2.1 图形的轴对称 课时作业 2026-2027学年浙教版数学 八年级上册

**基本信息** 浙教版八年级上册“2.1图形的轴对称”同步练，以“概念-应用-拓展”三级分层设计，覆盖5个核心知识点，通过基础巩固与梯度提升结合，强化几何直观、推理意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一概念（定义、对称轴条数）|课前热身填空+选择判断，夯实概念记忆| |能力应用|性质应用与作图（对称图形作法、最短路径）|作图解答+实际问题（牧马饮马），培养应用意识| |拓展探究|综合探究（同侧异侧路径对比、跨学科符号）|选做题对比分析，发展创新思维与转化思想|

浙教版八年级上册 第2章 2.1 图形的轴对称 课时作业 第2章 特殊三角形 浙教版 八年级上册 2.1 图形的轴对称 课时作业 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿ （满分 100 分　建议用时 45 分钟） 一、知识点梳理 知识点 1　轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 图 1　常见的轴对称图形及其对称轴（虚线） 注意：对称轴是一条直线，不是线段，画图时两端要画出头。 知识点 2　两个图形成轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，互相重合的点叫做对应点（也叫对称点）。 比较项 轴对称图形 两个图形成轴对称 研究对象 一个图形自身的性质 两个图形之间的关系 折叠方式 沿对称轴折叠后自身两部分重合 沿对称轴折叠后一个图形与另一个重合 对称轴条数 可能有 1 条、多条甚至无数条 通常只有 1 条 举　例 等腰三角形、正方形、圆 关于直线 l 对称的两个三角形 　 联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，这个整体就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分成的两部分看成两个图形，它们就成轴对称。 知识点 3　轴对称的性质 图 2　△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称 ① 成轴对称的两个图形是全等图形，对应线段相等，对应角相等； ② 对称轴垂直平分连结两个对应点的线段（这是最核心的性质）； ③ 对应线段所在直线如果相交，交点一定在对称轴上； ④ 轴对称图形的对称轴，垂直平分连结图形上任意一对对应点的线段。 几何语言：因为 △ABC 与 △A′B′C′ 关于 l 对称， 所以 l 垂直平分 AA′、BB′、CC′，且 AB = A′B′，∠B = ∠B′。 知识点 4　作轴对称图形 作已知图形关于直线 l 的对称图形，只要作出关键点（如三角形的三个顶点）的对应点，再按原来的顺序连结即可。 作一个点 A 关于直线 l 的对应点 A′ 的方法： ① 过点 A 作 l 的垂线，垂足为 H； ② 在垂线上截取 HA′ = AH（点 A′ 与点 A 在 l 的两侧），点 A′ 就是所求。 检验：AA′ ⊥ l，且 l 平分 AA′。 知识点 5　常见图形的对称轴条数 图　形 对称轴条数 图　形 对称轴条数 线段 2 条 长方形 2 条 角 1 条 正方形 4 条 等腰三角形（非等边） 1 条 圆 无数条 等边三角形 3 条 平行四边形（非矩形） 0 条 易错提醒：① 对称轴是直线，不能说成线段或射线；② 全等的两个图形不一定成轴对称，但成轴对称的两个图形一定全等；③ 平行四边形（不是矩形、菱形时）不是轴对称图形；④ 找对应点时不要只看 “位置差不多”，必须满足 “连线被对称轴垂直平分”。 二、典例精析 例 1　判断下列图形是不是轴对称图形，若是，写出它的对称轴条数： （1）等腰三角形（不是等边三角形）；（2）等边三角形；（3）正方形；（4）圆；（5）平行四边形（不是矩形、菱形）。 解：（1）是，1 条（底边上的高所在直线）； （2）是，3 条（三条边上的高所在直线）； （3）是，4 条（两组对边的垂直平分线和两条对角线所在直线）； （4）是，无数条（任意一条直径所在直线）； （5）不是轴对称图形。 