2.4 专题特训五 等腰三角形中的分类讨论&专题特训六 构造等腰三角形的常用方法-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

第2章特殊三角形 专题特训五 等腰三角形中的分类讨论 类型一遇边或角不明时进行分类讨论 1.已知a,b是等腰三角形的两边长，且a,b满足|2a一3b十5|十(2a十3b一13)2=0，则此等腰三角 形的周长为 () A.8 B.6或8 C.7 D.7或8 2.若一个等腰三角形一个内角是另一个内角的一半，则此等腰三角形底角的度数为 类型二遇高线、垂直平分线或中线时进行分类讨论 3.在△ABC中，AB=AC,CD为边AB上的高线，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD的度数为 () A.67.5 B.22.5 C.45 D.22.5或67.5 4.已知等腰三角形的底边长为8cm,一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比 一部分长3cm,则这个三角形的腰长为 5.在△ABC中，AB=AC,边AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角的度数为 50°，则∠B= 6.在等腰三角形ABC中，AB=AC,两腰的垂直平分线交于点P.已知∠BPC=100°，则等腰三角 形ABC的顶角为 类型三遇分割构造时进行分类讨论 7.一个三角形可被分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36°，则原三角形最大 的内角的度数为 类型四遇动点、动线时进行分类讨论 8.*如图，P是射线BM上一动点（不与点B重合），点O在BM的反向延长线上， ∠AOB=30°，∠ABM=60°.当∠OAP的度数为多少时，以点A,O,B中的任意两点 和点P为顶点的三角形是等腰三角形？ O B (第8题) ●“答案与解析”见P24 43 拔尖特训· 数学（浙教版）八年级上 专题特训六构造等腰三角形的常用方法 类型一 在等腰三角形的基础上作平行线构造等腰三角形 图示 (AB=AC) A 构造方法 作腰的平行线构造等腰三角形 作底边的平行线构造等腰三角形 1.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别是边AB和BC上的点，连结DE并延长，与AC的延长 线交于点F.若DE=FE,求证：BD=CF. D (第1题) 2.如图，在等边三角形ABC中，D是边AC上一动点（与点A,C不重合），延长AB至 点E,使BE=CD,连结DE交BC于点F.求证：DF=EF. (第2题) 类型二 遇角平分线和平行线时构造等腰三角形的方法 图示 (AD平分∠BAC) 构造方法 作一边的平行线 作角平分线的平行线 3.如图，在△ABC中，AB=AC,BD是∠ABC的平分线，DE∥AB与边BC相 交于点E.若BE=3,CE=5,则△CDE的周长为 E (第3题) 44 第2章特殊三角形 4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,点E,F分别在BD,AD上，且DE=CD,EF=AC,求证： EF//AB. B E (第4题) 类型三遇角平分线和垂线时构造等腰三角形的方法 图示 条件 构造方法 AD平分∠BAC,CD⊥AD 延长CD交AB于点E,则△ACE是等腰三角形 B 5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CD⊥AD.若∠ABC+∠ACD=180°，CD=4,则BC的长 为 (第5题) 类型四利用倍角关系构造等腰三角形的方法 图示 (∠ABC=2∠C D BD=BA,得等腰三角 BD平分∠ABC,得 ∠DCA=∠ACB,得 ∠BCD=∠ACB,得 构造方法 形ABD和等腰三角 等腰三角形BDC 等腰三角形DBC 等腰三角形BCD 形ACD 6.一题多解如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,且∠B=2∠C.求证： AB+BD=AC. (第6题) “答案与解析”见P26 45∠B=36°，∠ADE=72°，所以∠BAD=36.所以∠B ∠BAD.所以AD=BD.所以△ABD是等腰三角形.同理， 可得△AEC是等腰三角形.因为∠ADE=∠AED=72°， 所以∠DAE=36°.所以∠BAE=36°+36°=72°.所以 ∠BAE=∠BEA=T2°.所以BA=BE.所以△BAE是等 腰三角形.同理，可得△CAD是等腰三角形.综上所述，等 腰三角形的个数为6. 6.B因为△ABC是等边三角形，所以∠BAE=60°， AB=AC, AB=AC.在△ABE和△ACD中，因为∠1=∠2，所以 BE=CD, △ABE≌△ACD(SAS).所以AE=AD,∠BAE= ∠CAD=60°.所以△ADE是等边三角形. 7.①②③因为∠OCA=40°，OA=OC,所以∠OAC= ∠OCA=40°.因为∠BAC=60°，所以∠OAB=60°-40°= 20°.因为∠OBA=20°，所以∠OAB=∠OBA.所以OB OA.所以△OAB是等腰三角形.故②正确.因为∠AOB 180°-∠OAB-∠OBA=180°-20°-20°=140°，故①正 确.因为∠BAC=60°，∠OBA=20°，∠OCA=40°，所以 ∠OBC+∠0CB=180°-60°-20°-40°=60°.因为OA= OB,OA=OC,所以OB=OC.所以∠OBC=∠OCB=30° 故③正确.因为∠ABC=∠AB0+∠OBC=20°+30°= 50°，∠ACB=30°+40°=70°，∠BAC=60°，所以△ABC不 是等边三角形.故④不正确.综上所述，正确的是①②③. 8.(1)因为BD=BC,∠DBC=60°，所以△DBC是等边 三角形.所以∠BDC=60°，DB=DC=BC.在△ADB和 AB=AC, △ADC中，因为AD=AD,所以△ADB2△ADC(SSS) DB-DC, 所以∠ADB=∠ADC.所以∠ADC=∠ADB=号(360°- ∠BDC)=150°.(2)△ABE是等边三角形.因为 ∠ABE=∠DBC=60°，所以易得∠ABD=∠EBC.在 ∠ADB=∠ECB=150°， △ABD和△EBC中，因为BD=BC, 所以 L∠ABD=∠EBC, △ABD≌△EBC(ASA).所以AB=EB.因为∠ABE 60°，所以△ABE是等边三角形. 微专题·“角平分线十平行一→等腰”模型 1.10因为BG平分∠ABC,CF平分∠ACB,所以 ∠ABG=∠GBC,∠ACF=∠BCF.因为EDBC,所以 ∠EGB=∠GBC,∠DFC=∠BCF.所以∠ABG= ∠EGB,∠DFC=∠ACF.所以EB=EG,DF=DC.因 为FG=3,ED=7,所以EB十DC=EG十DF=ED十 FG=7+3=10. 2.5.5因为∠ABC的平分线BF与△ABC的外角 ∠ACG的平分线相交于点F,所以∠DBF=∠CBF, ∠FCE=∠FCG.因为DF∥BC,所以∠DFB=∠CBF, ∠EFC=∠FCG.所以∠DBF=∠DFB,∠FCE=∠EFC 所以BD=FD,EF=CE.所以△BDF和△CEF为等腰 三角形.所以CE=EF=DF一DE=BD一DE=8一 2.5=5.5.所以CE的长为5.5. 3.如图，延长FM至点N,使得MN=MF,连结BN,延 长BA,MF交于点E.因为M是BC的中点，所以BM= (MN=MF, CM.在△BMN和△CMF中，因为∠BMN=∠CMF, BM-CM, 所以△BMN≌△CMF(SAS).所以BN=CF=10, ∠N=∠CFM.因为∠CFM=∠AFE,所以∠N= ∠AFE.因为MFAD,所以∠DAF=∠AFE,∠BAD= ∠E.因为AD是∠BAC的平分线，所以∠DAF= ∠BAD.所以∠AFE=∠E.所以∠N=∠E,AE=AF. 所以BE=BN=10.所以AE=BE-AB=10-8=2.所 以AF=2.所以AC=AF+CF=2+10=12. N (第3题) 专题特训五 等腰三角形中的分类讨论 1.D因为|2a-3b+5|+(2a+3b-13)2=0,|2a-3b+ 12a-3b+5=0, 5|≥0，(2a+3b-13)2≥0，所以 解得 2a+3b-13=0, a=2, 分两种情况讨论：①当a为底边长时，三角形的三 b=3. 边长为2,3,3.因为2十3>3，所以能构成三角形，此时周长 为2十3十3=8.②当b为底边长时，三角形的三边长为2， 2,3.因为2+2>3，所以能构成三角形，此时周长为2十2十 3=7.