2.1 图形的轴对称-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

第2章特殊三角形 2.1图形的轴对称 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.舒青境传统文化《国语·楚语》中记载：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故日美.”这 一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐.我国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式 建造，更具脱俗的美感和生命力.下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是 () A. B. C D 2.如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB交MN于点O.有下列结论：①AB=A'B'; ②OB=OB';③∠ACB=∠A'BC;④MN垂直平分CC'.其中，不正确的是 () A.① B.② C.③ D.④ (第2题) (第3题) 3.如图，在方格纸中每个小正方形的边长均为1，已有两个小正方形被涂灰，再将图中其余的小正 方形涂灰一个，使整个图案构成一个轴对称图形，则涂法共有 种 4.★如图，在网格中，△ABC的顶点A,B,C均在格点上.请按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)以直线l为对称轴，作出与△ABC对称的△A'B'C (2)在直线L上找一点D,使得AD十BD的值最小N (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，在同样大小的正方形组成的方格中有五个涂色正方形，移动其中一个涂色正方 形（不与其余涂色正方形重合），使其与其余四个涂色正方形组成的新图形是一个轴 对称图形，这样的移法共有 ( A.5种 B.6种 C.8种 D.13种 (第5题) 33 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 6.如图，∠AOB=20°，M,N分别是边OA,OB上的定点，P,Q分别是边OB,OA上的 动点，记∠MPQ=a,∠PQN=B,当MP+PQ+QN的值最小时，B-a的度数为 () A.10° B.20 C.40° D.60° Q一A 0 M B D (第6题) (第7题) (第8题) 7.舒考向探究题在如图所示的四边形ABCD中进行如下操作：①作点A关于BD的对称点P; ②作射线PC交BD于点Q;③连结AQ.试根据所作图形进行判断，∠PCB ∠AQB (填“>”“<”或“=”)， 8.如图，将△ABC沿DE折叠，使AE,AD与边BC分别相交于点M,N.若∠1+∠2=150°，则 ∠3+∠4的度数为 9.如图，A是锐角∠MON内一点，试分别在OM,ON上确定点B,C,使△ABC的周长最小，要 求：作出图形，写出主要作图步骤，并说明理由. M (第9题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.考向探究题如图，在△ABC中，∠B=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC 于点E,P是边BC上的动点（不与点B,C重合），连结AP,将△APC沿AP翻折 得到△APD,连结DC,记∠BCD=a. (1)当点P与点E重合时，求α的度数， (2)当点P与点E不重合时，记∠BAD=B,探究α与B之间的数量关系， E(P)C 备用图 (第10题) 34 >“答案与解析”见PI9∠CFB=135°.所以∠CFE=∠CFB-∠BFE=135°-AG=CE=4.5.因为BE=3,所以BC=BE+CE=7.5.所 45°=90°.所以∠AFC=180°-90°=90°.(3)因为 以AB=BC=7.5. △ABF≌△CBF,所以AB=CB,AF=CF.因为∠AGC= ∠AFC+∠FAG=∠ADC+∠FCE,∠AFC=∠ADC= 90°，所以∠FAG=∠FCE.在△AFG和△CFE中，因为 ∠AFG=∠CFE, AF=CF, 所以△AFG≌△CFE(ASA).所以 EM ∠FAG=∠FCE, (第15题) 第2章 特殊三角形 2.1图形的轴对称 方法归纳 画轴对称图形的一般步骤 1.B根据轴对称图形的定义，可得选项A,C,D中的图案 (1)找：在原图形上找特殊点」 均能找到一条直线，使得将图案沿着直线折叠后，直线两 (2)画：画各个特殊，点关于对称轴的对称，点. 侧的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意， (3)连：依次连结这些点. 选项B中的图案无法找到这样的一条直线，所以不是轴对 称图形，符合题意， 5.D移法如图所示，共有13种 2.C因为△ABC与△A'B'C关于直线MN对称，所以 △ABC≌△A'B'C',OB=OB',MN垂直平分CC'.所以 AB=A'B',∠ACB≠∠A'B'C'.综上所述，①②④正确，不 符合题意，③不正确，符合题意. 3.5如图，涂法共有5种 (第3题) 4.(1)如图，△A'B'C即为所求作.(2)如图，直线A'B 与直线！的交点D即为所求作 (第5题) 6.C如图，作点M关于OB的对称点M',点N关于OA 的对称点N',连结M'N'交OA于点Q,交OB于点P,则 此时MP+PQ+QN的值最小.易得∠OPM=∠OPM= (第4题) ∠NPQ,∠OQP=∠AQN'=∠AQN,所以∠QPN= 19 2180-e）=∠A0B+∠M0P=20+2180°-9).所 ∠BAD=∠B+∠BCD,所以90°一a十B=40°+a.所以 2a一B=50°.如图②，当点P在线段CE上时，延长AD交 以180°-a=40°+(180°-B).所以B-a=40° BC于点F.因为∠ADC=∠ACD=90°-a,∠ADC= ∠AFC十a=∠B十∠BAD+a=40°+B+a,所以90° a=40°+B十a.所以2a十B=50°.综上所述，a与B之间的 数量关系为2a一B=50°或2a+B=50°. 0 A M (第6题) 7.>如图，记AP交BD于点E.因为点A,P关于BD 0 对称，所以△PQE与△AQE关于BD对称.所以∠AQB PE FE P ∠PQB.因为∠PCB>∠PQB,所以∠PCB>∠AQB. ① ② D (第10题) 2.2等腰三角形 1.D因为等腰三角形两边的长分别为6cm和10cm,所 以分两种情况.①当6cm为底边长时，其他两边长都为 (第7题) 8.255°由折叠，得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED, 10cm,且6cm,10cm,10cm可以构成三角形，所以此时周 所以∠1=180°-2∠AED,∠2=180°-2∠ADE.所以 长为6+10+10=26(cm).②当6cm为腰长时，其他两边 长分别为6cm和10cm,且6cm,6cm,l0cm可以构成三 ∠1+∠2=360°-2（∠AED+∠ADE).所以∠1+∠2= 角形，所以此时周长为6十6十10=22(cm). 360°-2(180°-∠A).所以∠1+∠2=2∠A.因为∠1+ 2.C①③④是正确的.因为等腰三角形的对称轴是顶角的 ∠2=150°，所以∠A=75°.所以∠B+∠C=180°-∠A= 平分线新在的直线，所以②错误.综上所述，正确的有3个. 105°.因为∠3=∠1+∠C,∠4=∠2+∠B,所以∠3+ 3.3由等边三角形的三条边都相等，可知2x十3=6一x, ∠4=∠1+∠2+∠B+∠C=150°+105=255°. 解得x=1.所以2×1+3=2y-1,解得y=3. 9.如图，分别作点A关于直线OM,ON的对称点A',A”, 4.5当腰长为5时，底边长为21一2×5=11，三角形的三 连结A'A”,分别交OM,ON于点B,C,则，点B,C即为所 边长分别为5,5,11.因为5+5=10<11，所以不能构成三 求作.理由：如图，连结AB,AC.因为点A关于OM,ON 角形.当底边长为5时，腰长为(21-5)÷2=8，三角形的三 的对称点分别为A',A",所以OM,ON分别是线段AA'和 边长分别为8,8,5.因为5+8=13>8，所以能构成三角形. 线段AA"的垂直平分线.所以A'B=AB,AC=A"C.所以 所以该等腰三角形的底边长为5. △ABC的周长=AB+BC+AC=A'B+BC+A"C.根据 5.△ADC是等腰三角形.理由：因为AB∥ED,所以 “两点之间，线段最短”，可知当A',B,C,A"四点在同一条 (AB=CE, 直线上时，△ABC的周长最小.所以按照上述作法作出的 ∠B=∠E.在△ABC和△CED中，因为∠B=∠E,所 △ABC的周长最小. BC=ED, 以△ABC≌△CED(SAS).所以AC=CD.所以△ADC是 等腰三角形. 6.C如图，分情况讨论：若AB为底边，则点C必定在 AB的垂直平分线上，由图，易知满足条件的点C有4个； 若AB为腰，A为顶角的顶点，则AB=AC,由图，易知满 A" 足条件的点C有2个；若AB为腰，B为顶角的顶点，则 (第9题) BA=BC,由图，易知满足条件的点C有2个.综上所述，满 10.(1)因为∠B=40°，∠ACB=90°，所以∠BAC=50. 足条件的点C的个数是8. 因为点P与，点E重合，AE平分∠BAC,所以点D在边 AB上.由翻折知，∠ADC=∠ACD.因为∠ADC+ ∠ACD+∠BAC=180°，所以∠ACD=∠ADC=65°.所以 Q=∠ACB一∠ACD=25°.(2)如图①，当点P在线段 BE上时，因为∠ADC=∠ACD=90°一a,∠ADC十 (第6题) 20