例 2　如图 2，△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称，AB = 6 cm，∠B = 50°，AA′ = 8 cm。 （1）求 A′B′ 的长与 ∠B′ 的度数；（2）求点 A 到直线 l 的距离。 解：（1）因为成轴对称的两个图形全等， 所以 A′B′ = AB = 6 cm，∠B′ = ∠B = 50°。 （2）因为对称轴 l 垂直平分 AA′， 所以点 A 到 l 的距离 = AA′ = × 8 = 4（cm）。 例 3　（网格作图）如图 3，在方格纸中画出 △ABC 关于直线 l 的对称图形 △A′B′C′。 图 3　网格中的 △ABC 与直线 l 分析：只要分别作出 A、B、C 三点关于 l 的对应点，再顺次连结即可。 作法：① 数出点 A 到直线 l 的水平格数，在 l 的另一侧沿同一水平线数出相同的格数，得到点 A′； ② 用同样的方法作出点 B′、C′； ③ 顺次连结 A′、B′、C′，△A′B′C′ 即为所求。 检验：AA′、BB′、CC′ 都与 l 垂直，且都被 l 平分。 例 4　（最短路径）如图 4，点 A、B 在直线 l 的同侧，要在 l 上找一点 P，使 PA + PB 最小。 图 4　最短路径问题 作法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，连结 A′B，A′B 与 l 的交点就是所求的点 P。 理由：因为点 A 与 A′ 关于 l 对称，所以对 l 上的任意一点 Q，都有 QA = QA′。 于是 QA + QB = QA′ + QB。 而在 △A′QB 中（当 Q 不在 A′B 上时），A′Q + QB > A′B（两点之间线段最短）， 只有当点 Q 落在线段 A′B 上时，A′Q + QB 才等于 A′B，取得最小值。 所以点 P 就是 A′B 与 l 的交点，此时 PA + PB 的最小值等于 A′B 的长。 解题思路提炼：轴对称问题抓住一句话——“对称轴垂直平分对应点的连线”。作图靠它，计算靠它，最短路径问题也靠 “把折线拉直” 的转化思想。 三、基础巩固 （〇）课前热身（不计分，直接填空） ① 沿一条直线折叠后直线两旁部分能互相重合的图形叫做＿＿＿＿图形。 ② 对称轴是一条＿＿＿＿（填 “直线”“线段” 或 “射线”）。 ③ 成轴对称的两个图形一定＿＿＿＿（填 “全等” 或 “不全等”）。 ④ 对称轴＿＿＿＿连结两个对应点的线段。 ⑤ 圆有＿＿＿＿条对称轴。 （一）选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A．线段　　　　 B．角　　　　　C．平行四边形　D．等腰三角形 2．下列说法中，正确的是（　　） A．两个全等的图形一定成轴对称 B．成轴对称的两个图形一定全等 C．轴对称图形只有一条对称轴 D．对称轴是一条线段 3．正方形的对称轴共有（　　） A．1 条　　　　 B．2 条　　　　C．3 条　　　　 D．4 条 4．如图 2，△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称，则下列结论中错误的是（　　） A．AA′ ⊥ l　　B．l 平分 AA′　　C．AB = A′B′　　D．AA′ = BB′ 5．等腰三角形（不是等边三角形）的对称轴有（　　） A．1 条　　　　 B．2 条　　　　C．3 条　　　　 D．无数条 6．下列汉字中，是轴对称图形的是（　　） A．中　　　　　B．力　　　　　C．为　　　　　D．汉 7．圆的对称轴有（　　） A．1 条　　　　 B．2 条　　　　C．4 条　　　　 D．无数条 8．如图 4，点 A、B 在直线 l 的同侧，要在 l 上找一点 P，使 PA + PB 最小，正确的作法是（　　） A．连结 AB，交 l 于点 P B．作点 A 关于 l 的对称点 A′，连结 A′B 交 l 于点 P C．作 AB 的垂直平分线交 l 于点 P　　D．