2.4 等腰三角形的判定定理-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

第2章特殊三角形 2.4等腰三角形的判定定理 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.下列选项中，能判定△ABC为等腰三角形的是 A.∠A=40°，∠B=60° B.∠A=50°，∠B=80° C.AB=AC=2,BC=4 D.∠A:∠B:∠C=2:3:5 2.如图，下列条件中，能推出△ABC是等边三角形的是 A.∠B=∠C B.AD⊥BC,BD=CD C.AD⊥BC,BD=CD,∠BAD=30° D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD D (第2题) (第3题) 3.[2025陕西]如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=2∠C.若AB=5,BC=6,则△ABD 的周长为 4.如图，BD是△ABC的角平分线，DEBC,交AB于点E. (1)求证：∠EBD=∠EDB. (2)当AB=AC时，请判断CD与DE之间的数量关系，并说明理由. (第4题) 门二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，在△ABC中，∠BAC=108°，∠B=36°，∠ADE=∠AED=72°，则图中的等腰三角形的个 数为 () A.3 B.4 C.5 D.6 (第5题) (第6题) 6.如图，E是等边三角形ABC的边AC上的点，∠1=∠2，BE=CD,连结AD,DE,则△ADE的 形状是 () A.直角三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.无法确定 41 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 7.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，在△ABC的内部取一点O,连结OA,OB,OC, 恰有OA=OC,∠OBA=20°，∠OCA=40°.给出下列说法：①∠AOB=140°； ②△OAB是等腰三角形；③∠OBC=30°；④△ABC是等边三角形.其中，正确 的是 (填序号). (第7题) 8.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在△ABC内部，连结DB,DC,DA,BD=BC,∠DBC=60°， 点E在△ABC外部，连结EA,EB,EC,∠ECB=150°，∠ABE=60°. (1)求∠ADC的度数. (2)请判断△ABE的形状，并加以证明. B (第8题) 微专题·“角平分线+平行→等腰”模型 1.如图，在△ABC中，ED∥BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G,F.若FG=3, ED=7,则EB+DC的值为 (第1题) (第2题) 2.如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F,过点F作DF∥BC 交AB于点D,交AC于点E.若BD=8,DE=2.5,则CE的长为 3.如图，在△ABC中，AB=8,M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，作MF∥AD交AC于 点F.已知CF=10,求AC的长. DM (第3题) 42 >“答案与解析”见P23∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，所以∠CDE=∠DEC= 30°.所以∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°.所以结论①② ③都是正确的. 4.DE∥AF.因为在△ABC中，AB=AC,AF⊥BC,所 以∠BAF=∠CAF.因为AD=AE,所以∠ADE= ∠AED.又因为∠BAC=∠ADE+∠AED,∠BAC= ∠BAF+∠CAF,所以∠CAF=∠AED.所以DE∥AF. 5.A过点A,C分别作AE⊥BC于点E,CF⊥AD于点F 因为AB=ACAE1C,所以BE=CE==号X4 2,∠BAC=2∠CAE.因为∠BAC=2∠CAD,所以∠CAE= ∠CAD.所以AC平分∠EAD.又因为CE⊥EA,CF⊥AD, 所以CE=CF=2.所以Sam=2AD·CF=2×7X 2=7. 6.4因为AB=AC,AD⊥BC,所以CD=BD.