1.6 线段垂直平分线的性质 同步练习 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 本同步练习聚焦线段垂直平分线性质，以基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，通过递进式题型培养几何直观与推理意识，适配新授课知识内化与培优需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|性质直接应用|选择题1-2求三角形周长，直接考查性质应用| |能力提升|性质与三角形内外角结合|填空题10结合全等证明垂直平分线，强化推理| |综合拓展|性质与尺规作图/全等综合|解答题15定理证明与应用，体现数学思维严谨性|

（培优版）浙教版数学八上 1.6 线段垂直平分线的性质 同步练习 一、选择题 1．（2025八上·梓潼期中）如图，在中，，直线m是中AB边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，则周长的最小值为（　　） A．10 B．11 C．13 D．15 2．（2025八上·鄞州期中） 如图，中，，，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则的周长为（　　） A．13 B．14 C．18 D．21 3．（2025八上·杭州月考）如图，已知 用尺规在 BC 上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是(　　) A． B． C． D． 4．如图，直线l 是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A 在直线l的同一侧，连结 BC，交直线l于点 D，点 P是直线 l上的一个点(不与点 D 重合)，连结AP，CP.记BC=m，AP+PC=n，则m与n的大小关系判断正确的是(　　) A．m>n B．m=n C．m<n D．无法比较 5．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （　　） A． B． C． D． 6．（2023八上·龙胜各族期末）如图，点E、F是的边上的两点，线段的垂直平分线交于D，的垂直平分线恰好经过E点，连接、，若，则的度数为（　　） A．α B． C． D． 7．（2023八上·杭州期中）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④－＝2，其中正确的是（　　） A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 8．（2021八上·长沙月考）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（　　） A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④ 二、填空题 9．（2025八上·义乌月考）已知△ABC是三边都不相等的三角形，点P是这个三角形三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边的内部时，且，则　 　，　 　． 10．（2025八上·新昌月考）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为　 　． 11．（2023八上·义乌月考）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为　 　度． 12．（2023八上·安庆月考）如图，在中，，以AC为边，作，满足，点E为BC上一点，连接AE，，连接DE．下列结论中正确的是　 　．（填序号） ①；②；③若，则；④． 三、解答题 13．（2023八上·东莞期中）已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求： （1）到两村的距离相等； （2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？ 14．（2024八上·扶余期末）如图，在中，，于点，交于点，，连接. （1）如图1，当在内部时，求证：； （2）如图2，当的边，分别在外部和内部时，求证：. 15．（2023八上·南昌期中） 课本再现 如图，直线l垂直平分线段AB，，，，…是l上的点，分别量一量点，，，…到点A与点B的距离，你有什么发现？可以发现，点，，，…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等. （1）定理证明 为了证明该性质，珍珍画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程. 已知：如图1，直线，垂足为C，，点P在直线l上，求证：. （2）知识应用 如图2，在中，，DE，FG分别是边AB，AC的垂直平分线，与的交点分别为D，E，F，G，连接AD，AF，求的周长. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：∵直线垂直平分， ∴、关于直线对称， 令直线交于，连接，如图所示： ∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长， ，且的最小值等于， ∴周长的最小值是， 故答案为：B． 【分析】作定点关于动点轨迹的对称点，由于点A关于直线的对称点为点，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论． 2．【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：DE垂直平分AB AE＝BE 故答案为：A . 