过点 A 作 l 的垂线，垂足为 P 9．若两个图形关于某条直线对称，则连结两个对应点的线段（　　） A．互相平行　　B．互相垂直　　C．被对称轴垂直平分　　D．一定相等 10．下列图形中，对称轴条数最多的是（　　） A．等边三角形　B．正方形　　　C．长方形　　　D．圆 （二）填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11．线段有 ＿＿＿ 条对称轴，角有 ＿＿＿ 条对称轴。 12．等边三角形有 ＿＿＿ 条对称轴，长方形有 ＿＿＿ 条对称轴。 13．成轴对称的两个图形的对应线段 ＿＿＿＿，对应角 ＿＿＿＿。 14．对称轴 ＿＿＿＿＿＿ 连结两个对应点的线段。 15．如图 2，若 AB = 5 cm，则 A′B′ = ＿＿＿ cm。 16．如图 2，若 ∠B = 40°，则 ∠B′ = ＿＿＿＿。 17．点 A 与点 A′ 关于直线 l 对称，若点 A 到 l 的距离为 3 cm，则 AA′ = ＿＿＿ cm。 18．在 “0、3、8、6” 这四个数字中，是轴对称图形（按印刷体考虑）的是 ＿＿＿＿＿＿。 四、作图与解答（第 19～24 题，共 30 分） 19．（5 分）如图 3，在方格纸中画出 △ABC 关于直线 l 的对称图形 △A′B′C′，并简要写出作法。 第 19 题图 20．（5 分）如图 2，△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称，AA′ = 10 cm。求点 A 到直线 l 的距离，并说明理由。 第 20、21 题图 21．（5 分）如图 2，已知 △ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称。求证：AB = A′B′，∠A = ∠A′。 22．（5 分）如图 1，请分别指出图中四个图形的对称轴条数，并说明等边三角形的三条对称轴各是什么。 23．（5 分）已知点 P 与点 Q 关于直线 l 对称，且 PQ = 12 cm，直线 l 与 PQ 交于点 H。 （1）判断 PQ 与 l 的位置关系；（2）求 PH 的长。 24．（5 分）判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）两个全等的三角形一定关于某条直线对称； （2）关于某条直线对称的两个三角形一定全等。 五、实际应用（第 25～26 题，共 8 分） 25．（4 分）如图 4，牧马人从点 A 出发，要到笔直的小河 l 边饮马，然后到点 B 处的帐篷休息。 第 25 题图 （1）请在 l 上作出饮马点 P，使所走的路程 PA + PB 最短（保留作图痕迹）； （2）说明这样作图的道理。 26．（4 分）把一张长方形纸片对折两次（两条折痕互相垂直），然后在折叠后的纸上剪去一个小三角形，再把纸展开。 （1）展开后纸上有几个小三角形的洞？ （2）展开后的图形是不是轴对称图形？如果是，有几条对称轴？ 六、易错辨析 下面是小美的五个说法，请判断正误。若有错误，请说明理由。 ① 对称轴是一条线段。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　） ② 两个全等的图形一定成轴对称。　　　　　　　　　　　　　　　（　　） ③ 成轴对称的两个图形一定全等。　　　　　　　　　　　　　　　（　　） ④ 平行四边形是轴对称图形。　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　） ⑤ 轴对称图形的对称轴只有一条。　　　　　　　　　　　　　　　（　　） 七、拓展探究（选做，共 3 小题） 27．对比探究：点 A、B 与直线 l 的位置关系有两种情形。 （1）当 A、B 在 l 的同侧时，如何在 l 上找点 P 使 PA + PB 最小？ （2）当 A、B 在 l 的异侧时，又该如何找？两种情形的做法有什么联系？ 28．在 26 个英文大写字母中，请写出至少 6 个是轴对称图形的字母，并指出其中哪些有两条对称轴。 29．