专题04 等腰三角形压轴八大题型突破-2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 以分类讨论和动态分析为主线，系统整合等腰三角形性质应用与等边三角形辅助线技巧，构建从基础到压轴的解题方法体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |腰底/顶底角分类|6题|边/角不明分类讨论|从等腰三角形定义出发，结合三角形三边关系与内角和定理| |中线高位置讨论|5题|高/中线位置分类（锐角/钝角三角形）|深化对等腰三角形三线合一性质的理解与应用| |等腰三角形个数|3题|网格中定边定顶点找点法|结合坐标与距离公式，提升空间观念| |动点分类与全等|2题|动态过程中全等条件分析|运用方程思想解决动点路径与速度问题| |等边三角形动点|6题|运动时间分段与等量关系建立|综合等边三角形性质与行程问题，培养动态思维| |截长补短法|3题|构造全等三角形转化线段|通过辅助线添加，强化推理能力| |作平行线法|4题|构造等边三角形或平行四边形|利用平行线性质实现角与线段的转化|

专题04 等腰三角形压轴八大题型突破 【题型1 腰和底不明时需分类】 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 【题型1 腰和底不明时需分类】 1．等腰三角形周长为，一边长为，该等腰三角形的底边长为（     ） A． B． C．或 D． 2．等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．12 3．已知等腰三角形的两个边长分别为3和7，则这个三角形的另一条边长是（    ） A．3或7 B．3 C．7 D．以上均不对 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 4．若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（     ） A． B． C．或 D．或 5．等腰三角形的一个内角为，则该三角形的底角度数为（    ） A． B． C． D．或 6．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（   ） A． B． C． D．或 7．已知是等腰三角形．若，则的顶角度数是（    ） A． B．或 C． D．或 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 9．等腰三角形的一个内角是，它的一腰上的高与底边的夹角是（     ）． A． B． C． D．或 10．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 11．等腰三角形有一个角的度数为，则它一条腰上的高与另一条腰的夹角的度数是________． 12．已知等腰中一腰上的高与另一腰的夹角为，则的底角度数为___________度． 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 13．如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 14．如图，在的正方形网格中，点，都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点也在格点处，则点所处的位置个数为_____． 15．在如图所示的方格中有两个格点A，B，请再选择一个格点（用C表示），连接A，B，C，使成为一个等腰三角形，这样的等腰三角形一共可以连出_____个． 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】 16．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点，如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为（   ）时，能够在某一时刻使与全等． A．1或厘米/秒 B．2厘米/秒 C．3厘米/秒或厘米/秒 D．2或3厘米/秒 17．如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从B、A两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 18．在等边三角形中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，连结，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)直接写出的长， （用含的代数式表示）： (2)当时，求出此时的值； (3)当线段把的周长平分时，求出此时的值； (4)在整个运动过程中，当点到的两边距离相等时，直接写出此时的值． 19．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． (1)点、运动几秒时，、两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间． 20．在边长为10的等边三角形中，点是上任意一点，点是上一动点，以每秒2个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒． (1)如图1，若，为何值时； (2)如图2，若点从点运动，同时点以每秒3个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？ 21．在边长为的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． (1)如图1，若，则t的值为___________ ； (2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形． (3)如图3，将“边长为的等边三角形”变换为“为腰，为底的等腰三角形，且，”，点P在从A向B运动到中点时静止，此时点M，N同时分别在上运动，点M以每秒的速度从点B向C运动，同时点N以每秒的速度从点C向A运动（各点均不再返回），当以B、P、M三点构成的三角形与全等时，求a的值． 22．（1）如图1，点P，Q分别是边长为的等边三角形的边上的动点，点P，Q从顶点A，B同时出发，分别沿运动，且它们的速度都为． ①点P，Q运动多少时间是等边三角形？说明理由； ②连接交于点M，则P，Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； （2）如图2，若点P，Q分别运动到点B，C后，P，Q两点继续在射线上运动，直线的交点为M，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数． 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 23．在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且， (1)当点E为的中点时，如图1，求证：； (2)当点E不是的中点时，如图2，过点E作，求证：是等边三角形； (3)在第（2）小题的条件下，与还相等吗，请说明理由． 24．已知是等边三角形，E是上的一点，F是边延长线上一点，且，连接、． (1)如图1，若E是边的中点，猜想和的数量关系并加以证明； (2)如图2，若E是线段上的任意一点，其他条件不变，上述线段、的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明； (3)若E是线段延长线上的任意一点，其他条件不变，上述线段、的数量关系是否发生改变，请写出你的猜想，先画出图形，再加以证明． 25．综合实践 数学是一门充满乐趣，奥妙，又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”．几何图形变幻无穷，但只要我们借助图形的直观，从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．于是数学课上，刘老师出示了以下的题目：如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： (1)【特殊情况，归纳猜想】如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出你的结论： （选填“”、“”或者“=”）； (2)【特例启发，推理证明】如图2，当不是的中点时，小优和小秀认为（1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点E作，交于点F．刘老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来的证明过程； (3)【拓展延伸，问题解决】当点E在的延长线上时，点D在边上，且，请自己画图，并探究（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 26．如图，在中，为锐角．点D为射线上一动点，以为边且在的右侧作等边三角形． (1)如果． 当点在线段上时，如图1，线段、的数量关系为 ， ． 当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立，请说明理由． (2)如图3，如果，，点在线段上运动．当时，求的度数． 27．钝角三角形中，，． (1)若． 如图，当，点恰好为中点时，延长至，使，连接，请直接写出_______，______； 如图，点为延长线上一点，连接，过点作交的延长线于点，且有，请探究的关系，并说明理由． (2)如图，若，过点的直线交边于点．点在直线上，且．若，求的度数（用含的代数式表示）． 28．已知，如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，连接OB． 证明：（1）∠APO+∠DCO＝30°； （2）△OPC是等边三角形； （3）AB＝AO+AP． 29．已知为等边三角形，，为上一点，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，，求证：； (3)如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，的面积为，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形压轴八大题型突破 【题型1 腰和底不明时需分类】 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 【题型1 腰和底不明时需分类】 1．等腰三角形周长为，一边长为，该等腰三角形的底边长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质，分为腰长和底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断，舍去不能构成三角形的情况即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 当为腰长时， 底边长为， ∵ ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴ 此种情况舍去； ② 当为底边长时，腰长为， ∵ ，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴ 该等腰三角形的底边长为．. 2．等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．12 【答案】B 【分析】分当腰长为8和当腰长为4两种情况讨论，结合三角形三边关系求解即可． 【详解】解：根据题意， ①当腰长为8时，三角形三边分别为8，8，4，，能组成三角形，则周长； ②当腰长为4时，三角形三边分别为8，4，4，，不能组成三角形； 综上，则该三角形的周长是． 3．已知等腰三角形的两个边长分别为3和7，则这个三角形的另一条边长是（    ） A．3或7 B．3 C．7 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题根据等腰三角形两腰相等的性质分情况讨论，再利用三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：∵等腰三角形有两边相等，已知两边长为3和7，因此分两种情况讨论： 情况1：若腰长为3，则三边长为 ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，因此这种情况不成立，舍去； 情况2：若腰长为7，则三边长为 ∵，，满足三角形三边关系，因此这种情况成立，即这个三角形的另一条边长为7． 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 4．若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据外角性质求出相邻内角的度数，再分该内角为等腰三角形顶角或底角两种情况讨论，结合三角形内角和定理计算底角即可. 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴与该外角相邻的内角度数为. 分两种情况讨论： ① 若角为等腰三角形的顶角 ，则底角为，符合三角形内角和定理. ② 若角为等腰三角形的底角 ，此时顶角为，符合三角形内角和定理. ∴等腰三角形的底角为或. 5．等腰三角形的一个内角为，则该三角形的底角度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，分情况讨论已知内角的位置，排除不符合三角形内角和的情况即可得到结果． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， 分两种情况讨论： ①若为底角，则两个底角和为，不符合三角形内角和定理，舍去； ②若为顶角，则两个底角和为， ∴单个底角为． 因此该三角形底角度数为． 6．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理. 分情况讨论这个的角是顶角还是底角． 【详解】解：若的角是顶角，则这个等腰三角形的顶角为； 若的角是底角，则顶角是； 综上所述， 这个等腰三角形的顶角为或． 故选：D． 7．已知是等腰三角形．若，则的顶角度数是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，是解答本题的关键． 根据题意分析，有两种情况，当为的顶角时，当为的底角时，分别计算两种情况的顶角度数，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 当为的顶角时，顶角度数是； 当为的底角时，顶角度数是， 故选：． 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分高在三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图，当高在三角形的内部时： 由题意，得：，， ∴； 当高在三角形的外部时，如图： 由题意，得：， ∴， ∴； 故选D． 9．等腰三角形的一个内角是，它的一腰上的高与底边的夹角是（     ）． A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了学生的三角形的性质、三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分情况进行分析，从而得到答案． 【详解】当底角是时，则它一腰上的高与底边的夹角是； 当顶角是时，则它的底角就是，则它一腰上的高与底边的夹角是． 故选：D． 10．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形内角和定理，通过分该等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，并画出对应的图形进行分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，    由题意得：，， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，    由题意得：，， ∴， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； 综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为或， 故选：D． 11．等腰三角形有一个角的度数为，则它一条腰上的高与另一条腰的夹角的度数是________． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分的角分别为顶角和底角两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当的角为顶角时，如下图， ∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为， 当的角为底角时，则：顶角， ∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为； 故答案为：或． 12．已知等腰中一腰上的高与另一腰的夹角为，则的底角度数为___________度． 【答案】或/或 【分析】由于等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不符合题意，分两种情况讨论：①若；②若；求出底角的度数． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若，如图1所示： ，， ， ， ； ； ②若，如图2所示： 同①可得：， ； ， 综上所述，底角的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键． 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 13．如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 【答案】8 【详解】解：根据等腰三角形的定义分三种情况讨论： ①当点A为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ②当点B为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ③当点C为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点，，，，，； 综上所述，点C的个数是8． 14．如图，在的正方形网格中，点，都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点也在格点处，则点所处的位置个数为_____． 【答案】6 【分析】根据网格结构，分别以、为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点，即可得到点的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有6个． 15．在如图所示的方格中有两个格点A，B，请再选择一个格点（用C表示），连接A，B，C，使成为一个等腰三角形，这样的等腰三角形一共可以连出_____个． 【答案】4 【分析】该题主要考查了等腰三角形的定义，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，注意不要漏解． 根据等腰三角形的定义解答即可； 【详解】解：如图所示：共4个点， 故答案为：4． 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】 16．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点，如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为（   ）时，能够在某一时刻使与全等． A．1或厘米/秒 B．2厘米/秒 C．3厘米/秒或厘米/秒 D．2或3厘米/秒 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．根据等边对等角可得，然后表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，点D为的中点， ∴， 设点P、Q的运动时间为t，则， ， ①当时，则时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：（厘米/秒）； ②当时，则时， ∵， ∴， ∴（秒）， 故点Q的运动速度为（厘米/秒）. 故选：C 17．如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从B、A两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． 【答案】(1) (2) (3)1或或 【分析】（1）先根据已知条件得到，；再表示出，，利用垂直平分线的性质列等式，解得； （2）由得，结合全等三角形的判定条件，确定需满足且，列出方程组求解得； （3） 先根据周长为得出，再分三种等腰三角形的情况列方程求解，最后验证三种情况均符合要求三角形三边关系即可． 【详解】（1）解：在中，，是中点， 故，， 由动点运动得：，， 因此，， ∵点在的垂直平分线上， ∴，即， 解得； （2）解：∵， ∴， 当且， ∴对应边满足， 即， 两个方程同解得， 当时，； （3）解：∵为等腰三角形，且的周长为， ， 分三种情况讨论等腰三角形： 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系； 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系； 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系． 综上，经过1或或秒后，为等腰三角形，且的周长为． 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 18．在等边三角形中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，连结，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)直接写出的长， （用含的代数式表示）： (2)当时，求出此时的值； (3)当线段把的周长平分时，求出此时的值； (4)在整个运动过程中，当点到的两边距离相等时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）根据已知可得是等边三角形，则，根据题意列出一元一次方程，即可求解； （3）当线段把的周长平分时，分两种情况，①当在上时，②当在上时，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （4）分点在的中点以及点时，求得的值，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动， ∴，则； （2）解：∵等边三角形， ∴， 当时，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵等边三角形中，， ∴的周长为， 点的运动时间为秒，， 当线段把的周长平分时，分两种情况， ①当在上时，， ， ∴， 解得：（舍去）， ②当在上时，， ， ∴， 解得：， （4）解：∵， ∴当在的中点时，点到的两边距离相等， 当时，， 解得：， 此时， 当与点重合时，， 解得， 此时， 当时，， 解得：， 此时， 综上所述，的长度为或或． 19．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． (1)点、运动几秒时，、两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间． 【答案】(1) (2)点M、N运动秒时，可得到等边； (3)当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时间为秒． 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】（1）解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得， 答：点M、N运动8秒时，M、N两点重合； （2）解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动秒时，可得到等边． （3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即8秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形； 情况2： 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为秒． 