所以 SAr=2SaWm,即号AC·BF=2×号AB·DE.因为 AC=AB,DE=2,所以BF=2DE=4. 7.如图，作法如下：①作∠MAN=∠a;②作∠MAN的 平分线AH;③在AH上截取AD=a;④过点D作AH 的垂线，分别交AM,AN于B,C两点.所以△ABC即为所 求作的等腰三角形. C\N (第7题) 8.过点E作EF⊥AC于点F.所以∠AFE=90°.又因为 EA=EC,所以AF=FC=2AC.因为AC=2AB,即AB= 2AC,所以AF=AB.因为AD平分∠BAC,所以∠BAD= AB=AF. ∠CAD.在△BAE和△FAE中，因为∠BAE=∠FAE, AE=AE, 所以△BAE≌△FAE(SAS).所以∠ABE=∠AFE=90°. 所以EB⊥AB. 9.(1)因为在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的高 线，所以∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°.因为∠BAD 30°，所以∠CAD=30°.因为AD=AE,所以∠ADE= ∠AED=2×(180°-30)=75.所以∠BDC=∠ADC ∠ADE=90°-75°=15°.(2)因为在△ABC中，AB= AC,AD是BC边上的高线，所以∠BAD=∠CAD, ∠ADC=90°.因为∠BAD=40°，所以∠CAD=40°.因为 AD=AE,所以∠ADE=∠AED=×(180°-40) 70°.所以∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°一70°=20°」 (3)∠BAD=2∠EDC.(4)仍有∠BAD=2∠EDC. 理由：因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED.所以 ∠BAD十∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+ ∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C.因 为AB=AC,所以∠B=∠C.所以∠BAD=2∠EDC. 2.4等腰三角形的判定定理 1.B因为∠A=40°，∠B=60°，所以∠C=180°一∠A ∠B=80°.所以△ABC不是等腰三角形.故选项A不符合 题意.因为∠A=50°，∠B=80°，所以∠C=180°一∠A一 ∠B=50°.所以∠C=∠A=50°.所以△ABC是等腰三角 形.故选项B符合题意.因为AB=AC=2,BC=4,2十2= 4,所以这三条边不能组成三角形.故选项C不符合题意. 因为∠A:∠B:∠C=2:3:5,所以∠A≠∠B≠∠C. 所以△ABC不是等腰三角形.故选项D不符合题意 2.C选项A:由∠B=∠C,只能说明△ABC是等腰三角 形，该选项不符合题意.选项B:AD⊥BC,BD=CD,根据 线段垂直平分线的性质可知，AB=AC,即△ABC是等腰 三角形，该选项不符合题意.选项C:因为AD⊥BC,BD= CD,所以AB=AC.所以△ABC是等腰三角形.因为 ∠BAD=30°，所以∠BAD=∠CAD=30°.所以∠BAC= 60°.所以△ABC是等边三角形，该选项符合题意.选项D: 由∠BAD=∠CAD,AD⊥BC,易得∠B=∠C,只能说明 △ABC是等腰三角形，该选项不符合题意、 3.11因为∠ADB是△ADC的外角，所以∠ADB= ∠C+∠DAC.又因为∠ADB=2∠C,所以∠C=∠DAC. 所以AD=DC.所以△ABD的周长=AB+BD+AD= AB十BD十DC=AB+BC.因为AB=5,BC=6,所以 △ABD的周长=5+6=11. 4.(1)因为BD是△ABC的角平分线，所以∠CBD= ∠EBD.因为DE∥BC,所以∠CBD=∠EDB.所以 ∠EBD=∠EDB.(2)CD=DE.理由：因为AB= AC,所以∠C=∠ABC.因为DE∥BC,所以∠ADE= ∠C,∠AED=∠ABC.所以∠ADE=∠AED.所以AD= AE.所以AC-AD=AB-AE,即CD=BE.由(1)，得 ∠EBD=∠EDB,所以BE=DE.所以CD=DE. 5.D因为在△ABC中，∠BAC=108°，∠B=36°，所以 ∠C=180°一36°一108°=36°.所以∠B=∠C.所以AB= AC.所以△ABC是等腰三角形.因为∠ADE=∠AED= 72°，所以AD=AE.所以△ADE是等腰三角形.因为 ∠B=36°，∠ADE=72°，所以∠BAD=36.所以∠B ∠BAD.所以AD=BD.所以△ABD是等腰三角形.同理， 可得△AEC是等腰三角形.因为∠ADE=∠AED=72°， 所以∠DAE=36°.所以∠BAE=36°+36°=72°.所以 ∠BAE=∠BEA=T2°.所以BA=BE.所以△BAE是等 腰三角形.同理，可得△CAD是等腰三角形.综上所述，等 腰三角形的个数为6. 6.B因为△ABC是等边三角形，所以∠BAE=60°， AB=AC, AB=AC.在△ABE和△ACD中，因为∠1=∠2，所以 BE=CD, △ABE≌△ACD(SAS).所以AE=AD,∠BAE= ∠CAD=60°.所以△ADE是等边三角形. 7.①②③因为∠OCA=40°，OA=OC,所以∠OAC= ∠OCA=40°.因为∠BAC=60°，所以∠OAB=60°-40°= 20°.因为∠OBA=20°，所以∠OAB=∠OBA.所以OB OA.所以△OAB是等腰三角形.故②正确.因为∠AOB 180°-∠OAB-∠OBA=180°-20°-20°=140°，故①正 确.因为∠BAC=60°，∠OBA=20°，∠OCA=40°，所以 ∠OBC+∠0CB=180°-60°-20°-40°=60°.因为OA= OB,OA=OC,所以OB=OC.所以∠OBC=∠OCB=30° 故③正确.因为∠ABC=∠AB0+∠OBC=20°+30°= 50°，∠ACB=30°+40°=70°，∠BAC=60°，所以△ABC不 是等边三角形.故④不正确.综上所述，正确的是①②③. 8.(1)因为BD=BC,∠DBC=60°，所以△DBC是等边 三角形.所以∠BDC=60°，DB=DC=BC.在△ADB和 AB=AC, △ADC中，因为AD=AD,所以△ADB2△ADC(SSS) DB-DC, 所以∠ADB=∠ADC.所以∠ADC=∠ADB=号(360°- ∠BDC)=150°.(2)△ABE是等边三角形.因为 ∠ABE=∠DBC=60°，所以易得∠ABD=∠EBC.在 ∠ADB=∠ECB=150°， △ABD和△EBC中，因为BD=BC, 所以 L∠ABD=∠EBC, △ABD≌△EBC(ASA).所以AB=EB.因为∠ABE 60°，所以△ABE是等边三角形. 微专题·“角平分线十平行一→等腰”模型 1.10因为BG平分∠ABC,CF平分∠ACB,所以 ∠ABG=∠GBC,∠ACF=∠BCF.因为EDBC,所以 ∠EGB=∠GBC,∠DFC=∠BCF.所以∠ABG= ∠EGB,∠DFC=∠ACF.所以EB=EG,DF=DC.因 为FG=3,ED=7,所以EB十DC=EG十DF=ED十 FG=7+3=10. 2.5.5因为∠ABC的平分线BF与△ABC的外角 ∠ACG的平分线相交于点F,所以∠DBF=∠CBF, ∠FCE=∠FCG.因为DF∥BC,所以∠DFB=∠CBF, ∠EFC=∠FCG.所以∠DBF=∠DFB,∠FCE=∠EFC 所以BD=FD,EF=CE.所以△BDF和△CEF为等腰 三角形.所以CE=EF=DF一DE=BD一DE=8一 2.5=5.5.所以CE的长为5.5. 3.如图，延长FM至点N,使得MN=MF,连结BN,延 长BA,MF交于点E.因为M是BC的中点，所以BM= (MN=MF, CM.在△BMN和△CMF中，因为∠BMN=∠CMF, BM-CM, 所以△BMN≌△CMF(SAS).所以BN=CF=10, ∠N=∠CFM.因为∠CFM=∠AFE,所以∠N= ∠AFE.因为MFAD,所以∠DAF=∠AFE,∠BAD= ∠E.因为AD是∠BAC的平分线，所以∠DAF= ∠BAD.所以∠AFE=∠E.所以∠N=∠E,AE=AF. 所以BE=BN=10.所以AE=BE-AB=10-8=2.所 以AF=2.所以AC=AF+CF=2+10=12. N (第3题) 专题特训五 等腰三角形中的分类讨论 1.D因为|2a-3b+5|+(2a+3b-13)2=0,|2a-3b+ 12a-3b+5=0, 5|≥0，(2a+3b-13)2≥0，所以 解得 2a+3b-13=0, a=2, 分两种情况讨论：①当a为底边长时，三角形的三 b=3. 边长为2,3,3.因为2十3>3，所以能构成三角形，此时周长 为2十3十3=8.②当b为底边长时，三角形的三边长为2， 2,3.因为2+2>3，所以能构成三角形，此时周长为2十2十 3=7.综上所述，此等腰三角形的周长为7或8. 2.72°或45°分两种情况讨论：①当等腰三角形的顶角是 底角的一半时，设等腰三角形的顶角为x,则底角为2x.由 题意，得x十2x+2x=180°，解得x=36°.所以等腰三角形 的底角为72°.②当等腰三角形的底角是顶角的一半时，设 等腰三角形的底角为x,则顶角为2x.由题意，得x十x十 2x=180°，解得x=45°.所以等腰三角形的底角为45°.综