2.6 直角三角形 课时作业 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学浙教版八年级上册“2.6直角三角形”同步练，以“基础巩固-综合应用-拓展提升”分层设计，通过梯度化题型构建从概念理解到推理应用的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直角三角形性质与判定（两锐角互余、斜边上的中线）|选择题1直接考查两锐角互余计算，填空题12强化斜边中线与斜边关系| |综合应用|多个知识点结合（双垂直模型、等腰直角三角形）|解答题21通过双垂直模型证角相等，整合互余与角平分线知识| |拓展提升|复杂情境迁移应用（动态角度关系、实际问题）|拓展23探究∠DCE与∠A、∠B数量关系，培养推理意识；24结合屋架情境应用等腰直角三角形性质|

2.6　直角三角形 浙教版八年级上册　第2章　特殊三角形　·　课时作业 班级：____________　姓名：____________　学号：________　得分：________ 一、知识梳理 知识点1　直角三角形的性质（1）：两锐角互余 性质：直角三角形的两个锐角互余． 几何语言：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°． （知识点1图） 说明：由三角形内角和等于180°可直接推出．由此还可以得到：直角三角形中，只要知道一个锐角，就能求出另一个锐角． 知识点2　直角三角形的判定：有两个角互余 判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形． 几何语言：在△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形． 温馨提示：知识点1与知识点2互为逆定理，前者由"直角"推"互余"，后者由"互余"推"直角"，使用时不要混淆． 常用变式：在△ABC中，若∠C＝∠A＋∠B，则∠C＝90°；若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠C＝90°． 知识点3　直角三角形的性质（2）：斜边上的中线 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 几何语言：如图，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，∴CD=1/2AB=AD=BD． （知识点3图） 重要推论：由CD＝AD＝BD可得△ACD与△BCD都是等腰三角形，于是∠ACD＝∠A，∠BCD＝∠B．这是本节最常用的"由中点得等腰"的思路． 知识点4　常用基本图形与结论 ①　"双垂直"模型：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则∠1＝∠B，∠2＝∠A（同角的余角相等）． （双垂直模型） ②　含30°角的直角三角形：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． ③　三角形三个内角度数之比为1∶1∶2时，这个三角形是等腰直角三角形，两个锐角都是45°． 易错提醒 ★　使用"斜边上的中线等于斜边的一半"时，必须先明确哪条边是斜边，中线必须是斜边上的中线，不能随意套用． ★　"两锐角互余"只在直角三角形中成立；反过来判定直角三角形时，互余的必须是三角形的两个内角． ★　求角度时，常把"互余"（和为90°）与"内角和"（和为180°）、"外角等于不相邻两内角和"结合使用． 二、选择题（每小题3分，共30分） 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝35°，则∠B的度数是（　　） A．35°　　B．45°　　C．55°　　D．65° 2．在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是（　　） A．锐角三角形　　B．直角三角形　　C．钝角三角形　　D．等边三角形 3．已知直角三角形斜边上的中线长为5，则这个直角三角形斜边的长为（　　） A．2.5　　B．5　　C．10　　D．20 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A的度数是（　　） A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．75° 5．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A＋∠B＝∠C　　B．∠A＝∠B＝1/2∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3　　D．∠A＝∠B＝2∠C 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论中错误的是（　　） （第6题图） A．∠1＝∠B　　B．∠2＝∠A　　C．∠1＋∠2＝90°　　D．∠1＝∠2 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝30°，则∠BCD的度数是（　　） （第7题图） A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．75° 8．一个三角形的三个内角度数之比为1∶1∶2，则这个三角形是（　　） A．等边三角形　　B．等腰直角三角形　　C．钝角三角形　　D．一般的直角三角形 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，点D是AB的中点，则CD的长为（　　） A．4　　B．6　　C．8　　D．12 10．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，点E是对角线BD的中点．