2.3 等腰三角形的性质定理 课时作业 2026-2027学年浙教版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学 八年级上册 2.3等腰三角形的性质定理 同步练。分层清晰，从基础概念到综合应用再到拓展探究，梯度合理，强化推理与应用，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|核心概念（等边对等角、三线合一等）|课前热身+选择填空，强化记忆与基础计算| |能力提升|推理证明与实际应用|规范推理过程+生活情境题，培养推理能力与应用意识| |拓展探究|综合应用与创新方法|选做题（黄金三角形、面积法），发展创新意识|

浙教版八年级上册 第2章 2.3 等腰三角形的性质定理 课时作业 第2章 特殊三角形 浙教版 八年级上册 2.3 等腰三角形的性质定理 课时作业 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿ （满分 100 分　建议用时 45 分钟） 一、知识点梳理 知识点 1　性质定理：等边对等角 等腰三角形的两个底角相等，简称 “等边对等角”。 图 1　AB = AC，AD 平分 ∠BAC 几何语言：在 △ABC 中，因为 AB = AC，所以 ∠B = ∠C。 证明：作顶角 ∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。 在 △ABD 和 △ACD 中，AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD， 所以 △ABD ≌ △ACD（SAS），所以 ∠B = ∠C。 作用：由 “边相等” 得到 “角相等”，是求角、证角相等最常用的工具。 知识点 2　推论：三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称 “三线合一”。 由上面的全等还可以得到 BD = CD、∠ADB = ∠ADC = 90°，所以 AD 同时是三条线。 已知其中一条 可以得到的两个结论 常见写法 AD 平分 ∠BAC BD = CD，AD ⊥ BC 由 AB = AC，AD 平分 ∠BAC 得…… AD 是 BC 边上的中线 ∠BAD = ∠CAD，AD ⊥ BC 由 AB = AC，BD = CD 得…… AD ⊥ BC 于 D ∠BAD = ∠CAD，BD = CD 由 AB = AC，AD ⊥ BC 得…… 　 使用前提：必须先有 “AB = AC” 这个条件，“三线合一” 只对等腰三角形成立。 附带结论：由 AB = AC 且 BD = CD 可知，直线 AD 是底边 BC 的垂直平分线。 知识点 3　推论：等边三角形的性质 图 2　等边三角形 等边三角形的每个内角都等于 60°。 理由：等边三角形的三条边都相等，由 “等边对等角” 知三个角也都相等， 而三角形内角和为 180°，所以每个角都是 180° ÷ 3 = 60°。 等边三角形有 3 条对称轴，每条边上都有 “三线合一”。 知识点 4　常用的角度关系 设等腰三角形的顶角为 ∠A，底角为 ∠B，则 ① ∠A + 2∠B = 180°；② ∠B = = 90° - ；③ ∠A = 180° - 2∠B。 与外角结合：等腰三角形底角的一个外角 = 180° - 底角；顶角的一个外角 = 2 × 底角。 例如若底角为 70°，则顶角为 40°，顶角的外角为 140°，恰好等于两个底角之和。 易错提醒：① “三线合一” 必须以 “两边相等” 为前提，一般三角形不成立；② “等边对等角” 中相等的角是相等两边所对的角，不要看错；③ 已知一个外角求内角时，先算出与它相邻的内角，再分类讨论它是顶角还是底角；④ 等腰三角形中作辅助线，首选连结顶点与底边中点或作顶角平分线。 二、典例精析 例 1　在 △ABC 中，AB = AC，∠A = 40°，求 ∠B 与 ∠C 的度数。 解：因为 AB = AC，所以 ∠B = ∠C（等边对等角）。 在 △ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理）， 所以 2∠B = 180° - 40° = 140°， 所以 ∠B = ∠C = 70°。 例 2　已知：如图 1，在 △ABC 中，AB = AC。求证：∠B = ∠C。 分析：把 ∠B 与 ∠C 放到两个三角形中，作顶角平分线构造全等。 证明：作 ∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。 则 ∠BAD = ∠CAD（角平分线的定义）。 在 △ABD 和 △ACD 中， AB = AC（已知），∠BAD = ∠CAD（已证），AD = AD（公共边）， 所以 △ABD ≌ △ACD（SAS）。 所以 ∠B = ∠C（全等三角形的对应角相等）。 补充：由这两个三角形全等还可得 BD = CD 与 ∠ADB = ∠ADC = 90°，这正是 “三线合一”。 例 3　如图 1，在 △ABC 中，AB = AC，AD ⊥ BC 于点 D。已知 BC = 10 cm，∠BAC = 100°。 （1） 求 BD 的长；（2）求 ∠BAD 与 ∠B 的度数。 解：（1）因为 AB = AC，AD ⊥ BC， 所以 BD = CD（等腰三角形三线合一）。 所以 BD = BC = × 10 = 5（cm）。 （2）因为 AB = AC，AD ⊥ BC，所以 AD 平分 ∠BAC（三线合一）， 所以 ∠BAD = ∠BAC = × 100° = 50°。 在 Rt△ABD 中，∠B = 90° - ∠BAD = 90° - 50° = 40°。 （也可由 ∠B = ∠C = (180° - 100°) ÷ 2 = 40° 直接得到。） 例 4　（实际应用）如图，人字形屋架中 AB = AC，AD 是立柱（AD ⊥ BC）。已知 ∠BAC = 110°，BC = 8 m。 例 4 图 （1）求 ∠B 的度数；（2）求 BD 的长；（3）说明立柱 AD 为什么恰好把横梁 BC 平分。 解：（1）因为 AB = AC，所以 ∠B = ∠C（等边对等角）。 所以 ∠B = (180° - 110°) ÷ 2 = 35°。 （2）因为 AB = AC，AD ⊥ BC，所以 BD = CD（三线合一）， 所以 BD = BC = × 8 = 4（m）。 （3）因为屋架的两根斜梁相等（AB = AC），由等腰三角形 “三线合一” 可知， 底边上的高同时也是底边上的中线，所以立柱 AD 必然平分横梁 BC。 这也说明施工时只要保证两根斜梁等长且立柱竖直，立柱就一定落在横梁的中点上。 解题思路提炼：见到 “两边相等”，立刻联想两件事——等边对等角（求角）与三线合一（求线段、证垂直）。图中若已有顶角平分线、底边中线或底边上的高之一，另外两条结论可以直接使用。 三、基础巩固 （〇）课前热身（不计分，直接填空） ① 等腰三角形的两个＿＿＿＿相等，简称 “等边对等角”。 ② 等腰三角形顶角的平分线、底边上的＿＿＿＿、底边上的＿＿＿＿互相重合。 ③ 等边三角形的每个内角都等于＿＿＿＿。 ④ 在 △ABC 中，若 AB = AC，∠A = 80°，则 ∠B = ＿＿＿＿。 ⑤ “三线合一” 使用的前提条件是三角形必须是＿＿＿＿三角形。 （一）选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．等腰三角形的顶角为 36°，则它的一个底角为（　　） A．36°　　　　　B．54°　　　　　C．72°　　　　　D．108° 2．在 △ABC 中，AB = AC，∠B = 65°，则 ∠A 等于（　　） A．50°　　　　　B．65°　　　　　C．115°　　　　D．130° 3．等腰三角形的一个外角为 100°，则它的顶角为（　　） A．80°　　　　　B．20°　　　　　C．80° 或 20°　D．100° 4．如图 1，AB = AC，AD ⊥ BC 于点 D，则下列结论中错误的是（　　） A．BD = CD　　B．∠BAD = ∠CAD　　C．∠B = ∠C　　D．AD = BD 5．等边三角形的每个内角都等于（　　） A．30°　　　　　B．45°　　　　　C．60°　　　　　D．90° 6．在 △ABC 中，AB = AC，且 ∠A = ∠B，则 △ABC 一定是（　　） A．等腰但不等边的三角形　　　B．等边三角形 C．直角三角形　　　　　　　　D．钝角三角形 7．等腰三角形底边上的中线（　　） A．垂直于底边　B．平分顶角　　C．在对称轴上　D．以上都对 8．如图 1，AB = AC，AD 平分 ∠BAC。若 ∠BAC = 120°，则 ∠BAD 等于（　　） A．30°　　　　　B．60°　　　　　C．90°　　　　　D．120° 9．若等腰三角形的顶角是它的一个底角的 2 倍，则顶角为（　　） A．45°　　　　　B．60°　　　　　C．90°　　　　　D．36° 10．如图（例 4 图），人字架中 AB = AC，若 ∠BAC = 100°，则 ∠B 等于（　　） A．30°　　　　　B．40°　　　　　C．50°　　　　　D．80° （二）填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11．在 △ABC 中，AB = AC，∠B = 70°，则 ∠A = ＿＿＿＿。 12．等腰三角形的顶角为 100°，则它的一个底角为 ＿＿＿＿。 13．等边三角形的每个内角都等于 ＿＿＿＿，它有 ＿＿＿ 条对称轴。 14．在 △ABC 中，AB = AC，AD ⊥ BC 于点 D。若 BC = 12 cm，则 BD = ＿＿＿ cm。 15．等腰三角形的顶角为 36°，则它的一个底角为 ＿＿＿＿。 16．等腰三角形的一个外角为 140°，则它的一个底角为 ＿＿＿＿＿＿。 17．在 △ABC 中，AB = AC，点 D 是 BC 的中点，则 AD ＿＿＿ BC（填位置关系），且 ∠BAD ＿＿＿ ∠CAD。 18．等腰三角形的顶角与一个底角的度数之比为 1 ∶ 2，则它的顶角为 ＿＿＿＿。 四、推理与证明（第 19～24 题，共 30 分） 要求：写出完整的推理过程，每一步都要注明依据。 19．（5 分）已知：如图 1，在 △ABC 中，AB = AC。求证：∠B = ∠C。 第 19、20、24 题图 20．（5 分）已知：如图 1，在 △ABC 中，AB = AC，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D。求证：BD = CD，且 AD ⊥ BC。 21．（5 分）已知：在 △ABC 中，AB = AC，点 D、E 在边 BC 上，且 BD = CE。求证：AD = AE。 22．（5 分）已知：在 △ABC 中，AB = AC，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，点 E 是 AD 上任意一点。求证：EB = EC。 23．（5 分）已知：△ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 AD = AE。求证：△ADE 是等边三角形。 24．（5 分）已知：如图 1，在 △ABC 中，AB = AC，AD ⊥ BC 于点 D。求证：直线 AD 是线段 BC 的垂直平分线。 五、实际应用（第 25～26 题，共 8 分） 25．（4 分）如图（例 4 图），人字形屋架中两根斜梁 AB = AC，立柱 AD ⊥ BC。已知 ∠BAC = 110°，BC = 8 m。 第 25 题图 （1）求 ∠B 与 ∠BAD 的度数；（2）求 BD 的长； （3）若要使屋架的顶角变为 90°，两个底角应各是多少度？ 26．（4 分）如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 D 在边 BC 上。 第 26 题图 已知 ∠BAC = 80°，∠BAD = 20°。求 ∠ADB 与 ∠ADC 的度数。 六、易错辨析 下面是小宇的五个说法，请判断正误。若有错误，请说明理由。 ① 任意三角形的一条角平分线都同时是中线和高。　　　　　　　　（　　） ② 等腰三角形的两个底角相等。　　　　　　　　　　　　　　　　（　　） ③ 等腰三角形一腰上的高、这条腰上的中线与它所对角的平分线互相重合。（　　） ④ 等边三角形的每个内角都是 60°。　　　　　　　　　　　　　　（　　） ⑤ 若三角形的一条中线与这条边垂直，则这个三角形一定是等腰三角形。（　　） 七、拓展探究（选做，共 3 小题） 27．在 △ABC 中，AB = AC，∠A = 36°，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D。请求出图中 ∠ABC、∠ABD、∠ADB、∠BDC 的度数。 28．已知 △ABC 是等边三角形，点 D 在 BC 的延长线上，且 CD = CA。求 ∠D 的度数。 （提示：先求出 ∠ACD，再在等腰三角形 ACD 中计算） 29．面积法探究：在 △ABC 中，AB = AC，点 P 是底边 BC 上任意一点，PD ⊥ AB 于点 D，PE ⊥ AC 于点 E，CF ⊥ AB 于点 F（CF 是腰 AB 上的高）。 （1）请先根据题意画出图形； （2）连结 AP，用面积法证明：PD + PE = CF。 参考答案与解析 课前热身 ① 底角　② 中线；高　③ 60°　④ 50°　⑤ 等腰 一、选择题 答案速查：1．C　2．A　3．C　4．D　5．C　6．B　7．D　8．B　9．C　10．B 1．C　底角 = (180° - 36°) ÷ 2 = 72°。 2．A　因为 AB = AC，所以 ∠C = ∠B = 65°， 所以 ∠A = 180° - 65° - 65° = 50°。 3．C　与 100° 外角相邻的内角为 180° - 100° = 80°。 ① 若 80° 是顶角，则顶角为 80°； ② 若 80° 是底角，则另一底角也是 80°，顶角 = 180° - 160° = 20°。 两种情况都能构成三角形，故顶角为 80° 或 20°。 4．D　由 AB = AC 及 AD ⊥ BC，用 “三线合一” 得 BD = CD、∠BAD = ∠CAD； 由 “等边对等角” 得 ∠B = ∠C。而 AD 与 BD 分别是直角三角形的直角边，没有必然相等的关系。 5．C　等边三角形三个角相等，180° ÷ 3 = 60°。 6．B　由 AB = AC 得 ∠B = ∠C；又 ∠A = ∠B，所以 ∠A = ∠B = ∠C， 三个角都是 60°，故 △ABC 是等边三角形。 7．D　由 “三线合一”，底边上的中线同时是底边上的高（垂直于底边）和顶角的平分线， 它所在的直线正是等腰三角形的对称轴，故 A、B、C 都对。 8．B　∠BAD = ∠BAC = × 120° = 60°。 9．C　设底角为 x°，则顶角为 2x°。 由内角和得 x + x + 2x = 180，即 4x = 180，x = 45。 所以顶角为 2 × 45° = 90°。 10．B　∠B = (180° - 100°) ÷ 2 = 40°。 二、填空题 11．40°　∠C = ∠B = 70°，∠A = 180° - 70° × 2 = 40°。 12．40°　底角 = (180° - 100°) ÷ 2 = 40°。 13．60°；3 14．6　由三线合一，AD 也是 BC 边上的中线，BD = × 12 = 6（cm）。 15．72°　(180° - 36°) ÷ 2 = 72°。 16．70° 或 40°　与外角相邻的内角为 180° - 140° = 40°。 ① 若 40° 是顶角，则底角 = (180° - 40°) ÷ 2 = 70°； ② 若 40° 是底角，则底角就是 40°。 17．⊥；=　由 “三线合一”，底边上的中线同时是底边上的高和顶角平分线。 18．36°　设顶角为 x°，则底角为 2x°， 由 x + 2x + 2x = 180 得 5x = 180，x = 36。 三、推理与证明 19．证明：作 ∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D，则 ∠BAD = ∠CAD。 在 △ABD 和 △ACD 中， AB = AC（已知），∠BAD = ∠CAD（已作），AD = AD（公共边）， 所以 △ABD ≌ △ACD（SAS）。 所以 ∠B = ∠C（全等三角形的对应角相等）。 20．证明：由第 19 题中的全等 △ABD ≌ △ACD 得 BD = CD（全等三角形的对应边相等），∠ADB = ∠ADC（对应角相等）。 因为点 B、D、C 在同一直线上，所以 ∠ADB + ∠ADC = 180°， 所以 ∠ADB = ∠ADC = 90°，即 AD ⊥ BC。 21．证明：因为 AB = AC，所以 ∠B = ∠C（等边对等角）。 在 △ABD 和 △ACE 中， AB = AC（已知），∠B = ∠C（已证），BD = CE（已知）， 所以 △ABD ≌ △ACE（SAS）。 所以 AD = AE（全等三角形的对应边相等）。 22．证明：因为 AB = AC，AD 平分 ∠BAC， 所以 BD = CD，AD ⊥ BC（等腰三角形三线合一）。 所以直线 AD 是线段 BC 的垂直平分线。 因为点 E 在 AD 上， 所以 EB = EC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。 另证：由 ∠BAE = ∠CAE，AB = AC，AE = AE 得 △ABE ≌ △ACE（SAS），故 EB = EC。 23．证明：因为 △ABC 是等边三角形，所以 ∠A = 60°， 在 △ADE 中，AD = AE（已知）， 所以 ∠ADE = ∠AED（等边对等角）。 所以 ∠ADE = ∠AED = (180° - 60°) ÷ 2 = 60°。 所以 ∠A = ∠ADE = ∠AED = 60°，即 △ADE 的三个内角都相等。 所以 △ADE 是等边三角形。 24．证明：因为 AB = AC，AD ⊥ BC， 所以 BD = CD（等腰三角形三线合一）。 又因为 AD ⊥ BC，即直线 AD 经过线段 BC 的中点 D 且与 BC 垂直， 所以直线 AD 是线段 BC 的垂直平分线（垂直平分线的定义）。 四、实际应用 25．（1）因为 AB = AC，所以 ∠B = ∠C（等边对等角）， ∠B = (180° - 110°) ÷ 2 = 35°。 因为 AB = AC，AD ⊥ BC，所以 AD 平分 ∠BAC（三线合一）， ∠BAD = × 110° = 55°。 （2）由三线合一得 BD = CD = BC = × 8 = 4（m）。 （3）若顶角为 90°，则两个底角相等且和为 90°， 每个底角 = (180° - 90°) ÷ 2 = 45°。 26．解：因为 AB = AC，∠BAC = 80°， 所以 ∠B = ∠C = (180° - 80°) ÷ 2 = 50°（等边对等角）。 在 △ABD 中，∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD = 180° - 50° - 20° = 110°。 因为 ∠ADB + ∠ADC = 180°， 所以 ∠ADC = 180° - 110° = 70°。 五、易错辨析 ① 错误。“三线合一” 只在等腰三角形中，且只对顶角平分线、底边上的中线、底边上的高成立。 一般三角形的角平分线、中线、高是三条不同的线段。 ② 正确。这就是 “等边对等角”。 ③ 错误。“三线合一” 说的是顶角的平分线与底边上的中线、高重合， 腰上的高、腰上的中线与它所对角的平分线一般并不重合。 ④ 正确。等边三角形三个角相等，各为 60°。 ⑤ 正确。设 AD 是 BC 边上的中线且 AD ⊥ BC，则 AD 垂直平分 BC， 由垂直平分线的性质得 AB = AC，所以 △ABC 是等腰三角形。 六、拓展探究 27．解：因为 AB = AC，∠A = 36°， 所以 ∠ABC = ∠ACB = (180° - 36°) ÷ 2 = 72°（等边对等角）。 因为 BD 平分 ∠ABC， 所以 ∠ABD = ∠DBC = × 72° = 36°。 在 △ABD 中，∠ADB = 180° - ∠A - ∠ABD = 180° - 36° - 36° = 108°。 因为 ∠ADB + ∠BDC = 180°，所以 ∠BDC = 180° - 108° = 72°。 有趣的发现：∠BDC = ∠ACB = 72°，∠A = ∠ABD = 36°， 图中出现了两个新的等腰三角形，这个三角形被称为 “黄金三角形”。 28．解：因为 △ABC 是等边三角形，所以 ∠ACB = 60°。 因为点 D 在 BC 的延长线上，∠ACB 与 ∠ACD 互为邻补角， 所以 ∠ACD = 180° - 60° = 120°。 在 △ACD 中，因为 CD = CA， 所以 ∠D = ∠CAD（等边对等角）。 所以 ∠D = (180° - 120°) ÷ 2 = 30°。 29．（1）图略。要点：△ABC 中 AB = AC，P 在底边 BC 上， 从 P 分别向两腰作垂线段 PD、PE，再从点 C 向腰 AB 作垂线段 CF。 （2）证明：连结 AP，则 △ABC 被分成 △ABP 与 △ACP 两部分， 所以 S△ABC = S△ABP + S△ACP。 在 △ABP 中，以 AB 为底，高是 PD，所以 S△ABP = × AB × PD； 在 △ACP 中，以 AC 为底，高是 PE，所以 S△ACP = × AC × PE； 在 △ABC 中，以 AB 为底，高是 CF，所以 S△ABC = × AB × CF。 于是 × AB × CF = × AB × PD + × AC × PE。 因为 AB = AC，两边同时除以 × AB， 得 CF = PD + PE，即 PD + PE = CF。 结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和，等于一腰上的高，与点的位置无关。 七、学习反思 完成本次作业后，请对照下表进行自我评价（在相应等级后打 “√”）。 评价内容 优秀 良好 待加强 能叙述并证明 “等边对等角” 能正确使用 “三线合一” 的三种形式 能利用等腰三角形性质进行角度计算 能把等腰三角形性质与全等、垂直平分线结合使用 能用面积法解决与高有关的问题 　 本次作业中我出错最多的题号是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 出错的主要原因是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的改进措施是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 方法小结：本节的两个结论可以记成一句口诀——“等边对等角，三线合一条”。凡是题目中出现 “AB = AC”，先在图上把两个底角标成相等；若图中已有顶角平分线、底边中线或底边高中的任意一条，立刻补出另外两条结论，很多题目就迎刃而解了。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $