2.2 等腰三角形-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

第2章特殊三角形 2.2等腰三角形 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.教材P61课内练习T1变式已知一个等腰三角形两边的长分别为6cm,10cm,则该三角形的周长为 () A.16 cm B.26 cm C.22 cm D.26cm或22cm 2.有下列说法：①等腰三角形是轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；③等腰三 角形的对称轴至少有一条；④等边三角形的对称轴有三条.其中，正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.等边三角形ABC的边长如图所示，那么y= 2y- 6-1 (第3题) 4.已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为 5.如图，C为线段BE上一点，点A,D分别在BE的两侧，AB∥ED,AB=CE,BC=ED,连结 AC,AD,CD.判断△ADC是否为等腰三角形，并说明理由. (第5题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 6.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知线段AB的两个端点为格点.若C也 是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是 () A.6 B.7 C.8 D.9 (第6题) (第7题) 7.舒境科技创新如图，等边三角形ABE和等边三角形DBC全等，边长均为1m,一个微型机器 人由点A开始按A→B→C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环行走，行走2026 后停下，则这个微型机器人停在 () A.点A处 B.点B处 C.点C处 D.点D处 35 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 8.如图，在△ABC中，AB=AC=8,D为底边BC上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥L AC于点F.若△ABC的面积为48，DF=2DE,则DF的长为 B D (第8题) 9.如图，AB,AC是等腰三角形ABC的两腰，AD平分∠BAC,连结BD,CD,则△BCD是等腰三 角形吗？请判断并说明理由. D (第9题) 10.分类讨论思想已知一个等腰三角形的三边长分别为3x一2,4x一3,6一2x,求该等腰三角形的周长. 道]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.考向探究题如图，在边长为4的正方形ABCD中，请作出以A为一个顶点，另 外两个顶点在正方形ABCD的边上，且至少有一条边的长为3的所有大小不同的 等腰三角形（要求：只要作出示意图，并在所作的等腰三角形长为3的边上标注数字3即可）. B (第11题) 36 >“答案与解析”见P202180-e）=∠0B+∠M0P=20+2(180°-8.所 以180°-a=40°+(180°-B).所以B-a=40° MO 0 P -B (第6题) 7.>如图，记AP交BD于点E.因为点A,P关于BD 对称，所以△PQE与△AQE关于BD对称.所以∠AQB ∠PQB.因为∠PCB>∠PQB,所以∠PCB>∠AQB. (第7题) 8.255°由折叠，得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED, 所以∠1=180°-2∠AED,∠2=180°-2∠ADE.所以 ∠1+∠2=360°-2（∠AED+∠ADE).所以∠1+∠2= 360°-2(180°-∠A).所以∠1+∠2=2∠A.因为∠1+ ∠2=150°，所以∠A=75°.所以∠B+∠C=180°-∠A= 105°.因为∠3=∠1+∠C,∠4=∠2+∠B,所以∠3+ ∠4=∠1+∠2+∠B+∠C=150°+105°=255°. 9.如图，分别作点A关于直线OM,ON的对称点A',A", 连结A'A”,分别交OM,ON于点B,C,则点B,C即为所 求作.理由：如图，连结AB,AC.因为点A关于OM,ON 的对称点分别为A',A",所以OM,ON分别是线段AA'和 线段AA"的垂直平分线.所以A'B=AB,AC=A"C.所以 △ABC的周长=AB+BC+AC=A'B+BC+A"C.根据 “两点之间，线段最短”，可知当A',B,C,A"四点在同一条 直线上时，△ABC的周长最小.所以按照上述作法作出的 △ABC的周长最小. A B A" (第9题) 10.(1)因为∠B=40°，∠ACB=90°，所以∠BAC=50° 因为点P与，点E重合，AE平分∠BAC,所以点D在边 AB上.由翻折知，∠ADC=∠ACD.因为∠ADC十 ∠ACD+∠BAC=180°，所以∠ACD=∠ADC=65°.所以 Q=∠ACB一∠ACD=25.(2)如图①，当点P在线段 BE上时，因为∠ADC=∠ACD=90°-a,∠ADC+ ∠BAD=∠B+∠BCD,所以90°一a十B=40°十a.所以 2a一B=50°.如图②，当点P在线段CE上时，延长AD交 BC于点F.因为∠ADC=∠ACD=90°-a,∠ADC= ∠AFC十a=∠B+∠BAD+a=40°+B+a,所以90°一 a=40°+B十a.所以2a十B=50°.综上所述，a与B之间的 数量关系为2a-3=50°或2a+B=50°. D PE FE P ① ② (第10题) 2.2等腰三角形 1.D因为等腰三角形两边的长分别为6cm和10cm,所 以分两种情况.①当6cm为底边长时，其他两边长都为 10cm,且6cm,10cm,10cm可以构成三角形，所以此时周 长为6+10+10=26(cm).②当6cm为腰长时，其他两边 长分别为6cm和10cm,且6cm,6cm,l0cm可以构成三 角形，所以此时周长为6+6+10=22(cm). 2.C①③④是正确的.因为等腰三角形的对称轴是顶角的 平分线所在的直线，所以②错误综上所述，正确的有3个. 3.3由等边三角形的三条边都相等，可知2x十3=6一x, 解得x=1.所以2×1+3=2y-1,解得y=3. 4.5当腰长为5时，底边长为21一2×5=11，三角形的三 边长分别为5,5,11.因为5+5=10<11，所以不能构成三 角形.当底边长为5时，腰长为(21一5)÷2=8，三角形的三 边长分别为8,8,5.因为5+8=13>8，所以能构成三角形. 所以该等腰三角形的底边长为5. 5.△ADC是等腰三角形.理由：因为AB∥ED,所以 (AB=CE, ∠B=∠E.在△ABC和△CED中，因为∠B=∠E,所 BC=ED. 以△ABC≌△CED(SAS).所以AC=CD.所以△ADC是 等腰三角形 6.C如图，分情况讨论：若AB为底边，则点C必定在 AB的垂直平分线上，由图，易知满足条件的点C有4个； 若AB为腰，A为顶角的顶点，则AB=AC,由图，易知满 足条件的点C有2个；若AB为腰，B为顶角的顶点，则 BA=BC,由图，易知满足条件的点C有2个.综上所述，满 足条件的点C的个数是8 (第6题) 7.B由题意，得微型机器人从点A开始行走1m停在点 B处，行走2m停在点C处，行走3m停在点D处，行走 4m停在点B处，行走5m停在点E处，行走6m返回到 点A处.因为2026÷6=337…4，所以微型机器人停在 点B处 8.8连结AD.因为DE⊥AB,DF⊥AC,所以S△Ax= SAm+Sam=号AB:DE+ 2AC·DF.因为SAx 48,AB=AC=8,所以号×8DE+7×8DF=48.所以 DE+DF=12.因为DF=2DE,所以DE+2DE=12.所以 DE=4.所以DF=2X4=8. 9.△BCD是等腰三角形.理由：因为AB,AC是等腰三 角形ABC的两腰，AD平分∠BAC,所以AB=AC, ∠BAD=∠CAD.在△BAD和△CAD中，因为 (AB=AC, ∠BAD=∠CAD,所以△BAD≌△CAD(SAS).所以 AD=AD, BD=CD.所以△BCD是等腰三角形. 10.当3x一2=4x一3，即x=1时，三边长分别为1,1,4. 因为1+1<4，所以不能构成三角形.当3x-2=6一2x,即 x=1.6时，三边长分别为2.8,3.4,2.8.因为2.8+2.8> 3.4,所以能构成三角形，此时周长为2.8十3.4十2.8=9. 当4x-3=6-2x,即x=1.5时，三边长分别为2.5,3,3. 因为2.5+3>3，所以能构成三角形，此时周长为2.5十3+ 3=8.5.综上所述，该等腰三角形的周长为9或8.5. 11.满足条件的所有大小不同的等腰三角形如图①②③④ ⑤所示. >》 (第11题) 2.3等腰三角形的性质定理 第1课时等腰三角形性质定理1及其推论 1.C因为AB∥CD,所以∠DFE=∠BAE=48°.因为 CF=EF,所以∠C=∠E.因为∠C+∠E=∠DFE,所以 ∠E=7∠DFE=24 2.B因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠B= ∠C=60°，AB=BC.因为DP⊥BC,所以∠BPD=90°.所 以∠BDP=30°.因为把等边三角形ABC沿着DE折叠，使 点A恰好落在边BC上的点P处，所以∠DPE=∠A= 60.所以∠ADE=∠PDE=号×(180°-30)=75.所以 ∠PED=180°-∠DPE-∠PDE=45°. 3.46°连结BE.因为线段AB的垂直平分线交AB于点 D,交AC于点E,所以AE=BE.所以∠ABE=∠A=23°. 所以∠BEC=∠A+∠ABE=46°.因为AE=BC,所以 BE=BC.所以∠C=∠BEC=46°. 4(D因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=号(I80- ∠A)=70°.因为CB=CF,所以∠BFC=∠CBF= 2(180-∠ACB)=55.(2)因为AB=AC.CB=CE 所以∠CBE=∠BCF,∠CBE=∠CEB.所以∠CBE= ∠CEB=∠BCF.因为∠BFC+∠BEC=126°，所以 ∠BFC+∠BCF=126°.所以∠CBF=180°一（∠BFC+ ∠BCF)=54°.所以∠BFC=∠CBF=54°.所以∠BCF= 180°-∠BFC-∠CBF=72°.所以∠CBE=∠BCF=72 所以∠A=180°一∠CBE-∠BCF=36°. 5.B因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC=∠ACB= 60°.因为BC⊥CD,所以∠BCD=90°.所以∠ACD= ∠ACB+∠BCD=60°+90°=150°.因为AC=CD,所以 ∠CAD=∠D=180-ACD_180”,150=15:所以 2 2 ∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°-15°=45°. 6.B因为在△ABC中，∠BAC=a,所以∠B+∠C= 180°-∠BAC=180°-a.因为AB=BE,所以∠BAE= ∠BEA=号(180°-∠B)=90-2∠B.又因为AC= CD,所以∠CAD=∠CDA=2(180-∠C)=90- 2∠C.所以∠BAE+∠CAD=180°-（∠B+∠C)= 180-号×(180°-e)=180-90+7。=90+24.所以 ∠DAE=∠BAE+∠CAD-∠BAC.即，月=90r+2a a=90°-7a.所以e+29=180 7.10°或100°因为在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC= 80°，所以∠ACB=180°-40°一80°=60°.分两种情况讨论： ①如图，当点D在线段AB上时，由作图，知AC=AD,所 以∠ACD=∠AC=号X(180-80)=50.所以