综上所述，此等腰三角形的周长为7或8. 2.72°或45°分两种情况讨论：①当等腰三角形的顶角是 底角的一半时，设等腰三角形的顶角为x,则底角为2x.由 题意，得x十2x+2x=180°，解得x=36°.所以等腰三角形 的底角为72°.②当等腰三角形的底角是顶角的一半时，设 等腰三角形的底角为x,则顶角为2x.由题意，得x十x十 2x=180°，解得x=45°.所以等腰三角形的底角为45°.综 上所述，此等腰三角形底角的度数为72°或45° 3.D分两种情况讨论：如图①，当∠A为锐角时，因为 AB=AC,CD为边AB上的高线，所以∠B=∠ACB, ∠CDB=90°.又因为△ADC是等腰三角形，所以 ∠DAC=∠DCA=45.所以∠B=∠ACB=号X(180- 45)=67.5°.所以∠BCD=∠ACB-∠DCA=67.5° 45°=22.5°.如图②，当∠BAC为钝角时，因为AB=AC, CD为边AB上的高线，所以∠B=∠ACB,∠CDB=90°. 又因为△ADC是等腰三角形，所以∠DAC=∠DCA= 45.因为∠B+∠ACB=∠DAC,所以∠B=∠ACB= 3∠DAC=7X45=2.5.所以∠BCD=∠ACB十 ∠DCA=22.5°+45°=67.5.综上所述，∠BCD的度数为 22.5或67.5°. ⑦ ② (第3题) 4.11cm或5am如图，设等腰三角形的腰长AB=AC xcm当AD+AC-(BD+BC)=3cm时，2x+x-（2x+ 8)=3,解得x=11.此时等腰三角形的三边长分别为11cm, 11cm,8cm.因为8+11=19(cm)>11cm,所以能构成三 角形.当BC+BD-(AD+AC)=3cm时，8+2x (?x十x)=3,解得x=5.此时等腰三角形的三边长分别 为5cm,5cm,8cm.因为5+5=10(cm)>8cm,所以能构 成三角形.综上所述，这个三角形的腰长为11cm或5cm. D (第4题) 5.70或20°如图①，当∠A为锐角时，因为边AB的垂 直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角的度数为 50°，所以∠A=40.因为AB=AC,所以∠B=号(180°- ∠A)=号×180-40)=70.如图@，当∠BAC为钝角 时，因为边AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所 得的锐角的度数为50°，所以∠1=40°.因为AB=AC,所以 ∠B=∠C.因为∠B十∠C=∠1，所以∠B=∠C= 号∠1-20，等上所述，∠B的度数为70或20， ①0 (第5题) 6.50°或130°如图①，当点P在△ABC的内部时，连结 AP,BP,CP.因为AB和AC的垂直平分线交于点P,所以 AP=BP=CP.所以∠BAP=∠ABP,∠PBC=∠PCB, ∠PAC=∠ACP.因为∠BPC=100°，所以∠PBC十 ∠PCB=180°-∠BPC=80°.因为∠BAC+∠ABC+ ∠ACB=180°，所以∠ABP+∠BAP+∠ACP+∠CAP= 180°-（∠PBC+∠PCB)=100°.所以2∠BAP+ 2∠CAP=100°.所以∠BAP+∠CAP=50°.所以 ∠BAC=50°.如图②，当点P在△ABC的外部时，连结 AP,BP,CP.因为AB和AC的垂直平分线交于点P,所以 AP=BP=CP.所以∠BAP=∠ABP,∠PAC=∠ACP. 因为∠BPC=100°，所以∠ABP+∠BAP+∠ACP+ ∠CAP=360°-∠BPC=260°.所以2∠BAP+2∠CAP= 260°.所以∠BAP+∠CAP=130°.所以∠BAC=130°.综 上所述，等腰三角形ABC的顶角为50°或130°， ② (第6题) 7.72或90°或108°或126或132°①当原三角形是锐角 三角形，且∠A=36°时，如图①.AD=DB=BC.所以 ∠A=∠ABD=36°.所以∠BDC=72°=∠C.所以 ∠ABC=180°-36°-72°=72°.所以此时原三角形最大的 内角是72°.②当原三角形是直角三角形，且∠A=36°时， 如图②.∠ABC=90°，∠A=36°，AD=CD=BD.易知此 时原三角形最大的内角是90°.③当原三角形是钝角三角 形，且∠A=36°时，如图③.AD=AB,BD=DC.易得 ∠ADB=∠ABD=72°.所以∠DBC=∠C=36°.所以 ∠ABC=∠ABD十∠DBC=108°.所以此时原三角形最大 的内角是108°.④当原三角形是钝角三角形，且∠C=36 时，如图④.AD=BD=BC.所以∠C=∠BDC=36°.所以 ∠DBC=180°-2∠C=108°.因为∠ADB=180° ∠BDC=144°，所以∠A=∠ABD=18°.所以∠ABC= ∠ABD十∠DBC=126°.所以此时原三角形最大的内角是 126°.⑤当原三角形是钝角三角形，且∠ABC=36°时，如 图⑤.AD=BD,CD=CB.设∠A=∠ABD=a,则 ∠CDB=∠CBD=∠A十∠ABD=2a.所以a+2a=36°， 解得a=12°.所以∠A=12°，∠C=180°-∠A-∠ABC= 132°.所以此时原三角形最大的内角是132°.综上所述，原 三角形最大的内角的度数为72或90°或108°或126或132° ① D ④ ⑤ (第7题) 8.分三种情况讨论：①如图①，当OA=OP时，因为 ∠A0B=30,所以∠0AP=∠0PA=号×(180°-30) 75°.②如图②，当A0=AP时，因为∠AOB=30°，所以 ∠APO=∠AOB=30°.所以∠OAP=180°-∠AOB- ∠APO=180°-30°-30°=120°.③如图③，当△ABP是 等腰三角形时，因为∠ABM=60°，所以△ABP是等边三 角形.所以∠APB=60°.因为∠AOB=30°，所以∠OAP= 180°-∠AOB-∠AP0=180°-30°-60°=90°.综上所述， 当∠OAP=75°或120°或90时，以A,O,B中的任意两，点 和P为顶点的三角形是等腰三角形 B ③ (第8题) 方法归纳 常见的等腰三角形的分类讨论问题 (1)当没有指明腰和底边时，必须进行分类讨论， (2)当顶角和底角不确定时，必须进行分类讨论 (3)当高线的位置不确定时，必须进行分类讨论 (4)由腰的垂直平分线引起的分类讨论， (5)由腰上的中线引起的分类讨论 同时还要注意检验求出的角度（边）必须满足三角 形的内角和定理（三角形的三边关系）. 专题特训六构造等腰三角形的常用方法 1.过点D作DG∥AF,交BC于点G,则∠GDE=∠F.又 因为DE=FE,∠DEG=∠FEC,所以△DGE≌△FCE. 所以GD=CF.因为AB=AC,所以∠B=∠ACB.因为 DGAF,所以∠ACB=∠BGD.所以∠B=∠BGD.所以 BD=GD.又因为GD=CF,所以BD=CF 2.过点D作MD∥AE,交BC于点M,则∠CDM=∠A, ∠CMD=∠ABC.因为△ABC是等边三角形，所以∠A= ∠ABC=∠C=60°.所以∠CDM=∠CMD=60°.所以 ∠CDM=∠CMD=∠C.所以△CDM是等边三角形.所 以CD=MD.因为CD=BE,所以BE=MD.因为MD∥ AE,所以∠MDF=∠E.在△DMF和△EBF中，因为 ∠DFM=∠EFB, ∠MDF=∠E,所以△DMF≌△EBF(AAS).所以 MD=BE, DF=EF. 3.11因为DE∥AB,BD平分∠ABC,所以∠EBD= ∠ABD=∠EDB.所以DE=BE=3.因为AB=AC,DE∥ AB,所以∠C=∠ABE=∠DEC.所以DC=DE=3.因为 CE=5,所以DE+EC+CD=3+5+3=11,即△CDE的 周长为11. 4.如图，过点E作EG∥AC交AD的延长线于点G, 所以∠DEG=∠C.在△DEG和△DCA中，因为 [∠GDE=∠ADC, DE=DC, 所以△DEG≌△DCA(ASA).所以 ∠DEG=∠DCA, EG=CA=EF,∠G=∠CAD.因为AD平分∠BAC,所以 ∠BAD=∠CAD.因为EG=EF,所以∠G=∠EFD.所以 ∠EFD=∠BAD.所以EF∥AB. H D G (第4题) 5.8如图，延长AB,CD交于点E.因为AD平分 ∠BAC,所以∠EAD=∠CAD.因为CD⊥AD,所以 ∠ADE=∠ADC=90°.在△ADE和△ADC中，因为 ∠EAD=∠CAD, AD-AD, 所以△ADE≌△ADC(ASA).所以 ∠ADE=∠ADC, DE=DC=4,AE=AC.所以CE=8,∠E=∠ACD.因为 ∠ABC+∠ACD=180°，∠ABC+∠CBE=180°，所以 ∠E=∠ACD=∠CBE.所以BC=CE=8. E (第5题) 6.