2.3 第1课时 等腰三角形性质定理1及其推论-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

第2章特殊三角形 2.3等腰三角形的性质定理 第1课时等腰三角形性质定理1及其推论 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.舒青境生活实际某城市几条道路的位置关系如图所示，道路ABCD,道路AB与AE的夹角 ∠BAE=48°.城市规划部门想新修一条道路CE,要求CF=EF,则∠E的度数为 () A.22 B.23° C.24 D.25° D D A R P E\ (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，把等边三角形ABC沿着DE折叠，使，点A恰好落在边BC上的点P处，且DP⊥BC,点 D,E分别在边AB,AC上，则∠PED的度数是 () A40 B.45° C.50 D.55° 3.如图，在△ABC中，∠A=23°，线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E.若AE= BC,则∠C的度数是 4.[2025嘉兴二模]如图，在△ABC中，AB=AC,点E,F分别在边AB,AC上，且CB=CE=CF, 连结BF. (1)当∠A=40时，求∠BFC的度数 (2)若∠BFC+∠BEC=126°，求∠A的度数 (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD,且AC=CD,则∠BAD的度数为 ( A.509 B.45 C.40° D.35 (第5题) 37 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 6.[2025宁波宁海期中]如图，在△ABC中，D,E为BC边上两点，且满足AB=BE,AC=CD,连 结AD,AE.若∠BAC=a,∠DAE=B,则a与B之间的数量关系为 () A.a+B=180° B.a+28=180° C.a-B=90° D.a-23=90° (第6题) (第7题) 7.如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA 于点D,连结CD,则∠BCD的度数是 8.考向探究题已知△ABC与△ADE均为等边三角形，点A,E在BC的同侧，连结CE. (1)如图①，点D在边BC上，请用等式写出线段AC,CD,CE之间的数量关系，并 说明理由， (2)如图②，点D在BC的延长线上，其他条件不变，写出线段AC,CD,CE之间的数量关系，并 说明理由. ② ② (第8题) 议三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.易错题如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠A<90°，CD是△ABC的边AB上的高线，BE 是△ABC的角平分线，CD与BE相交于点P.当∠A的度数发生变化时，△EPC的形状也随 之改变 (1)当∠A=44时，求∠BPD的度数. (2)设∠A=x°，∠EPC=y°，试用含x的式子表示y. (3)在(2)的条件下，当△EPC是等腰三角形时，求∠A的度数. D P (第9题) 38 >“答案与解析”见P217.B由题意，得微型机器人从点A开始行走1m停在点 B处，行走2m停在点C处，行走3m停在点D处，行走 4m停在点B处，行走5m停在点E处，行走6m返回到 点A处.因为2026÷6=337…4，所以微型机器人停在 点B处 8.8连结AD.因为DE⊥AB,DF⊥AC,所以S△Ax= SAm+Sam=号AB:DE+ 2AC·DF.因为SAx 48,AB=AC=8,所以号×8DE+7×8DF=48.所以 DE+DF=12.因为DF=2DE,所以DE+2DE=12.所以 DE=4.所以DF=2X4=8. 9.△BCD是等腰三角形.理由：因为AB,AC是等腰三 角形ABC的两腰，AD平分∠BAC,所以AB=AC, ∠BAD=∠CAD.在△BAD和△CAD中，因为 (AB=AC, ∠BAD=∠CAD,所以△BAD≌△CAD(SAS).所以 AD=AD, BD=CD.所以△BCD是等腰三角形. 10.当3x一2=4x一3，即x=1时，三边长分别为1,1,4. 因为1+1<4，所以不能构成三角形.当3x-2=6一2x,即 x=1.6时，三边长分别为2.8,3.4,2.8.因为2.8+2.8> 3.4,所以能构成三角形，此时周长为2.8十3.4十2.8=9. 当4x-3=6-2x,即x=1.5时，三边长分别为2.5,3,3. 因为2.5+3>3，所以能构成三角形，此时周长为2.5十3+ 3=8.5.综上所述，该等腰三角形的周长为9或8.5. 11.满足条件的所有大小不同的等腰三角形如图①②③④ ⑤所示. >》 (第11题) 2.3等腰三角形的性质定理 第1课时等腰三角形性质定理1及其推论 1.C因为AB∥CD,所以∠DFE=∠BAE=48°.因为 CF=EF,所以∠C=∠E.因为∠C+∠E=∠DFE,所以 ∠E=7∠DFE=24 2.B因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠B= ∠C=60°，AB=BC.因为DP⊥BC,所以∠BPD=90°.所 以∠BDP=30°.因为把等边三角形ABC沿着DE折叠，使 点A恰好落在边BC上的点P处，所以∠DPE=∠A= 60.所以∠ADE=∠PDE=号×(180°-30)=75.所以 ∠PED=180°-∠DPE-∠PDE=45°. 3.46°连结BE.因为线段AB的垂直平分线交AB于点 D,交AC于点E,所以AE=BE.所以∠ABE=∠A=23°. 所以∠BEC=∠A+∠ABE=46°.因为AE=BC,所以 BE=BC.所以∠C=∠BEC=46°. 4(D因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=号(I80- ∠A)=70°.因为CB=CF,所以∠BFC=∠CBF= 2(180-∠ACB)=55.(2)因为AB=AC.CB=CE 所以∠CBE=∠BCF,∠CBE=∠CEB.所以∠CBE= ∠CEB=∠BCF.因为∠BFC+∠BEC=126°，所以 ∠BFC+∠BCF=126°.所以∠CBF=180°一（∠BFC+ ∠BCF)=54°.所以∠BFC=∠CBF=54°.所以∠BCF= 180°-∠BFC-∠CBF=72°.所以∠CBE=∠BCF=72 所以∠A=180°一∠CBE-∠BCF=36°. 5.B因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC=∠ACB= 60°.因为BC⊥CD,所以∠BCD=90°.所以∠ACD= ∠ACB+∠BCD=60°+90°=150°.因为AC=CD,所以 ∠CAD=∠D=180-ACD_180”,150=15:所以 2 2 ∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°-15°=45°. 6.B因为在△ABC中，∠BAC=a,所以∠B+∠C= 180°-∠BAC=180°-a.因为AB=BE,所以∠BAE= ∠BEA=号(180°-∠B)=90-2∠B.又因为AC= CD,所以∠CAD=∠CDA=2(180-∠C)=90- 2∠C.所以∠BAE+∠CAD=180°-（∠B+∠C)= 180-号×(180°-e)=180-90+7。=90+24.所以 ∠DAE=∠BAE+∠CAD-∠BAC.即，月=90r+2a a=90°-7a.所以e+29=180 7.10°或100°因为在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC= 80°，所以∠ACB=180°-40°一80°=60°.分两种情况讨论： ①如图，当点D在线段AB上时，由作图，知AC=AD,所 以∠ACD=∠AC=号X(180-80)=50.所以 ∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°-50°=10°.②如图，当点 D(后用点D'表示)在线段BA的延长线上时，由作图，知 AC=AD',所以∠ACD'=∠AD'C.因为∠ACD'+ ∠AD'C=∠BAC=80°，所以∠ACD'=40°.所以 ∠BCD'=∠ACB+∠ACD'=60°+40°=100°.综上所述， ∠BCD的度数是10°或100. D B (第7题) 8.(1)AC=CD十CE.理由：因为△ABC为等边三角 形，所以AB=AC=BC,∠BAC=60°.因为△ADE为等边 三角形，所以AD=AE,∠DAE=60°.所以∠BAC一 ∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在 AB=AC, △ABD和△ACE中，因为∠BAD=∠CAE,所以 AD-AE. △ABD2△ACE(SAS).所以BD=CE.所以BC=BD+ CD=CE+CD.所以AC=CD+CE.(2)CE=AC+ CD.理由：因为△ABC与△ADE均为等边三角形，所以 AB=AC=BC,∠BAC=∠DAE=60°，AD=AE.所以 ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD= AB=AC, ∠CAE.在△ABD和△ACE中，因为∠BAD=∠CAE, AD-AE 所以△ABD≌△ACE(SAS).所以BD=CE.因为BD= BC+CD=AC+CD,所以CE=AC+CD. 9.(1)因为AB=AC,∠A=44°，所以∠ABC=∠ACB= 是×(180-40=68.因为BE平分∠ABC,所以 ∠ABE=3∠ABC=3.因为CDLAB,所以∠ADC= 90°.所以∠BPD=90°-∠ABE=56°.(2)因为AB= AC,∠A=x°，所以∠ABC=∠ACB=2(180°-x)= 90-分因为BE平分∠ABC所以∠ABE=∠ABC= 45°-不因为CDLAB,.所以∠ADC=902所以∠EPC= y°=∠BPD=90-∠ABE=90°-(45°-)=45+， 所以y=45+千(3)因为CD⊥AB,所以∠ABC+ ∠BCD=90°.①若EP=EC,则∠ECP=∠EPC=y°.因 为∠ABC+∠BCD=90°，所以∠ABC+(∠ACB一 ∠BCP)=90.因为∠ABC=∠ACB=90°-号，所以 (90-)+(90°-亏-y）=90将y=45+千代人，解 得x=36.所以∠A=36°.②若PC=PE,则∠PCE= ∠PEBC=号(180-y)=90-兰.因为∠ABC+ ∠BCD=90°，所以∠ABC+(∠ACB-∠PCE)=90°.因 为∠ABC=∠ACB=90-亏，所以(0°-)+ [(90-)-(90°-2)】=90.将y=45+￥代人，解 得x=19所以∠A-():③若CP-CE,则∠ErC- ∠PEC=y°，∠PCE=180°-2y°.因为∠ABC+∠BCD= 90°，所以∠ABC+(∠ACB-∠PCE)=90°.因为∠ABC= ∠ACB=90°- 至，所以(0-)+[(90-)- (180-2y)=90.将y=45+平代入，解得x=0,不合 题意，舍去.综上所述，当△EPC是等腰三角形时，∠A的 度数为36或(1） 易错警示 未正确运用分类讨论思想解题而导致漏解 解决这类问题时，要根据条件进行分类讨论.这类 问题中没有指明顶角或底角的度数，解题时要注意分情 况进行讨论.对于本题，易因没有对哪个角是等腰三角 形的顶角进行分类讨论而导致漏解。 第2课时等腰三角形性质定理2 1.D因为AB=AC,D是BC的中点，∠BAC=110°，所 以∠BAD=∠CAD=∠BAC=5,因为AD=DE.所 以∠CAD=∠DEA.所以∠ADE=180°-2∠CAD= 180°-2×55°=180°-110°=70°. 2.120°因为AB=BC,BD是△ABC的高线，所以 ∠ABC=2∠ABD=2X50°=100°，∠BAC=∠C.所以 ∠BAC=号(180-∠AC)=40,∠ABE=-180 ∠ABC=80°.因为AE=BE,所以∠EAB=∠ABE=80°. 所以∠EAC=∠EAB+∠BAC=80°+40°=120°. 3.①②③因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC= AC,∠A=∠ABC=∠ACB=60°.又因为BD是边AC上 的中线，所以BD⊥AC,BD平分∠ABC.所以∠ADB= ∠CDB=90°.因为CE=CD,所以∠CDE=∠DEC.因为