若AE＝5，则BD的长为（　　） （第10题图） A．5　　B．8　　C．10　　D．12 三、填空题（每小题3分，共24分） 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A－∠B＝20°，则∠A＝________°，∠B＝________°． 12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．若AB＝8，则CD＝________；若CD＝7，则AB＝________． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若∠A＝40°，则∠1＝________°，∠2＝________°． （第13题图） 14．在△ABC中，如果一个内角等于另外两个内角的和，那么这个三角形是________三角形． 15．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则这两个锐角的度数分别为________°和________°． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线．若∠ACD＝25°，则∠B＝________°． （第16题图） 17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，斜边AB＝10，则BC＝________． 18．如图，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB交AB于点E．若∠A＝70°，∠B＝30°，则∠DCE＝________°． （第18题图） 四、解答题（共36分） 19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． （第19题图） （1）若∠A＝35°，求∠B，∠1，∠2的度数； （2）写出图中所有与∠A互余的角． 20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∠A＝35°． （第20题图） （1）求∠ACD的度数； （2）求∠BDC的度数． 21．（10分）如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，AF⊥BC于点F． （第21题图） （1）求证：∠BCE＝∠BAF； （2）若∠B＝50°，求∠BCE与∠BAF的度数． 22．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，点E是对角线BD的中点，连结AE，CE． （第22题图） （1）求证：AE＝CE； （2）若BD＝12，求△AEC的周长与AC的长之间的数量关系式． 五、拓展提升（共10分） 23．（5分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB交AB于点E． （第23题图） （1）若∠A＝64°，∠B＝36°，求∠DCE的度数； （2）猜想∠DCE与∠A，∠B之间的数量关系（设∠A＞∠B），并说明理由． 24．（5分）如图是某工地上的人字形屋架，CD是横梁AB上的高（即CD⊥AB于点D），AC＝BC． （第24题图） （1）若∠ACB＝90°，求∠A的度数，并说明CD与AB之间的数量关系； （2）在（1）的条件下，若AB＝6 m，求CD的长． 参考答案与解析 2.6　直角三角形 一、选择题 1．C 【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，由"直角三角形的两个锐角互余"得∠A＋∠B＝90°，所以∠B＝90°－35°＝55°． 2．B 【解析】由三角形内角和定理，∠A＋∠B＋∠C＝180°．因为∠A＋∠B＝∠C，所以∠C＋∠C＝180°，∠C＝90°，故△ABC是直角三角形．也可以直接用判定定理：∠A＋∠B＝∠C且∠A＋∠B＋∠C＝180°，得∠A＋∠B＝90°，两锐角互余，所以是直角三角形． 3．C 【解析】设斜边长为x，由"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"得1/2x=5，所以x=10． 4．C 【解析】因为∠C＝90°，所以∠A＋∠B＝90°．又∠A＝2∠B，所以2∠B＋∠B＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°． 5．D 【解析】A中由∠A＋∠B＝∠C及内角和得∠C＝90°；B中∠A＋∠B＝∠C，同A，得∠C＝90°；C中设三个角为k，2k，3k，则k+2k+3k=180°，k=30°，最大角为90°；D中设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x，2x+2x+x=180°，x=36°，三个角为72°，72°，36°，都不是直角．故选D． 6．D 【解析】因为∠ACB＝90°，所以∠A＋∠B＝90°；因为CD⊥AB，所以∠ADC＝∠BDC＝90°，于是∠A＋∠1＝90°，∠B＋∠2＝90°．由同角（等角）的余角相等得∠1＝∠B，∠2＝∠A，A、B正确；∠1＋∠2＝∠ACB＝90°，C正确；只有当∠A＝∠B＝45°时才有∠1＝∠2，一般情况下不成立，故D错误． 7．C 【解析】因为CD是斜边AB上的中线，所以CD=1/2AB=BD，△BCD是等腰三角形，所以∠BCD＝∠B．又∠A＝30°，∠ACB＝90°，所以∠B＝60°，故∠BCD＝60°． 8．B 【解析】设三个内角分别为k，k，2k，则k+k+2k=180°，k=45°，三个角为45°，45°，90°，故为等腰直角三角形． 9．B 【解析】∠C＝90°，AB是斜边，D是AB的中点，所以CD是斜边上的中线，CD=1/2AB=1/2×12=6． 10．C 【解析】因为∠BAD＝90°，所以△ABD是以BD为斜边的直角三角形；又点E是BD的中点，所以AE是斜边BD上的中线，AE=1/2BD．由AE＝5得BD=2AE=10．（同理，由∠BCD＝90°可得CE=1/2BD=5．） 二、填空题 11．55；35 【解析】由∠A＋∠B＝90°与∠A－∠B＝20°，两式相加得2∠A＝110°，∠A＝55°，从而∠B＝35°． 12．4；14 【解析】由CD=1/2AB：当AB＝8时，CD=1/2×8=4；当CD＝7时，AB=2CD=14． 13．50；40 【解析】题图中∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD．因为CD⊥AB，所以在Rt△ADC中，∠1＝90°－∠A＝90°－40°＝50°；又∠1＋∠2＝∠ACB＝90°，所以∠2＝90°－50°＝40°．也可由"同角的余角相等"直接得∠2＝∠A＝40°． 14．直角 【解析】设∠C＝∠A＋∠B，由内角和得∠C＋∠C＝180°，∠C＝90°． 15．18；72 【解析】设较小的锐角为x°，则另一个锐角为4x°，由两锐角互余得x+4x=90，x=18，所以两锐角分别为18°和72°． 16．65 【解析】因为CD是斜边AB上的中线，所以CD＝AD，△ACD是等腰三角形，∠A＝∠ACD＝25°；在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠A＝90°－25°＝65°． 17．5 【解析】由∠C＝90°得∠A＋∠B＝90°，又∠B＝2∠A，所以3∠A＝90°，∠A＝30°．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，∠A＝30°所对的直角边是BC，所以BC=1/2AB=1/2×10=5． 18．20 【解析】在△ABC中，∠ACB＝180°－70°－30°＝80°，因为CE平分∠ACB，所以∠ACE=1/2×80°=40°；在Rt△ADC中，∠ACD＝90°－∠A＝90°－70°＝20°．所以∠DCE＝∠ACE－∠ACD＝40°－20°＝20°． 三、解答题 19．（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，所以∠A＋∠B＝90°， 所以∠B＝90°－35°＝55°． 因为CD⊥AB，所以∠ADC＝∠BDC＝90°． 在Rt△ADC中，∠1＝90°－∠A＝90°－35°＝55°； 在Rt△BDC中，∠2＝90°－∠B＝90°－55°＝35°． （2）与∠A互余的角有：∠B，∠2（即∠BCD）． 【方法小结】"双垂直"图形中一共有三个直角三角形，利用"同角的余角相等"可以得到∠1＝∠B，∠2＝∠A，这是找相等角的常用办法． 20．（1）解：因为CD是斜边AB上的中线，所以CD=1/2AB=AD， 所以△ACD是等腰三角形，所以∠ACD＝∠A＝35°． （2）解法一：∠BDC是△ACD的外角，所以∠BDC＝∠A＋∠ACD＝35°＋35°＝70°． 解法二：在Rt△ABC中，∠B＝90°－35°＝55°；又CD＝BD，所以∠BCD＝∠B＝55°， 在△BCD中，∠BDC＝180°－55°－55°＝70°． 21．（1）证明：因为CE⊥AB于点E，所以∠AEC＝90°，即在Rt△BCE中，∠B＋∠BCE＝90°． 因为AF⊥BC于点F，所以∠AFB＝90°，即在Rt△ABF中，∠B＋∠BAF＝90°． 所以∠BCE＝90°－∠B，∠BAF＝90°－∠B， 所以∠BCE＝∠BAF（同角的余角相等）． （2）解：当∠B＝50°时，∠BCE＝90°－50°＝40°，∠BAF＝90°－50°＝40°． 【方法小结】"同角（等角）的余角相等"是本节证明角相等最常用的依据，关键是把两个角都放到以同一个角为锐角的直角三角形中． 22．（1）证明：因为∠BAD＝90°，点E是BD的中点， 所以AE是Rt△ABD斜边BD上的中线，AE=1/2BD． 因为∠BCD＝90°，点E是BD的中点， 所以CE是Rt△CBD斜边BD上的中线，CE=1/2BD． 所以AE＝CE． （2）解：由（1）知AE=CE=1/2BD=1/2×12=6， 所以△AEC的周长＝AE＋CE＋AC＝6＋6＋AC＝12＋AC， 即△AEC的周长比AC的长多12． 【思路点拨】图中出现"直角＋斜边中点"就应立即联想到斜边中线定理；本题两个直角三角形共用同一条斜边BD，所以两条中线相等． 四、拓展提升 23．（1）解：在△ABC中，∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－64°－36°＝80°． 因为CE平分∠ACB，所以∠ACE=1/2∠ACB=1/2×80°=40°． 因为CD⊥AB，所以在Rt△ADC中，∠ACD＝90°－∠A＝90°－64°＝26°． 所以∠DCE＝∠ACE－∠ACD＝40°－26°＝14°． （2）猜想：∠DCE=1/2(∠A-∠B)． 理由：在△ABC中，∠ACB＝180°－∠A－∠B， 所以∠ACE=1/2∠ACB=90°-1/2∠A-1/2∠B． 在Rt△ADC中，∠ACD＝90°－∠A． 所以∠DCE=∠ACE-∠ACD=(90°-1/2∠A-1/2∠B)-(90°-∠A)=1/2∠A-1/2∠B=1/2(∠A-∠B)． 验证：把∠A＝64°，∠B＝36°代入得1/2×(64°-36°)=14°，与（1）的结果一致． 24．（1）解：因为AC＝BC，∠ACB＝90°， 所以△ABC是等腰直角三角形，由等边对等角及内角和得∠A=∠B=180°-90°/2=45°． 因为AC＝BC，CD⊥AB，由等腰三角形"三线合一"知点D是AB的中点， 所以CD是Rt△ACB斜边AB上的中线，所以CD=1/2AB． （2）解：当AB＝6 m时，CD=1/2×6=3（m），即横梁上的高CD为3 m． 【总结】本节要牢牢抓住三条主线：①两锐角互余（求角）；②有两角互余判定直角三角形（判形状）；③斜边上的中线等于斜边的一半（求线段、证相等）．遇到"直角＋中点"就想中线定理，遇到"双垂直"就想同角的余角相等． 学科网（北京）股份有限公司 $