解法一：如图①，在AC上截取AE=AB,连结DE.因为 AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠DAC.在△ABD和 AB=AE, △AED中，因为 ∠BAD=∠EAD,所以△ABD≌ AD-AD. △AED(SAS.所以∠B=∠AED,BD=ED.又因为 ∠B=2∠C,所以∠AED=2∠C.因为∠AED=∠C+ ∠EDC,所以∠C=∠EDC.所以BD=DE=CE.所以 AB+BD=AE十CE=AC.解法二：如图②，延长AB至 点F,使BF=BD,连结DF.因为BF=BD,所以∠F= ∠BDF.所以∠ABC=∠F+∠BDF=2∠F.因为 ∠ABC=2∠C,所以∠C=∠F.因为AD平分∠BAC,所 以∠BAD=∠CAD.在△ADF和△ADC中，因为 ∠F=∠C, ∠FAD=∠CAD,所以△ADF≌△ADC(AAS).所以 AD=AD, AF=AC,即AB+BF=AC.所以AB+BD=AB+ BF=AC. D (① ② (第6题) 2.5逆命题和逆定理 1.BA.逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相 等，是假命题：B.逆命题：对应边相等的三角形全等，是直 命题；C.逆命题：如果两个角相等，那么它们是直角，是假 命题；D.逆命题：锐角三角形是等边三角形，是假命题 2.B因为∠ACB=90°，所以∠A+∠B=180°-90°= 90°，∠E+∠CPE=180°-90°=90°.又因为∠DPA= ∠A,∠DPA=∠CPE,所以∠A=∠CPE.所以∠E= ∠B.所以DE=DB.所以点D在BE的垂直平分线上 3.逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另外两边的距 离相等，那么这个三角形是等腰三角形.已知：如图，在 △ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC 于点F,且DE=DF.求证：△ABC为等腰三角形.证明：如 图，连结AD.因为D是BC的中点，所以S△An=S△n: 因为DE⊥AB,DF LAC,所以SAm=号AB·DE, SAm=AC·DF.又因为DE=DF,所以AB=AC.所 以△ABC为等腰三角形. E及 B D C (第3题) 4.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC=∠ABC= 60°，AB=BC.所以∠EAF=∠DBE=120°.因为BE= CD,所以BE+AB=CD+BC,即AE=BD.在△AEF和 AF=BE, △BDE中，因为∠EAF=∠DBE,所以△AEF≌△BDE AE-BD, (SAS).所以EF=DE.同理，可得△AEF2△CFD,所以 EF=FD.所以EF=DE=FD.所以△DEF是等边三角形. (2)问题(1)的逆命题是“若△DEF是等边三角形，则 BE=AF=CD”,该命题成立.理由：因为△ABC,△DEF 都是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=∠EDF=60°， BC=AC,ED=DF.又因为∠ABC=∠BED+∠BDE, ∠ACB=∠CDF+∠CFD,∠EDF=∠CDF+∠BDE,所 以∠BED=∠CDF,∠BDE=∠CFD.在△BED和 ∠BED=∠CDF △CDF中，因为ED=DF, 所以△BED≌△CDF ∠BDE=∠CFD. (ASA).所以BD=CF.所以BD-BC=CF-AC,即 CD=AF.同理，可得BE=CD,所以BE=AF=CD. 2.6直角三角形 第1课时直角三角形的性质定理 1.C在△ABC中，因为∠C=90°，∠CAD=40°，所以 ∠ADC=180°-∠C-∠CAD=180°-90°-40°=50°.因 为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD.所以∠B ∠DAB.因为∠ADC=∠B+∠DAB,所以∠ADC= 2∠B=50°.所以∠B=25°. 2.B因为CF⊥AB,M为BC的中点，BC=20,所以FM= 之议C=10同强，可得ME=8C=10因为EF=8,所 以△EFM的周长=FM+ME+EF=10+10+8=28.