20．在边长为10的等边三角形中，点是上任意一点，点是上一动点，以每秒2个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒． (1)如图1，若，为何值时； (2)如图2，若点从点运动，同时点以每秒3个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？ 【答案】(1)当的值为3时 (2)当的值为4时，为等边三角形 【分析】（1）由平行线的性质得，，从而得出是等边三角形，列方程求解即可； （2）根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1，是等边三角形，， ，，，， ， 是等边三角形， ， ． 由题意可知：， 则， ． ∴当的值为3时，． （2）解：如图2，①当点在边上时， 此时，， ∴不可能为等边三角形； ②当点在边上时， 若为等边三角形， 则． 由题意可知，，， ， 即：， 解得：， ∴当时，为等边三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，以动点问题为背景，根据等边三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键． 21．在边长为的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． (1)如图1，若，则t的值为___________ ； (2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形． (3)如图3，将“边长为的等边三角形”变换为“为腰，为底的等腰三角形，且，”，点P在从A向B运动到中点时静止，此时点M，N同时分别在上运动，点M以每秒的速度从点B向C运动，同时点N以每秒的速度从点C向A运动（各点均不再返回），当以B、P、M三点构成的三角形与全等时，求a的值． 【答案】(1)3 (2) (3)当全等时，a的值为或 【分析】（1）由平行线的性质得，从而得出是等边三角形，列方程求解即可； （2）根据点Q所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可； （3）由全等可得或两种情况，再根据不同的情况分别得到等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵边长为的等边三角形， ∴， 如图1，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点P是上一动点，以每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒， ∴，则， ∴， 解得：， ∴当t的值为3时，， 故答案为：3； （2）解：①当点Q在边上时，如图2.1， 此时不可能为等边三角形； ②当点Q在边上时，如图2.2， 若为等边三角形，则， 由题意可知，， ∴， 即：， 解得：， ∴当时，为等边三角形； （3）解：，点P是上一动点，以每秒的速度从点A向点B移动，点从A向B运动到中点时静止， ∴，点运动的时间为， ∵，点M以每秒的速度从点B向C运动， ∴点的运动时间为； 由题意可知：， ∴， 若，则， ∴， 解得，，此时点在线段的中点处，处于静止， ∴， ∴， 解得：， 若，则， ∴， 解得，，此时点在未到线段的中点出，处于运动， ， 解得：， 综上所述：当全等时，a的值为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形、等腰三角形、以及全等三角形的综合运用，以动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键． 22．（1）如图1，点P，Q分别是边长为的等边三角形的边上的动点，点P，Q从顶点A，B同时出发，分别沿运动，且它们的速度都为． ①点P，Q运动多少时间是等边三角形？说明理由； ②连接交于点M，则P，Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； （2）如图2，若点P，Q分别运动到点B，C后，P，Q两点继续在射线上运动，直线的交点为M，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数． 【答案】（1）①解：当点P，Q运动时是等边三角形；理由： ∵是等边三角形， ∴， 设运动时间为， ∴，则， 当时，是等边三角形， ∴， 解得，， ∴当点P，Q运动时是等边三角形； ②是定值，不会变化 （2），度数不会变化 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，一元一次方程，全等三角形的判定和性质． （1）①根据等边三角形的性质得到，结合题意，设运动时间为，则，由等边三角形的判定得到，由此列式即可求解； ②根据等边三角形的性质可证，得到，结合三角形外角的性质即可求解； （2）根据题意证明，得，再证明，得，最后等量代换即可求解． 【详解】解：（1）①略 ②是定值，不会变化，理由如下， ∵点P，Q从顶点A，B同时出发，速度都为， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴P，Q运动的过程中，的度数不会变化； （2），度数不会变化，理由如下， ∵点P，Q从顶点A，B同时出发，速度都为， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 23．在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且， (1)当点E为的中点时，如图1，求证：； (2)当点E不是的中点时，如图2，过点E作，求证：是等边三角形； (3)在第（2）小题的条件下，与还相等吗，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵点E为的中点， ∴，． ， ， ． ， ， ∴， ∴． (2) 证明：∵， ∴，， ， ∴是等边三角形． (3) ，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ． ∵，， ，， ∴，． ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，外角的定义，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据等边三角形的性质，外角的定义即可得出结论； （2）根据平行线的性质，等边三角形的判定方法即可得证； （3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 24．已知是等边三角形，E是上的一点，F是边延长线上一点，且，连接、． (1)如图1，若E是边的中点，猜想和的数量关系并加以证明； (2)如图2，若E是线段上的任意一点，其他条件不变，上述线段、的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明； (3)若E是线段延长线上的任意一点，其他条件不变，上述线段、的数量关系是否发生改变，请写出你的猜想，先画出图形，再加以证明． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵在等边中，E是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 解：不变；理由如下： 过点E作，交于点G，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 解：不变；理由如下： 延长，过点E作，交的延长线于点G，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后根据等腰三角形的判定，得出答案即可； （2）过点E作，交于点G，证明为等边三角形，得出，证明，得出，证明，根据等腰三角形的判定得出答案即可； （3）延长，过点E作，交的延长线于点G，证明为等边三角形，得出，证明，得出，证明，根据等腰三角形的判定得出结论即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 25．综合实践 数学是一门充满乐趣，奥妙，又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”．几何图形变幻无穷，但只要我们借助图形的直观，从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．于是数学课上，刘老师出示了以下的题目：如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： (1)【特殊情况，归纳猜想】如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出你的结论： （选填“”、“”或者“=”）； (2)【特例启发，推理证明】如图2，当不是的中点时，小优和小秀认为（1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点E作，交于点F．刘老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来的证明过程； (3)【拓展延伸，问题解决】当点E在的延长线上时，点D在边上，且，请自己画图，并探究（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】(1)= (2)如图，过点作交于点， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (3)不发生变化，证明如下： 如图，过点作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）过点作交于点，可证是等边三角形，得到，再证明，得到，即可求证； （）过点作交的延长线于点，同理（）证明即可求证； 【详解】（1）解：∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）略 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 26．如图，在中，为锐角．点D为射线上一动点，以为边且在的右侧作等边三角形． (1)如果． 当点在线段上时，如图1，线段、的数量关系为 ， ． 当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立，请说明理由． (2)如图3，如果，，点在线段上运动．当时，求的度数． 【答案】(1) ， 当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立，理由： ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴线段、的数量关系为，， ∴当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立． (2) 的度数为． 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理． （1）根据等边三角形的性质，证明，对应边相等，对应角相等，即可得线段、的数量关系，的度数；根据等边三角形的性质，证明，对应边相等，对应角相等，可得线段、的数量关系，的度数，与中的结论进行对比即可； （2）在上截取，连接，与的交点即为点，由三角形的内角和定理，可得，证明，可得，，可得是等边三角形，可得，从而可得的度数． 【详解】（1）解：∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴线段、的数量关系为，， 故答案为：，． 略 （2）解：在上截取，连接，与的交点即为点， ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 27．钝角三角形中，，． (1)若． 如图，当，点恰好为中点时，延长至，使，连接，请直接写出_______，______； 如图，点为延长线上一点，连接，过点作交的延长线于点，且有，请探究的关系，并说明理由． (2)如图，若，过点的直线交边于点．点在直线上，且．若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) ，； ，理由， 如图，作角平分线交于点， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； (2)． 【分析】（）由，点恰好为中点，，则有，，从而求出，连接，证明垂直平分，则有，可证是等边三角形，然后通过三角形内角和定理即可求出； 作角平分线交于点，可得，所以，从而证明，所以，，然后通过线段和差即可求解； （）在延长线上截取一点，使得，由，，则，证明，故有，，由，则，最后通过等边对等角即可求解． 【详解】（1）解：∵，点恰好为中点，， ∴，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，点恰好为中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； 略 （2）解：如图，在延长线上截取一点，使得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”，等腰三角形的判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 28．已知，如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，连接OB． 证明：（1）∠APO+∠DCO＝30°； （2）△OPC是等边三角形； （3）AB＝AO+AP． 【答案】 证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°， ∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30° ∵OP=OC， ∴OB=OC=OP， ∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO， ∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°． （2）∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°， ∴∠APC+∠DCP=150°， ∵∠APO+∠DCO=30°， ∴∠OPC+∠OCP=120°， ∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°， ∵OP=OC， ∴△OPC是等边三角形． （3）如图，在AC上截取AE=PA，连接PE， ∵∠PAE=180°-∠BAC=60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA， ∴∠APO+∠OPE=60°， ∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°， ∴∠APO=∠CPE， ∵OP=CP， 在△OPA和△CPE中， ， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO=CE， ∴AC=AE+CE=AO+AP． 【分析】（1）利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解； （2）证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形； （3）首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 29．已知为等边三角形，，为上一点，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，，求证：； (3)如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，的面积为，求证：． 【答案】(1)证明：是等边三角形，， ，， 又， ， ； (2)证明： ， ， 又 ，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ； (3)证明：如图3，在上截取，连接， ，，， ， ，，， ， ， 在中，， 又， ， ， 又，， ， 又， ， ， 又∵， ． 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，可证是等边三角形，可得，即可得结论； （3）由“”可证，可得，，，由“”可证，可得，从而得证． 【详解】（1）略． （2）略． （3）略． 1 学科网（北京）股份有限公司 $