综合应用：如图 2，△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称，点 A、A′ 与 l 的距离都是 3 cm。 （1）求 AA′ 的长； （2）若 △ABC 的周长为 16 cm，面积为 12 cm2，求 △A′B′C′ 的周长与面积； （3）连结 AB′ 与 A′B，它们的交点在什么位置？为什么？ 参考答案与解析 课前热身 ① 轴对称　② 直线　③ 全等　④ 垂直平分　⑤ 无数 一、选择题 答案速查：1．C　2．B　3．D　4．D　5．A　6．A　7．D　8．B　9．C　10．D 1．C　线段有 2 条对称轴，角有 1 条，等腰三角形有 1 条； 而平行四边形（非矩形、菱形）沿任何直线折叠两部分都不能重合，不是轴对称图形。 2．B　A 错：全等的两个图形位置可能是平移或旋转关系，不一定成轴对称； C 错：如正方形有 4 条对称轴，圆有无数条；D 错：对称轴是直线。故选 B。 3．D　正方形的对称轴是两组对边的垂直平分线和两条对角线所在的直线，共 4 条。 4．D　对称轴垂直平分每一对对应点的连线，故 A、B 正确；成轴对称的图形全等，故 C 正确； AA′ 与 BB′ 分别等于点 A、点 B 到 l 距离的 2 倍，两点到 l 的距离一般不等，所以 D 错误。 5．A　只有底边上的高所在直线这一条对称轴。 6．A　“中” 字左右两部分能沿竖直方向的直线折叠重合，是轴对称图形； “力”“为”“汉” 都不是。 7．D　圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 8．B　利用轴对称把同侧的两点转化为异侧，再由 “两点之间线段最短” 得到最短路径。 9．C　这是轴对称最核心的性质。 10．D　等边三角形 3 条，正方形 4 条，长方形 2 条，圆无数条，故圆最多。 二、填空题 11．2；1　线段的对称轴是它的垂直平分线和它本身所在的直线；角的对称轴是它的平分线所在直线。 12．3；2　等边三角形的三条对称轴是三条边的垂直平分线（也是三条高、三条中线所在直线）； 长方形的对称轴是两组对边的垂直平分线，共 2 条（对角线所在直线不是）。 13．相等；相等　成轴对称的两个图形全等。 14．垂直平分 15．5　对应线段相等。 16．40°　对应角相等。 17．6　对称轴垂直平分 AA′，所以 AA′ 是点 A 到 l 距离的 2 倍，即 3 × 2 = 6（cm）。 18．0、3、8　印刷体的 0、8 既左右对称也上下对称，3 上下对称；6 不是轴对称图形。 三、作图与解答 19．作法：① 点 A 在直线 l 左侧 3 格，在 l 右侧同一水平线上数 3 格得点 A′； ② 点 B 在 l 左侧 1 格，在 l 右侧同一水平线上数 1 格得点 B′； ③ 点 C 在 l 左侧 2 格，在 l 右侧同一水平线上数 2 格得点 C′； ④ 顺次连结 A′、B′、C′，得到 △A′B′C′。 检验：AA′、BB′、CC′ 都与 l 垂直，且都被 l 平分。 20．解：因为 △ABC 与 △A′B′C′ 关于 l 对称， 所以 l 垂直平分 AA′（对称轴垂直平分连结两个对应点的线段）。 设垂足为 H，则 AH = AA′ = × 10 = 5（cm）。 即点 A 到直线 l 的距离为 5 cm。 21．证明：因为 △ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称， 所以把 △ABC 沿 l 折叠后能与 △A′B′C′ 完全重合， 所以 △ABC ≌ △A′B′C′（成轴对称的两个图形全等）。 所以 AB = A′B′，∠A = ∠A′（全等三角形的对应边相等、对应角相等）。 22．解：① 等腰三角形 1 条；② 正方形 4 条；③ 圆 无数条；④ 等边三角形 3 条。 等边三角形的三条对称轴分别是三条边的垂直平分线所在的直线， 由于等边三角形 “三线合一”，它们同时也是三条中线、三条高、三条角平分线所在的直线。 23．解：（1）因为点 P 与点 Q 关于 l 对称，所以 l 垂直平分 PQ， 所以 PQ ⊥ l。 （2）因为 l 平分 PQ，H 为垂足，所以 PH = PQ = × 12 = 6（cm）。 24．解：（1）不正确。全等只说明形状、大小相同，两个三角形的位置关系可以是平移、旋转等， 未必存在一条直线使它们折叠后重合。 （2）正确。关于某直线对称意味着折叠后能完全重合，所以一定全等。 四、实际应用 25．（1）作法：① 过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为 H； ② 在垂线上截取 HA′ = AH，且 A′ 与 A 在 l 的两侧，得点 A′； ③ 连结 A′B，交 l 于点 P，点 P 即为所求的饮马点。 （2）理由：因为 A、A′ 关于 l 对称，所以对 l 上任意一点 Q 都有 QA = QA′。 于是 QA + QB = QA′ + QB ≥ A′B（两点之间线段最短）， 当且仅当点 Q 在线段 A′B 上时取等号，即 Q 与 P 重合时路程最短。 此时最短路程 PA + PB = A′B。 26．（1）对折两次后，纸共有 2 × 2 = 4 层，剪去一个小三角形相当于同时剪掉 4 层， 展开后有 4 个小三角形的洞。 （2）是轴对称图形，两条折痕所在的直线都是它的对称轴，共 2 条。 五、易错辨析 ① 错误。对称轴是一条直线，可以向两方无限延伸，画图时要画出头。 ② 错误。全等只保证形状和大小相同，两个图形也可能是平移或旋转得到的，不一定成轴对称。 ③ 正确。折叠后能完全重合，所以一定全等。 ④ 错误。一般的平行四边形不是轴对称图形（它是中心对称图形）。只有当它是矩形、菱形、正方形时才是轴对称图形。 ⑤ 错误。轴对称图形的对称轴可能有多条，如正方形 4 条，圆有无数条。 六、拓展探究 27．（1）同侧时：作点 A（或点 B）关于 l 的对称点 A′，连结 A′B 交 l 于点 P， 此时 PA + PB 最小，最小值为 A′B。 （2）异侧时：直接连结 AB，AB 与 l 的交点就是点 P， 此时 PA + PB 的最小值就是 AB 的长（两点之间线段最短）。 联系：同侧的情形是通过轴对称把其中一点 “翻” 到另一侧，转化成异侧的情形。 这体现了数学中重要的转化思想。 28．是轴对称图形的大写字母有（举例）：A、B、C、D、E、H、I、M、O、T、U、V、W、X、Y。 其中有两条对称轴的是：H、I、O、X（O 若按圆形处理，对称轴更多）。 只有一条竖直对称轴的如 A、M、T、U、V、W、Y；只有一条水平对称轴的如 B、C、D、E。 29．（1）对称轴 l 垂直平分 AA′，点 A、A′ 到 l 的距离都是 3 cm， 所以 AA′ = 3 + 3 = 6（cm）。 （2）成轴对称的两个图形全等，所以 △A′B′C′ 的周长 = 16 cm，面积 = 12 cm2。 （3）交点在对称轴 l 上。 理由：AB′ 与 A′B 是一对对应线段（A 与 A′ 对应，B 与 B′ 对应）， 由轴对称的性质可知，一对对应线段所在直线的交点必在对称轴上。 也可以这样理解：把图形沿 l 折叠，线段 AB′ 与 A′B 互相重合，重合部分只能落在折痕上。 七、学习反思 完成本次作业后，请对照下表进行自我评价（在相应等级后打 “√”）。 评价内容 优秀 良好 待加强 能区分 “轴对称图形” 与 “两个图形成轴对称” 能准确说出常见图形的对称轴条数 理解并会用 “对称轴垂直平分对应点连线” 能在网格中作出图形关于直线的对称图形 能用轴对称解决最短路径等实际问题 　 本次作业中我出错最多的题号是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 出错的主要原因是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的改进措施是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 方法小结：轴对称的一切结论都由 “折叠后重合” 而来。记住三句话：重合就全等、对称轴垂直平分对应点连线、作对称图形先作关键点。最短路径问题的本质，是用轴对称把 “折线” 变成 “直线”。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $