2.2 等腰三角形 课时作业 2026-2027学年浙教版数学 八年级上册

**基本信息** 分层清晰，从概念梳理到拓展探究，覆盖等腰三角形核心知识点，通过基础巩固、综合应用及易错辨析，培养数学抽象、推理与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |课前热身|核心概念直接记忆|填空考查腰、底边等概念，强化抽象能力| |基础巩固|单一知识点应用|选择填空对应三边关系、内角计算，培养运算能力| |解答与说理|中等综合应用|分类讨论求周长、角度，体现“一分二算三检验”推理路径| |实际应用|情境化应用|工艺品、铁丝围三角形问题，发展应用意识| |易错辨析|易错点辨析|判断改错纠正分类漏解等问题，培养批判性思维| |拓展探究|高阶综合与开放|中线分周长、高的位置讨论，提升创新意识|

浙教版八年级上册 第2章 2.2 等腰三角形 课时作业 第2章 特殊三角形 浙教版 八年级上册 2.2 等腰三角形 课时作业 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿ （满分 100 分　建议用时 45 分钟） 一、知识点梳理 知识点 1　等腰三角形的有关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 图 1　等腰三角形中各部分的名称 名　称 含　义 图 1 中的对应部分 腰 相等的两条边 AB 与 AC 底边 第三条边（不一定是水平的那条） BC 顶角 两腰的夹角 ∠A 底角 腰与底边的夹角 ∠B 与 ∠C 　 注意：“腰” 与 “底边” 是相对的名称，与三角形摆放的位置无关。判断时要看哪两条边相等。 知识点 2　等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。 图 2　等边三角形 关系：等边三角形是特殊的等腰三角形（任意两边都可以看作腰）， 但等腰三角形不一定是等边三角形。 等边三角形的每个内角都等于 60°。 知识点 3　等腰三角形的轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 图 3　沿顶角平分线所在直线对折，两部分完全重合 如图 3，沿 AD 所在直线对折，AB 与 AC 重合、BD 与 CD 重合、∠B 与 ∠C 重合。由此可以直观地得到： ① 等腰三角形的两个底角相等（即 “等边对等角”，严格证明将在 2.3 节完成）； ② 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称 “三线合一”。 对称轴的三种说法是同一条直线：顶角平分线所在直线、底边上的中线所在直线、底边上的高所在直线。 等边三角形是轴对称图形，它有 3 条对称轴。 知识点 4　等腰三角形中的分类讨论 题目中若没有指明哪条边是腰、哪个角是顶角，往往需要分类讨论。 题目类型 分类方式 必须检验的内容 已知两条边长求周长 分别把较短边、较长边当作腰 三边是否满足 “两边之和大于第三边” 已知一个角求其他角 分别把这个角当作顶角、底角 三角形内角和为 180°，角必须为正 已知一腰上的中线分周长 中线把腰分成两段，两部分周长有两种对应 所得三边能否构成三角形 　 重要结论：若已知角是钝角或直角，它只能是顶角（因为三角形中最多只有一个直角或钝角， 而两个底角相等，若底角为直角或钝角，内角和就会超过 180°）。 易错提醒：① 分类讨论后必须检验三边能否构成三角形，不能把不成立的情形也当作答案；② 等腰三角形的 “高” 要说清楚是 “底边上的高” 还是 “腰上的高”，两者位置不同；③ 顶角为钝角时，腰上的高落在三角形外部；④ 不要把 “等腰三角形” 与 “等边三角形” 混为一谈。 二、典例精析 例 1　已知等腰三角形的两条边长分别为 3 cm 和 7 cm，求它的周长。 分析：没有说明哪条是腰，需要分两种情况讨论，并检验能否构成三角形。 解：① 若 3 cm 为腰，则三边为 3、3、7。 因为 3 + 3 = 6 < 7，不满足三角形三边关系，这种情况不成立。 ② 若 7 cm 为腰，则三边为 7、7、3。 因为 7 + 3 = 10 > 7，满足三边关系，这种情况成立。 此时周长为 7 + 7 + 3 = 17（cm）。 答：这个等腰三角形的周长是 17 cm。 例 2　已知等腰三角形的一个内角为 80°，求它的另外两个内角的度数。 分析：80° 既可能是顶角，也可能是底角，要分两种情况。 解：① 若 80° 是顶角，则两个底角相等， 每个底角 = (180° - 80°) ÷ 2 = 50°，另外两个角是 50°、50°。 ② 若 80° 是底角，则另一个底角也是 80°， 顶角 = 180° - 80° - 80° = 20°，另外两个角是 80°、20°。 答：另外两个角是 50°、50° 或 80°、20°。 追问：若把 80° 换成 100°，答案是什么？ 此时 100° 只能是顶角（若为底角，两个底角之和已达 200° > 180°）， 所以另外两个角都是 (180° - 100°) ÷ 2 = 40°。 例 3　如图 3，在 △ABC 中，AB = AC，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D。请指出图中相等的线段与相等的角，并说明 AD 与 BC 的位置关系。 解：沿直线 AD 把 △ABC 对折，AB 与 AC 重合，因此 相等的线段：AB = AC，BD = CD； 相等的角：∠B = ∠C，∠BAD = ∠CAD，∠ADB = ∠ADC。 因为 ∠ADB + ∠ADC = 180°，且 ∠ADB = ∠ADC， 所以 ∠ADB = ∠ADC = 90°，即 AD ⊥ BC。 结论：AD 同时是顶角平分线、底边上的中线和底边上的高，这就是 “三线合一”。 例 4　用一条长 20 cm 的细绳围成一个等腰三角形，使腰长比底边长 1 cm。求这个三角形各边的长。 解：设底边长为 x cm，则腰长为 (x + 1) cm。 根据周长列方程：x + 2(x + 1) = 20， 去括号得 x + 2x + 2 = 20， 合并得 3x = 18，所以 x = 6。 则腰长为 6 + 1 = 7（cm）。 检验：三边为 7、7、6，6 + 7 = 13 > 7，能构成三角形。 答：三边长分别为 7 cm、7 cm、6 cm。 解题思路提炼：等腰三角形问题 “一分二算三检验”——先分清是腰还是底、是顶角还是底角，再计算，最后一定要用三边关系或内角和检验，舍去不合理的情形。 三、基础巩固 （〇）课前热身（不计分，直接填空） ① 有＿＿＿＿条边相等的三角形叫做等腰三角形。 ② 等腰三角形中，相等的两边叫做＿＿＿＿，第三边叫做＿＿＿＿。 ③ 两腰的夹角叫做＿＿＿＿，腰与底边的夹角叫做＿＿＿＿。 ④ 等腰三角形是＿＿＿＿图形，它的对称轴是＿＿＿＿所在的直线。 ⑤ 等边三角形有＿＿＿＿条对称轴，每个内角都是＿＿＿＿。 （一）选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，则它的周长为（　　） A．13　　　　　B．17　　　　　C．13 或 17　　D．以上都不对 2．等腰三角形的一个内角为 100°，则它的底角为（　　） A．40°　　　　　B．100°　　　　C．40° 或 100°　D．80° 3．下列说法中，错误的是（　　） A．等边三角形一定是等腰三角形　　B．等腰三角形一定是等边三角形 C．等腰三角形的两腰相等　　　　　D．等边三角形的三条边都相等 4．等腰三角形的对称轴是（　　） A．顶角的平分线　　　　　　　　　B．顶角平分线所在的直线 C．底边上的中线　　　　　　　　　D．一腰上的高所在的直线 5．等边三角形的对称轴共有（　　） A．1 条　　　　 B．2 条　　　　C．3 条　　　　 D．无数条 6．等腰三角形的周长为 18 cm，腰长为 7 cm，则底边长为（　　） A．4 cm　　　　B．7 cm　　　　C．11 cm　　　　D．4 cm 或 7 cm 7．等腰三角形的一个内角为 60°，则这个三角形一定是（　　） A．等边三角形　B．直角三角形　C．钝角三角形　D．无法确定 8．等腰三角形的顶角为 40°，则它的一个底角为（　　） A．40°　　　　　B．70°　　　　　C．100°　　　　D．140° 9．已知等腰三角形的两腰长都是 4，则它的底边长可以是（　　） A．8　　　　　　B．9　　　　　　C．5　　　　　　D．10 10．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线三者之间的关系是（　　） A．互相重合　　B．互相垂直　　C．互相平行　　D．没有确定关系 （二）填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11．等腰三角形的两边长为 5 cm 和 6 cm，则它的周长是 ＿＿＿＿＿＿ cm。 12．等腰三角形的顶角为 50°，则它的每个底角为 ＿＿＿＿。 13．等腰三角形的一个底角为 50°，则它的顶角为 ＿＿＿＿。 14．等边三角形的每个内角都等于 ＿＿＿＿。 15．等腰三角形的周长为 24 cm，腰长为 9 cm，则底边长为 ＿＿＿ cm。 16．等腰三角形的对称轴是 ＿＿＿＿＿＿ 所在的直线。 17．等腰三角形的两边长为 2 cm 和 5 cm，则它的周长是 ＿＿＿ cm。 18．在 △ABC 中，AB = AC，AD 是底边 BC 上的高。若 BC = 8 cm，则 BD = ＿＿＿ cm，∠ADB = ＿＿＿＿。 四、解答与说理（第 19～24 题，共 30 分） 19．（5 分）已知等腰三角形的两条边长分别为 4 cm 和 9 cm，求它的周长（要有分类讨论与检验过程）。 20．（5 分）已知等腰三角形的一个内角为 50°，求它另外两个内角的度数。 21．（5 分）如图 3，在 △ABC 中，AB = AC，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D。 第 21 题图 （1）写出图中所有相等的线段和相等的角；（2）说明 AD ⊥ BC 的理由。 22．（5 分）用一条长 20 cm 的细绳围成一个等腰三角形，使腰长是底边长的 2 倍。求各边的长。 23．（5 分）等腰三角形的周长为 22 cm，腰长比底边长 2 cm。求这个三角形各边的长。 24．（5 分）说明理由：为什么等腰三角形的顶角可以是钝角，而底角不可能是钝角？ 五、实际应用（第 25～26 题，共 8 分） 25．（4 分）如图 2，某工艺品的图案是一个等边三角形。 第 25 题图 （1）它是不是轴对称图形？若是，有几条对称轴？分别是什么？ （2）若这个等边三角形的周长为 27 cm，求它的边长。 26．（4 分）用一条长 18 cm 的细铁丝围成一个等腰三角形。 （1）若腰长是底边长的 2 倍，求各边的长； （2）能否围成有一边长为 4 cm 的等腰三角形？若能，求出三边长；若不能，请说明理由。 六、易错辨析 下面是小林的五个说法，请判断正误。若有错误，请说明理由。 ① 等腰三角形的两边长为 3 和 7，周长一定是 13 或 17。　　　　（　　） ② 等腰三角形的一个角为 70°，另外两个角一定是 55°、55°。　（　　） ③ 等腰三角形一定是等边三角形。　　　　　　　　　　　　　　（　　） ④ 等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线。　　　　　　　　　　（　　） ⑤ 等腰三角形的底角可以是直角。　　　　　　　　　　　　　　（　　） 七、拓展探究（选做，共 3 小题） 27．一个等腰三角形一腰上的中线把它的周长分成 12 cm 和 15 cm 两部分，求这个等腰三角形各边的长。 28．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，求这个等腰三角形顶角的度数。 （提示：顶角是锐角和是钝角时，高的位置不同，要分类讨论） 29．开放探究：在 △ABC 中，已知 ∠A = 40°。 （1）若 △ABC 是等腰三角形，求 ∠B 所有可能的度数； （2）你能从中总结出什么规律？ 参考答案与解析 课前热身 ① 两　② 腰；底边　③ 顶角；底角　④ 轴对称；顶角平分线　⑤ 3；60° 一、选择题 答案速查：1．B　2．A　3．B　4．B　5．C　6．A　7．A　8．B　9．C　10．A 1．B　若 3 为腰，三边为 3、3、7，因为 3 + 3 = 6 < 7，不能构成三角形，舍去； 若 7 为腰，三边为 7、7、3，能构成三角形，周长为 17。故选 B。 2．A　100° 是钝角，只能作顶角（若作底角，两底角之和为 200°，已超过 180°）。 所以底角 = (180° - 100°) ÷ 2 = 40°。 3．B　等腰三角形只要求两边相等，第三边可以不等，所以不一定是等边三角形。 4．B　对称轴必须是一条直线，而 A 中的角平分线是射线、C 中的中线是线段，说法都不完整； D 中腰上的高所在的直线一般不是等腰三角形的对称轴。故选 B。 