1.7 角平分线的性质&综合与实践1 如何测量墙上一点到地面的距离-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

第1章三角形 1.7角平分线的性质 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB,AC于点D,E,再 分别以点D,E为圆心，大于2DE长为半径画弧，两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G.若 CG=1,AB=4,则点G到线段AB的距离是 () A.1 B.3 C.4 D.5 G E (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,AB=7,AC=5,则S△ABD:S△4CD= 3.如图，O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D,且OD=4.若△ABC的 周长是17，则△ABC的面积为 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，过点D作DE⊥AB于点E,延长ED 交BC的延长线于点F.求证：AD=FD. (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能。 5.如图，ABCD,BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD,AD过点E,且DA⊥AB于点A,P为线 段BC上一动点，连结PE.若AD=8,则PE长的最小值为 () A.8 B.5 C.4 D.2 M 0 P —B (第5题) (第6题) (第7题) 6.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E.若△ABC的面积是15cm,AB=9cm,BC= 6cm,则DE=cm. 7.*如图，在∠AOB的边OA,OB上分别取点M,N,连结MN,MP平分∠AMN,NP 平分∠MNB.若MN=4,△PMN的面积是6，△OMN的面积是9，则OM+ON的 值是 27 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 8.如图，在△ABC中，AC=BC,∠A=45°，∠ACB=90°，∠ACD为△ABC的一个外角. (1)请按以下要求画出图形，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）， ①尺规作图：作∠ACD的平分线CM. ②作AC的垂直平分线，与CM交于点F,与AC交于点N,与AB交于点E. (2)求证：FN=EN. (第8题) 9.*如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC,点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为 M,N.求证：PM=PN. (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB于点E,且CD= CB,∠ABC+∠ADC=I80,求证：AE=号CAB+AD). (第10题) 28 >“答案与解析”见P15 第1章三角形 综合与实践1如何测量墙上一点到地面的距离 小刚想知道一堵墙上点A到地面DO的高AO是多少.已知AO⊥DO,但测量的皮尺无法到达 点A,不能直接测量，于是他想到了刚刚学过的全等三角形的知识，设计了如下方案进行测量： 课题 测量墙上一点到地面的距离 测量工具 测角仪、皮尺、直杆等 测量方案示意图 第一步：如图①，找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记 下直杆与地面的夹角∠ABO. 测量方案及步骤 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，记直杆下滑时两端的位置分别为点C,D,当 =∠ABO时，停止下滑. 第三步：测量 的长度，即为点A到地面的高度 任务1 (1)补全上述方案中的空格 任务2 (2)利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由， (3)如图②，设AB与CD交于点E,善于观察和思考的小刚同学猜想线段AE=DE,你 任务3 同意小刚的观点吗？请说明理由 “答案与解析”见P16 292AB=号×14=7cm. 8.(1)如图，点M即为所求.(2)如图，ME即为所求 (3)△ABC≌△MED.理由：因为MD⊥AB,所以 ∠MDE=∠C=90°.因为MEBC,所以∠B=∠MED.在 ∠B=∠MED △ABC和△MED中，因为∠C=∠EDM,所以△ABC≌ AC-MD, △MED(AAS). M (第8题) 9.(1)因为ADBC,所以∠ADC=∠ECF.因为E是CD 的中点，所以DE=EC.在△ADE和△FCE中，因为 |∠ADE=∠FCE, DE=CE, 所以△ADE≌△FCE(ASA).所以 ∠AED=∠FEC, AD=FC.(2)AB=BC+AD.厘由：因为△ADE≌ △FCE,所以AE=FE,AD=FC.又因为BE⊥AF,所以 BE是线段AF的垂直平分线.所以AB=BF=BC十CF. 因为AD=FC,所以AB=BC+AD 1.7角平分线的性质 1.A过点G作GH⊥AB于点H.因为∠C=90°，所以 GC⊥AC.由作图可知，AG平分∠BAC,因为GH⊥AB, GC LAC,所以GH=GC=1. 2.7:5如图，作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F. 因为AD平分∠BAC,AB=7,AC=5,所以DE=DF.所 以SaAm:Sam-(2X7·DE):(3X5·DF) 7：5. (第2题) 3.34如图，过点O作OE⊥AC于点E,OF⊥AB于点 F,连结OA.因为O为△ABC的两条角平分线的交点，所 以OB平分∠ABC,OC平分∠ACB.又因为OE⊥AC, OF⊥AB,OD⊥BC,OD=4,所以OE=OD=4,OF= OD=4所以Sar=Sae+Sr+Sae=号AB· OF+号BC·OD+号AC·OE=2×4X(AB+C+ AC).因为△ABC的周长是17，所以AB+BC+AC=17. 所以S△Ax=2X17=34. (第3题) 4.因为∠ACB=90°，所以∠FCD=90°，即DC⊥BF.因为 BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB,所以DE=DC, ∠DEA=90°.所以∠FCD=∠AED.在△DAE和△DFC ∠DEA=∠DCF, 中，因为DE=DC, 所以△DAE≌△DFC(ASA). ∠ADE=∠FDC, 所以AD=FD. 5.C当PE⊥BC时，PE的长取得最小值.因为AB∥ CD,AD过点E,且DA⊥AB,所以AD⊥CD.因为BE和 CE分别平分∠ABC和∠BCD,所以PE=AE,PE=DE, 即PE=号AD.因为AD=8,所以PE=4,即PE长的最 小值为4. 6.2过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F.因为 BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB,所以DE=DF.因为 △ABC的面积是15cm,AB=9cm,BC=6cm,所以 2AB,DE+号C·DF=15am.所以sDE+6DE= 30cm.所以DE=2cm. 7.10如图，过点P作PH⊥MN于点H,PC⊥OA于点 C,PD⊥OB于点D,连结PO.因为MP平分∠AMN,NP 平分∠NB,所以PC=PH,PD=PH.所以PC=PD. 因为△PMN的面积=号MN·PH=6,MN=4,所以 PH=3.所以PC=PD=3.因为△PMN的面积是6， △OMN的面积是9，所以S△nM+S△PON=S△PMN+ Saw=15.所以号OM·PC+2ON·PD=15.所以 (OM+ON)×3=15×2.所以OM+ON=10. M D 0 N D (第7题) 5 方法归纳 遇角平分线作垂线 过角平分线上一点向该角的两边作垂线是常见的 添加辅助线的方法.在本题中先过点P分别向∠AMN 和∠MNB的两边作垂线，连结OP,再利用角平分线的 性质得出PC=PD=PH,然后利用面积法即可求出 OM十ON的值. 8.(1)如图所示.(2)因为∠A=45°，∠ACB=90°，所以 ∠B=∠A=45°，∠ACD=90°.因为CM平分∠ACD,所 以∠MCA=45°.所以∠FCN=∠EAN.因为EF垂直平 分线段AC,所以AN=CN.在△ANE和△CNF中，因为 ∠A=∠FCN, AN-CN, 所以△ANE≌△CNF(ASA).所以 ∠ANE=∠CNF, FN=EN. E (第8题) 9.因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD=∠CBD.在 (AB=CB, △ABD和△CBD中，因为3∠ABD=∠CBD,所以 BD=BD, △ABD≌△CBD(SAS).所以∠ADB=∠CDB.又因为 PM⊥AD,PN⊥CD,所以PM=PN. 方法归纳 运用角平分线的性质的两点注意 (1)运用角平分线的性质时，角平分线、角平分线上 的，点到角两边的距离两个条件缺一不可，不能错用为角 平分线上的，点到角两边任意，点的距离相等 (2)由角平分线的性质不用证全等可以直接得到线 段相等，这是证线段相等的一个简便方法。 10.如图，过点C作CMLAD,交AD的延长线于点M.因 为CE⊥AB,所以∠M=∠BEC=∠AEC=90°.因为 ∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠MDC=180°，所以 ∠B=∠MDC.因为AC平分∠BAD,CM⊥AD,CE⊥ AB,所以CM=CE,∠MAC=∠EAC.在△MAC和△EAC f∠MAC=∠EAC, 中，因为∠M=∠AEC,所以△MAC≌△EAC(AAS). AC=AC, ∠MDC=∠B, 所以AM=AE.在△DMC和△BEC中，因为∠M=∠BEC, CM=CE, 所以△DMC≌△BEC(AAS).所以DM=BE.所以AB+ AD-AE+BE+AD-AE+DM+AD-AE+AM- 2AE.所以AE= 2(AB+AD). B E (第10题) 综合与实践1如何测量墙上一点到地面的距离 (1)D00:OD.(2)理由：因为AO⊥DO,所以∠AOB= ∠DOC=90°.由题意，得∠ABO=∠DCO,AB=DC.在 ∠ABO=∠DCO, △AOB和△DOC中，因为∠AOB=∠DC,所以△AOB≌ AB=DC, △DOC(AAS).所以OA=OD.所以测量线段OD的长度， 即为点A到地面的高度AO.(3)同意小刚的观点.理 由：因为△AOB≌△DOC,所以OB=OC,OA=OD, ∠OAB=∠ODC.所以OA一OC=OD一OB,即AC=DB. ∠CAE=∠BDE 在△ACE和△DBE中，因为 ∠AEC=∠DEB,所以 AC=DB, △ACE≌△DBE(AAS).所以AE=DE, 第1章拔尖自主测评 1.B假设剪断乙小棒，设乙小棒长度为adm,剪成两段 长度分别为mdm、ndm,甲小棒长度为bdm.因为乙小棒 的长度大于甲小棒，即a>b,所以m+n>b.所以剪断乙小 棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形.假设剪断 甲小棒，因为乙小棒的长度大于甲小棒，所以甲小棒剪成 的两根小棒的长度和小于乙小棒的长度.所以围不成三角 形.综上所述，剪断的小棒是乙，故B正确。 2.C若添加∠B=∠E,在△ABC和△DEF中，因为 AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,所以△ABC≌△DEF (SAS).故A不符合题意.若添加AC=DF,在△ABC和 △DEF中，因为AB=DE,BC=EF,AC=DF,所以 △ABC≌△DEF(SSS).故B不符合题意.若添加∠C= ∠F,在△ABC和△DEF中，由AB=DE,BC=EF, ∠C=∠F,不能判定两个三角形全等.故C符合题意.因 为ABDE,EF∥BC,所以∠B=∠EDC,∠EDC=∠E. 所以∠B=∠E.在△ABC和△DEF中，因为AB=DE, ∠B=∠E,BC=EF,所以△ABC≌△DEF(SAS).故D 不符合题意