＝24. 10．已知，如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于点D，M为AD上任意一点，则MC2－MB2＝__45__． (第10题) 【解析】 在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2－AD2，CD2＝AC2－AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中，MB2＝BD2＋MD2＝AB2－AD2＋MD2， MC2＝CD2＋MD2＝AC2－AD2＋MD2， ∴MC2－MB2＝(AC2－AD2＋MD2)－(AB2－AD2＋MD2)＝AC2－AB2＝92－62＝45. 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6 cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒 cm的速度向终点B运动；同时，点Q从点B出发，沿BC方向以每秒1 cm的速度向终点C运动，当△PQC是以QC为底边的等腰三角形时，运动时间t＝__2__s. 　　　　　　 (第11题) 【解析】 如答图，过点P作PN⊥BC于点N，PM⊥AC于点M，则四边形PMCN是长方形，PM＝NC.当PQ＝PC时，QN＝NC. (第11题答图) ∵△PQC是以QC为底边的等腰三角形，∴PQ＝PC，∴QN＝NC. 由题意，得AP＝t(cm)，BQ＝t(cm)． ∵∠BCA＝90°，AC＝BC＝6 cm，∴∠B＝∠A＝45°，∴AM＝PM＝t(cm)， ∴BQ＝QN＝NC＝PM＝t(cm)，∴3t＝6，解得t＝2. 12．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了如下的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答． →→ (第12题) 解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13， 设BD＝x，则CD＝14－x. 由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2， AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2， ∴152－x2＝132－(14－x)2， 解得x＝9， ∴AD＝＝12， ∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84. 13．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B顺时针旋转90°后得到△CBQ. (1)求∠PCQ的度数． (2)当AB＝2，AP∶PC＝1∶3时，求PQ的长． (3)当点P在线段AC上运动时(点P不与点A重合)，请直接写出PA2，PC2，PB2之间数量关系． (第13题) 解：(1)易得△ABP≌△CBQ， ∴∠A＝∠ACB＝∠BCQ＝45°， ∴∠PCQ＝∠ACB＋∠BCQ＝90°. (2)∵△ABP≌△CBQ， ∴AP＝CQ. ∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴AC2＝AB2＋BC2＝2AB2＝16， ∴AC＝4. ∵AP∶PC＝1∶3， ∴AP＝AC＝1，PC＝AC＝3， ∴CQ＝AP＝1， ∴在Rt△PCQ中， PQ＝＝. (3)2PB2＝PA2＋PC2. 学科网（北京）股份有限公司 $