2.3 第2课时 等腰三角形性质定理2-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

第2章特殊三角形 第2课时等腰三角形性质定理2 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.舒青境生活实际如图所示为古建筑中的房梁三角架的示意图.在△ABC中，AB=AC,D是BC 的中点，连结AD,E是AC上一点，且AD=DE.若∠BAC=110°，则∠ADE的度数为() A.559 B.60° C.62.5 D.70° (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在△ABC中，AB=BC,BD是△ABC的高线，延长CB至点E,连结AE,且AE=BE.若 ∠ABD=50°，则∠EAC的度数为 3.如图，△ABC是等边三角形，BD是边AC上的中线，延长BC至点E,使CE=CD,连结DE.有 下列结论：①BD⊥AC:②BD平分∠ABC:③∠BDE=120°.其中，正确的是 (填序号). 4.如图，在△ABC中，AB=AC,AF⊥BC于点F,点D在BA的延长线上，点E在AC上，且AD= AE.试判断DE与AF的位置关系，并证明你的结论. (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的延长线上一点，且∠BAC=2∠CAD.已知BC=4,AD= 7,则△ACD的面积为 () A.7 B.14 C.21 D.28 (第5题) (第6题) 6.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=2,则 BF的长为 39 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 7.如图所示为∠α和线段a,求作等腰三角形ABC,使底边上的中线AD=a,顶角 ∠BAC=∠α（写出作法，并保留作图痕迹）. (第7题) 8.如图，在△ABC中，AC=2AB,AD平分∠BAC,交BC于点D,E是线段AD上一 点，连结BE,EC,且EA=EC.求证：EB⊥AB. (第8题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.考向探究题在△ABC中，AB=AC. (1)如图①，如果∠BAD=30°，AD是BC边上的高线，AD=AE,求∠EDC的度数. (2)如图②，如果∠BAD=40°，AD是BC边上的高线，AD=AE,求∠EDC的度数， (3)思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么数量关系？请用式子表示： (4)如图③，如果AD不是BC边上的高线，AD=AE,∠BAD与∠EDC之间是否仍有上述关 系？若有，请你写出来，并说明理由. ② (第9题) 40 >“答案与解析”见P22∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°-50°=10°.②如图，当点 D(后用点D'表示)在线段BA的延长线上时，由作图，知 AC=AD',所以∠ACD'=∠AD'C.因为∠ACD'+ ∠AD'C=∠BAC=80°，所以∠ACD'=40°.所以 ∠BCD'=∠ACB+∠ACD'=60°+40°=100°.综上所述， ∠BCD的度数是10°或100. D B (第7题) 8.(1)AC=CD十CE.理由：因为△ABC为等边三角 形，所以AB=AC=BC,∠BAC=60°.因为△ADE为等边 三角形，所以AD=AE,∠DAE=60°.所以∠BAC一 ∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在 AB=AC, △ABD和△ACE中，因为∠BAD=∠CAE,所以 AD-AE. △ABD2△ACE(SAS).所以BD=CE.所以BC=BD+ CD=CE+CD.所以AC=CD+CE.(2)CE=AC+ CD.理由：因为△ABC与△ADE均为等边三角形，所以 AB=AC=BC,∠BAC=∠DAE=60°，AD=AE.所以 ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD= AB=AC, ∠CAE.在△ABD和△ACE中，因为∠BAD=∠CAE, AD-AE 所以△ABD≌△ACE(SAS).所以BD=CE.因为BD= BC+CD=AC+CD,所以CE=AC+CD. 9.(1)因为AB=AC,∠A=44°，所以∠ABC=∠ACB= 是×(180-40=68.因为BE平分∠ABC,所以 ∠ABE=3∠ABC=3.因为CDLAB,所以∠ADC= 90°.所以∠BPD=90°-∠ABE=56°.(2)因为AB= AC,∠A=x°，所以∠ABC=∠ACB=2(180°-x)= 90-分因为BE平分∠ABC所以∠ABE=∠ABC= 45°-不因为CDLAB,.所以∠ADC=902所以∠EPC= y°=∠BPD=90-∠ABE=90°-(45°-)=45+， 所以y=45+千(3)因为CD⊥AB,所以∠ABC+ ∠BCD=90°.①若EP=EC,则∠ECP=∠EPC=y°.因 为∠ABC+∠BCD=90°，所以∠ABC+(∠ACB一 ∠BCP)=90.因为∠ABC=∠ACB=90°-号，所以 (90-)+(90°-亏-y）=90将y=45+千代人，解 得x=36.所以∠A=36°.②若PC=PE,则∠PCE= ∠PEBC=号(180-y)=90-兰.因为∠ABC+ ∠BCD=90°，所以∠ABC+(∠ACB-∠PCE)=90°.因 为∠ABC=∠ACB=90-亏，所以(0°-)+ [(90-)-(90°-2)】=90.将y=45+￥代人，解 得x=19所以∠A-():③若CP-CE,则∠ErC- ∠PEC=y°，∠PCE=180°-2y°.因为∠ABC+∠BCD= 90°，所以∠ABC+(∠ACB-∠PCE)=90°.因为∠ABC= ∠ACB=90°- 至，所以(0-)+[(90-)- (180-2y)=90.将y=45+平代入，解得x=0,不合 题意，舍去.综上所述，当△EPC是等腰三角形时，∠A的 度数为36或(1） 易错警示 未正确运用分类讨论思想解题而导致漏解 解决这类问题时，要根据条件进行分类讨论.这类 问题中没有指明顶角或底角的度数，解题时要注意分情 况进行讨论.对于本题，易因没有对哪个角是等腰三角 形的顶角进行分类讨论而导致漏解。 第2课时等腰三角形性质定理2 1.D因为AB=AC,D是BC的中点，∠BAC=110°，所 以∠BAD=∠CAD=∠BAC=5,因为AD=DE.所 以∠CAD=∠DEA.所以∠ADE=180°-2∠CAD= 180°-2×55°=180°-110°=70°. 2.120°因为AB=BC,BD是△ABC的高线，所以 ∠ABC=2∠ABD=2X50°=100°，∠BAC=∠C.所以 ∠BAC=号(180-∠AC)=40,∠ABE=-180 ∠ABC=80°.因为AE=BE,所以∠EAB=∠ABE=80°. 所以∠EAC=∠EAB+∠BAC=80°+40°=120°. 3.①②③因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC= AC,∠A=∠ABC=∠ACB=60°.又因为BD是边AC上 的中线，所以BD⊥AC,BD平分∠ABC.所以∠ADB= ∠CDB=90°.因为CE=CD,所以∠CDE=∠DEC.因为 ∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，所以∠CDE=∠DEC= 30°.所以∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°.所以结论①② ③都是正确的. 4.DE∥AF.因为在△ABC中，AB=AC,AF⊥BC,所 以∠BAF=∠CAF.因为AD=AE,所以∠ADE= ∠AED.又因为∠BAC=∠ADE+∠AED,∠BAC= ∠BAF+∠CAF,所以∠CAF=∠AED.所以DE∥AF. 5.A过点A,C分别作AE⊥BC于点E,CF⊥AD于点F 因为AB=ACAE1C,所以BE=CE==号X4 2,∠BAC=2∠CAE.因为∠BAC=2∠CAD,所以∠CAE= ∠CAD.所以AC平分∠EAD.又因为CE⊥EA,CF⊥AD, 所以CE=CF=2.所以Sam=2AD·CF=2×7X 2=7. 6.4因为AB=AC,AD⊥BC,所以CD=BD.所以 SAr=2SaWm,即号AC·BF=2×号AB·DE.因为 AC=AB,DE=2,所以BF=2DE=4. 7.如图，作法如下：①作∠MAN=∠a;②作∠MAN的 平分线AH;③在AH上截取AD=a;④过点D作AH 的垂线，分别交AM,AN于B,C两点.所以△ABC即为所 求作的等腰三角形. C\N (第7题) 8.过点E作EF⊥AC于点F.所以∠AFE=90°.又因为 EA=EC,所以AF=FC=2AC.因为AC=2AB,即AB= 2AC,所以AF=AB.因为AD平分∠BAC,所以∠BAD= AB=AF. ∠CAD.在△BAE和△FAE中，因为∠BAE=∠FAE, AE=AE, 所以△BAE≌△FAE(SAS).所以∠ABE=∠AFE=90°. 所以EB⊥AB. 9.(1)因为在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的高 线，所以∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°.因为∠BAD 30°，所以∠CAD=30°.因为AD=AE,所以∠ADE= ∠AED=2×(180°-30)=75.所以∠BDC=∠ADC ∠ADE=90°-75°=15°.(2)因为在△ABC中，AB= AC,AD是BC边上的高线，所以∠BAD=∠CAD, ∠ADC=90°.因为∠BAD=40°，所以∠CAD=40°.因为 AD=AE,所以∠ADE=∠AED=×(180°-40) 70°.所以∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°一70°=20°」 (3)∠BAD=2∠EDC.(4)仍有∠BAD=2∠EDC. 理由：因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED.所以 ∠BAD十∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+ ∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C.因 为AB=AC,所以∠B=∠C.所以∠BAD=2∠EDC. 2.4等腰三角形的判定定理 1.B因为∠A=40°，∠B=60°，所以∠C=180°一∠A ∠B=80°.所以△ABC不是等腰三角形.故选项A不符合 题意.因为∠A=50°，∠B=80°，所以∠C=180°一∠A一 ∠B=50°.所以∠C=∠A=50°.所以△ABC是等腰三角 形.故选项B符合题意.因为AB=AC=2,BC=4,2十2= 4,所以这三条边不能组成三角形.故选项C不符合题意. 因为∠A:∠B:∠C=2:3:5,所以∠A≠∠B≠∠C. 所以△ABC不是等腰三角形.故选项D不符合题意 2.C选项A:由∠B=∠C,只能说明△ABC是等腰三角 形，该选项不符合题意.选项B:AD⊥BC,BD=CD,根据 线段垂直平分线的性质可知，AB=AC,即△ABC是等腰 三角形，该选项不符合题意.选项C:因为AD⊥BC,BD= CD,所以AB=AC.所以△ABC是等腰三角形.因为 ∠BAD=30°，所以∠BAD=∠CAD=30°.所以∠BAC= 60°.所以△ABC是等边三角形，该选项符合题意.选项D: 由∠BAD=∠CAD,AD⊥BC,易得∠B=∠C,只能说明 △ABC是等腰三角形，该选项不符合题意、 3.11因为∠ADB是△ADC的外角，所以∠ADB= ∠C+∠DAC.又因为∠ADB=2∠C,所以∠C=∠DAC. 所以AD=DC.所以△ABD的周长=AB+BD+AD= AB十BD十DC=AB+BC.因为AB=5,BC=6,所以 △ABD的周长=5+6=11. 4.(1)因为BD是△ABC的角平分线，所以∠CBD= ∠EBD.因为DE∥BC,所以∠CBD=∠EDB.所以 ∠EBD=∠EDB.(2)CD=DE.理由：因为AB= AC,所以∠C=∠ABC.因为DE∥BC,所以∠ADE= ∠C,∠AED=∠ABC.所以∠ADE=∠AED.所以AD= AE.所以AC-AD=AB-AE,即CD=BE.由(1)，得 ∠EBD=∠EDB,所以BE=DE.所以CD=DE. 5.D因为在△ABC中，∠BAC=108°，∠B=36°，所以 ∠C=180°一36°一108°=36°.所以∠B=∠C.所以AB= AC.所以△ABC是等腰三角形.因为∠ADE=∠AED= 72°，所以AD=AE.所以△ADE是等腰三角形.因为