【分析】线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，则的周长可转化为边BC与AC的和. 3．【答案】B 【知识点】尺规作图-垂直平分线 【解析】【解答】解：根据题意，， 由图可知，， ∴， 故符合要求的作图是作线段的垂直平分线， 由作图痕迹可知，只有B选项符合题意． 故答案为：B . 【分析】根据，结合图形分析可得，只需作线段的垂直平分线，分析选项即可得出结论． 4．【答案】C 【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：如图，连结 BP. 因为直线l是线段 AB 的垂直平分线， 所以 AP = BP， 所以 AP+CP =BP+CP. 因为BP+CP>BC，BC=m，AP+PC =n， 所以n>m，即m<n， 故答案为： C. 【分析】利用线段垂直平分线性质可得AP=BP，进而可得AP+PC=BP+PC，再根据三角形三边关系及P点位置即可确定结论. 5．【答案】A 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上， ∴AM=PM，PN=CN. ∴∠MAP=∠MPA，∠CPN=∠PCN， ∵∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN， ∴∠BMN=2∠MPA∠BNM=2∠CPN 又∵∠APC=114° ∴∠BMN+∠BNM=2(∠MPA+∠CPN)=2(180°-∠APC)=132° ∴∠ABC =180°-(∠BMN+∠BNM)=48°， 故答案为：A. 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到∠MAP=∠MPA，∠CPN=∠PCN，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN，可得∠BMN=2∠MPA，∠BNM=2∠CPN，求出∠BMN+∠BNM=132°，根据三角形内角和定理即可求出答案. 6．【答案】D 【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线交于，的垂直平分线恰好经过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【分析】根据垂直平分线性质可得，咋根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案. 7．【答案】C 【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念 【解析】【解答】解：在EA上取点F，使EF=BE，连接CF，如图： ①∵CE⊥AB，EF=EB， ∴CF=CB， ∴∠CFB=∠B， ∵∠AFC+∠CFB=180°，∠ADC+∠B=180°， ∴∠D=∠AFC， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC=∠FAC， 在△ACD和△ACF中， ∴△ACD≌△ACF ( AAS)， ∴CD=CF， ∴CD=CB，故选项①正确； ②∵△ACD≌△ACF， ∴AD=AF， 又∵EF=BE， ∴AB=AF+EF+BE=AF+2EF. ∴AD+AB=AF+AF+2EF=2AF+2EF=2AE，故选项②正确； ③没有条件可以证明∠ACD=∠BCE，故选项③错误； ④∵， ∴ 又∵△ACD≌△ACF， ∴S△ACD=S△ACF， ∴， 故选项④正确. 其中正确的是①②④. 故答案为：C. 【分析】在EA上取点EF=BE，连接CF，根据垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质可证CD= CB，可得①正确；根据线段间的和差关系可证得AD+AB=2AE，可得②正确，无法得到∠ACD=∠BCE，于是③错误；根据全等三角形面积相等，可证得 －＝2， 故④正确. 8．【答案】C 【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得： ， ∴ ，故①正确； 延长GD与AC相交于点P， ∵DE⊥CF， ∴∠CDG＝∠CDP＝90°， ∵CF平分∠GCP， ∴∠GCD＝∠PCD， 在△GCD和△PCD中， ， ∴△GCD≌△PCD（ASA）， ∴CG＝CP， ∵∠ADC＝45°， ∴∠ADP＝∠ADF， 在△AFD和△APD中， ， ∴△AFD≌△APD（ASA）， ∴AF＝AP， ∴AF﹣CG＝CA，故②正确； 同理△ACD≌△AED（ASA）， ∴CD＝DE，故③正确； 在DF上截取DM＝CD，则DE是CM的垂直平分线， ∴CE＝EM， ∵∠ECG＝∠GCD﹣45°，∠MEF＝∠DEF﹣45°， ∴∠ECG＝∠FEM， ∵EF＝CP，CP＝CG， ∴EF＝CG， 在△EMF和△CEG中， ， ∴ （SAS）， ∴FM＝GE， ∴CF＝2CD+EG，故④正确； 故答案为：C. 【分析】设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得∠ADC=45°，据此判断①；延长GD与AC相交于点P，根据角平分线的概念可得∠GCD＝∠PCD，证明△GCD≌△PCD，得到CG＝CP，进而证明△AFD≌△APD，得到AF＝AP，据此判断②；同理△ACD≌△AED，据此判断③；在DF上截取DM=CD，则DE是CM的垂直平分线，CE＝EM，易得∠ECG＝∠FEM，证明△EMF≌△CEG，得到FM＝GE，据此判断④. 9．【答案】； 【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：连接，如图所示， 点是三个内角平分线的交点， ． 在中，， ∵， ∴． ． 在中，， 点是这个三角形三边垂直平分线的交点， ， ，，， ，， ， 故答案为：，． 【分析】先根据角平分线的定义和三角形的内角和为180°求得∠A，再利用线段垂直平分线的性质得到OA=OB=OC，进而计算即可. 10．【答案】7 【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠F =∠CDE， ∠FBE=∠C， ∵点E为BC的中点， ∴BE=CE， 在△FBE和△DCE中， ∴△FBE≌△DCE(AAS)， ∴EF=ED， BD=CD， ∵AE⊥DE， ∴ AE是线段FD的垂直平分线， ∴AF=AD， ∴AB= AF-BF= AD-CD， ∵AD=12， CD=5， ∴AB=7. 故答案为：7. 【分析】证明△FBE和△DCE全等得EF= ED， BD=CD， 根据AE⊥DE得AE是线段FD的垂直平分线， 则AF=AD， 进而得AB=AF-BF=AD-CD， 然后根据AD=12， CD=5即可得出AB的长. 11．【答案】65 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：连接OB，OC， OD垂直平分AB， AO=BO， ∠OAB=∠OBA. AB=AC，∠BAC=50°， ∠ABC=∠ACB=65°. OA平分∠BAC， ∠BAO=∠CAO=∠BAC=25°， ∠OBA=25°， ∠OBC=40°. 在△ABO和△ACO中AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO=AO， △ABO≌△ACO（SAS）， BO=CO， ∠OBC=∠OCB=40°. △EOF与△ECF关于EF对称， OF=CF，∠OFE=∠CFE=∠OFC， ∠FCO=∠FOC=25°， ∴∠OFC=130°， ∴∠CFE=65°. 故答案为：65. 【分析】本题考查了三角形的折叠问题，在解题过程中我们先连接OB、OC，然后根据垂直平分线的性质和已知条件来进行解题，求得一部分角和边得关系去证全等，再用全等得到BO=CO，最后利用对称关系和三角形内角和知识来求解。 12．【答案】②③④ 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：延长至，使，设与交于点，如图所示： ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， （SAS）， ，，②正确； ， ， 平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明，①不正确； 设，则， ， ， ， ， ， ，③正确； ， ， ， ， ， ，④正确， 故答案为：②③④ 【分析】延长至，使，设与交于点，先根据垂直平分线的性质得到，，进而结合题意得到，再运用三角形全等的判定与性质证明（SAS）即可得到，，从而即可判断②；先根据等腰三角形的性质得到，进而结合题意即可判断①；设，则，根据三角形内角和定理即可得到，进而运用平行线的性质得到，再结合题意即可判断③；运用三角形全等的性质得到，进而结合题意运用边的转化即可判断④。 13．【答案】解：①以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交直线a、b于点A、B； ②分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画圆，两圆相交于点C，作射线OC； ③连接ED，分别以E、D为圆心，以大于ED为半径画圆，两圆相交于F、G两点，画直线FG； ④FG与OC相交于点H， 则H即为工厂的位置． 【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线 【解析】【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质 先作出两条公路相交的角平分线OC，再连接ED，分别以E、D为圆心，以大于ED为半径画圆，两圆相交于F、G两点，画直线FG，据此可作出ED的垂直平分线FG，再找出FG与OC相交于点H，据此可得OC与FG的交点H即为工厂的位置． 14．【答案】（1）证明：如图，在上截取，连接. ∵， ∴，. 又∵， ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. 在和中， ∴. ∴. ∴. （2）证明：如图，在的延长线上截取，连接. ∵， ∴，. 又∵， ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. 在和中， ∴. ∴. ∵， ∴. 【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算 【解析】【分析】（1） 从问题入手，三条线段不在一个三角形或一条边上，想办法等量代换，如果在EF找到一点将EF的分成两段，与等号另一边两线段分别相等就可以证得结论了，结合已知的等边等角条件，故想到在EF上找到一点H，令EH=BH，连接AF作辅助线；接下来需要证明FH=FC，要证明两线段相等，通常可先尝试证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路即可； （2）基本思路同（1），观察需要证明的等式，作辅助线找到线段BE的2倍，故想到在FE的延长线上找到一点N，令EN=BE，连接AN，则需要证明CF=NF，同样要证明两线段相等，先证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路写出证明过程。 15．【答案】（1）证明：∵直线， ∴. 又∵，， ∴， ∴. （2）解：∵DE，FG分别是边AB，AC的垂直平分线， ∴，， ∴的周长. 【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质 【解析】【分析】（1）由l⊥AB，可得∠ACP=∠BCP，在由已知AC=BC，图中公共边PC=PC，即可证明PA=PB。 （2）由垂直平分线的性质可得AD=BD，AF=CF，即△ADF的周长=BC的长。 学科网（北京）股份有限公司 $