5．C　等边三角形三条边的垂直平分线所在直线都是它的对称轴，共 3 条。 6．A　底边 = 18 - 7 - 7 = 4（cm）。检验：4 + 7 = 11 > 7，成立。 7．A　若 60° 为顶角，两底角各为 (180° - 60°) ÷ 2 = 60°； 若 60° 为底角，另一底角也是 60°，顶角为 60°。两种情况下三个角都是 60°，故是等边三角形。 8．B　底角 = (180° - 40°) ÷ 2 = 70°。 9．C　底边长 x 必须满足 4 + 4 > x，即 x < 8，同时 x > 0。 四个选项中只有 5 满足，故选 C。 10．A　这就是等腰三角形的 “三线合一”。 二、填空题 11．16 或 17　若 5 为腰：5、5、6，周长 16；若 6 为腰：6、6、5，周长 17。两种都能构成三角形。 12．65°　底角 = (180° - 50°) ÷ 2 = 65°。 13．80°　顶角 = 180° - 50° × 2 = 80°。 14．60°　等边三角形三个角相等，180° ÷ 3 = 60°。 15．6　底边 = 24 - 9 - 9 = 6（cm）。检验：6 + 9 = 15 > 9，成立。 16．顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高） 17．12　若 2 为腰：2、2、5，2 + 2 = 4 < 5，不成立； 若 5 为腰：5、5、2，成立，周长为 12 cm。 18．4；90°　由 “三线合一”，底边上的高同时是底边上的中线，所以 BD = BC = 4 cm，且 AD ⊥ BC。 三、解答与说理 19．解：① 若 4 cm 为腰，三边为 4、4、9。 因为 4 + 4 = 8 < 9，不满足三边关系，舍去。 ② 若 9 cm 为腰，三边为 9、9、4。 因为 9 + 4 = 13 > 9，成立，周长为 9 + 9 + 4 = 22（cm）。 答：周长为 22 cm。 20．解：① 若 50° 是顶角，则两底角相等， 每个底角 = (180° - 50°) ÷ 2 = 65°，另外两个角为 65°、65°。 ② 若 50° 是底角，则另一底角也是 50°， 顶角 = 180° - 50° - 50° = 80°，另外两个角为 50°、80°。 21．解：（1）相等的线段：AB = AC，BD = CD； 相等的角：∠B = ∠C，∠BAD = ∠CAD，∠ADB = ∠ADC。 （2）因为沿 AD 对折后 △ABD 与 △ACD 完全重合，所以 ∠ADB = ∠ADC。 又因为点 B、D、C 在同一条直线上，所以 ∠ADB + ∠ADC = 180°。 所以 ∠ADB = ∠ADC = 90°，即 AD ⊥ BC。 22．解：设底边长为 x cm，则腰长为 2x cm。 由周长得 x + 2x + 2x = 20，即 5x = 20，所以 x = 4。 腰长为 2 × 4 = 8（cm）。 检验：三边为 8、8、4，4 + 8 = 12 > 8，成立。 答：三边长分别为 8 cm、8 cm、4 cm。 23．解：设底边长为 x cm，则腰长为 (x + 2) cm。 由周长得 x + 2(x + 2) = 22， 即 3x + 4 = 22，3x = 18，所以 x = 6。 腰长为 6 + 2 = 8（cm）。 检验：三边为 8、8、6，成立。 答：三边长分别为 8 cm、8 cm、6 cm。 24．解：等腰三角形的两个底角相等。 若底角是钝角（大于 90°），则两个底角之和大于 180°， 再加上顶角，三角形内角和就会超过 180°，这与三角形内角和定理矛盾，所以底角不可能是钝角。 而顶角只有一个，只要两个底角都是锐角且它们的和小于 180°，顶角就可以是钝角。 例如顶角 100°、底角各 40° 的等腰三角形是存在的。 同理：等腰三角形的底角也不可能是直角。 四、实际应用 25．（1）是轴对称图形，有 3 条对称轴， 分别是三条边的垂直平分线所在的直线（由 “三线合一” 可知，它们也是三条角平分线、三条中线、三条高所在的直线）。 （2）边长 = 27 ÷ 3 = 9（cm）。 26．（1）设底边长为 x cm，则腰长为 2x cm。 由 x + 2x + 2x = 18 得 5x = 18，所以 x = 3.6，腰长为 7.2 cm。 检验：3.6 + 7.2 = 10.8 > 7.2，成立。 三边长分别为 7.2 cm、7.2 cm、3.6 cm。 （2）能。分两种情况讨论： ① 若 4 cm 为腰，则另一腰也是 4 cm，底边 = 18 - 4 - 4 = 10（cm）。 因为 4 + 4 = 8 < 10，不能构成三角形，舍去。 ② 若 4 cm 为底边，则两腰之和 = 18 - 4 = 14（cm），每条腰长 7 cm。 因为 4 + 7 = 11 > 7，能构成三角形。 所以能围成，三边长分别为 7 cm、7 cm、4 cm。 五、易错辨析 ① 错误。必须检验三边关系。3、3、7 中 3 + 3 < 7，不能构成三角形，所以周长只能是 17。 ② 错误。70° 是锐角，既可以是顶角也可以是底角。 作顶角时另两角为 55°、55°；作底角时另两角为 70°、40°。共两种情况。 ③ 错误。等腰三角形只要求两边相等；等边三角形是等腰三角形中的特殊情形。 ④ 错误。对称轴是直线，应说成 “顶角平分线所在的直线”。角平分线是一条射线，不是直线。 ⑤ 错误。若底角是直角，两个底角之和已是 180°，加上顶角就超过 180°，与内角和定理矛盾。 六、拓展探究 27．解：设腰长为 x cm，底边长为 y cm。腰上的中线把这条腰分成两段，每段长 。 这条中线把三角形的周长分成 (x + ) 和 ( + y) 两部分。 情形一：x + = 12， + y = 15。 由前式得 = 12，x = 8；代入后式得 4 + y = 15，y = 11。 检验：三边为 8、8、11，8 + 8 = 16 > 11，成立。 情形二：x + = 15， + y = 12。 由前式得 = 15，x = 10；代入后式得 5 + y = 12，y = 7。 检验：三边为 10、10、7，成立。 答：各边长为 8 cm、8 cm、11 cm 或 10 cm、10 cm、7 cm。 28．解：设 △ABC 中 AB = AC，BD 是腰 AC 上的高。 情形一：顶角 ∠A 是锐角，此时高 BD 落在三角形内部，垂足 D 在边 AC 上。 在 Rt△ABD 中，∠ADB = 90°，∠ABD = 30°， 所以 ∠A = 180° - 90° - 30° = 60°。 情形二：顶角 ∠A 是钝角，此时高 BD 落在三角形外部，垂足 D 在 CA 的延长线上。 在 Rt△ABD 中，∠ADB = 90°，∠ABD = 30°，所以 ∠BAD = 60°。 因为 ∠BAD 与 ∠BAC 互为邻补角， 所以 ∠BAC = 180° - 60° = 120°。 答：顶角为 60° 或 120°。 29．（1）分三种情况讨论： ① 若 ∠A 是顶角，则两底角相等，∠B = (180° - 40°) ÷ 2 = 70°； ② 若 ∠A 是底角，且 ∠B 是另一个底角，则 ∠B = ∠A = 40°； ③ 若 ∠A 是底角，而 ∠B 是顶角，则 ∠B = 180° - 40° × 2 = 100°。 所以 ∠B 可能是 70°、40° 或 100°。 （2）规律：已知等腰三角形的一个角求另一个角时， 若已知角是锐角，一般有三种可能（如本题）； 若已知角是直角或钝角，它只能是顶角，答案唯一。 特别地，当已知角为 60° 时，三种情况的结果都是 60°，三角形为等边三角形。 七、学习反思 完成本次作业后，请对照下表进行自我评价（在相应等级后打 “√”）。 评价内容 优秀 良好 待加强 能准确说出腰、底边、顶角、底角的含义 知道等腰三角形是轴对称图形并能说出对称轴 理解并会用 “三线合一” 遇到未指明腰或底的问题能主动分类讨论 计算后能自觉用三边关系、内角和进行检验 　 本次作业中我出错最多的题号是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 出错的主要原因是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的改进措施是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 方法小结：本节最容易失分的地方是 “漏解” 和 “多解”。凡是没有明确指出腰、底或顶角、底角的题目，都要分类讨论；讨论完以后，还要用三边关系和内角和定理逐一检验，把不合理的情形果断舍去。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $