1.5 第3课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

第1章三角形 第3课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.如图，点B,E,C,F在同一条直线上，AB∥DE,且AB=DE,下列条件中，添加一个，不能使 △ABC≌△DEF的是 () A.BE=CF B.∠ACB=∠F C.AC=DF D.∠A=∠D BE C B C (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，∠BAD=∠CAE,AB=AD,∠B=∠D,则下列结论中，正确的是 () A.AC-DE B.∠ABC=∠DAEC.∠BAC=∠ADED.BC=DE 3.[2025金华期中]如图，点A,C,B,D在同一条直线上，BE∥DF,∠A=∠F,AB=FD.若 ∠FCD=30°，∠A=80°，则∠DBE的度数为 4.舒精境生话实际[2025黄冈段考]如图，小虎用10块高度都是7cm的相同长方体小木块，垒了 两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一块等腰直角三角尺(AC=BC,∠ACB=90), 点C在地面DE上，点A和B分别与两堵木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离DE (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H.若EH=EB=3, S△4EH=6,则CH的长是 () B.1 c D.2 (第5题) (第6题) 6.如图，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点D在边BC上，且CD=2BD,点E,F在线段AD上 且满足∠BED=∠CFD=∠BAC.若S△AC=27,则S AABE十S△CDr的值为 19 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 7.★考向探究题如图，P是△ABC的边BC上的一个动点，过点A作EFBC,过点P分别作 PM∥AB,PN∥AC,PM,PN分别交EF于M,N两点.当BP=2PC时，请用等式表示线段 AM与AN之间的等量关系，并说明理由. ME B (第7题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 8.转化5化归思想☐已知AM∥BN,AE平分∠BAM,BE平分∠ABN (1)如图①，求∠AEB的度数. (2)如图②，过点E的直线交射线AM于点C,交射线BN于点D,求证：AC十BD=AB. (3)如图③，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C,交射线BN于点D,AB=5,AC 3,S△ABE一S△ACE=2,求△BDE的面积. M D @ ③ (第8题) 20 >“答案与解析”见PI0∠EAF,∠AFB=∠BFC+∠AFE,∠AFB=∠AEC,所 以∠BFC=∠EAF.故③正确.由题中条件无法确定AB与 BC是否相等.故④错误.综上所述，正确结论的个数为3. 6.55°因为∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC= 180°，所以∠ADG=∠B.在△ADG和△ABE中，因为 GD-EB, ∠ADG=∠B,所以△ADG≌△ABE(SAS).所以AG= AD-AB. AE.因为EF=BE+FD,DG=BE,所以EF=DG十 AG-AE, FD=GF.在△AFG和△AFE中，因为3AF=AF,所以 GF=EF, △AFG≌△AFE(SSS).所以∠FAG=∠FAE=55°. 7.ME的长度就是凉亭M与F之间的直线距离，因此测 出ME的长度即可.理由：连结ME,MF.因为ABCD, 所以∠B=∠C.因为M是BC的中点，所以BM=CM.在 (BE=CF. △BME和△CMF中，因为∠B=∠C,所以△BME≌ BM=CM, △CMF(SAS).所以ME=MF.所以ME的长度就是凉亭 M与F之间的直线距离. 8.AG=AF,且AG LAF.理由：因为BD,CE都是△ABC 的高线，所以∠ACG+∠BAC=∠FBA十∠BAC=180° 90°=90°.所以∠ACG=∠FBA.在△ACG和△FBA中， (AC=FB, 因为∠ACG=∠FBA,所以△ACG≌△FBA(SAS).所以 CG-BA, AG=FA,∠G=∠BAF.因为CG⊥AB,所以∠G+ ∠GAE=90°.所以∠BAF+∠GAE=90°，即∠GAF= 90°.所以AG⊥AF. 方法归纳 证明两条直线互相垂直 证明两条直线互相垂直是常见的题型，解决这类问 题的一般方法是证明这两条直线的夹角为90°，即说明 组成这个夹角的两个角的和是90°或这个夹角所在的三 角形的另外两个角的和是90°即可， 9.B连结DG.因为BE=2DE,所以5E=号BD.因为 BF=FG=GA,所以BG=号AB.因为AB=AC,BD AC,所以AB=BD.所以BE=BG.在△ABE和△DBG (BE=BG, 中，因为∠B=∠B,所以△ABE2△DBG(SAS).所以 AB=DB, AE=DG.所以AE十CD=DG十CD.因为D为动点，当点 D不在线段CG上时，DG十CD>CG;当点D在线段CG 上时，DG+CD=CG,所以DG+CD≥CG,即AE+CD≥ CG.所以AE+CD的最小值为线段CG的长， 10.6如图，延长AM至点N,使NM=AM,连结BN.因 为M为BC的中点，所以CM=BM.在△AMC和△NMB AM=NM, 中，因为∠AMC=∠NMB,所以△AMC≌△NMB(SAS). CM=BM, 所以AC=NB,∠C=∠NBM.又因为AD=AC,所以 AD=NB.因为AB⊥AE,AD⊥AC,所以∠EAB= ∠DAC=90°.所以∠EAD+∠BAC=180°.所以∠ABN= ∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC= AE-BA, ∠EAD.在△EAD和△ABN中，因为∠EAD=∠ABN, AD-BN, 所以△EAD≌△ABN(SAS).所以DE=NA=2AM=6. M N (第10题) 方法归纳 运用“倍长中线”解决与中线有关的问题 如果图中给出的已知条件中线段或角的位置相对 比较分散，而三角形又给出了中线，那么可以将这条中 线延长一倍，构造全等三角形，使得分散的条件在图形 中能够相对集中，再运用其中的线段、角之间隐含的数 量关系解决问题」 第3课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 1.C因为AB∥DE,所以∠ABC=∠DEF.若添加BE= CF,则可得BE+EC=EC+CF,即BC=EF.在△ABC (BC=EF, 和△DEF中，因为了∠ABC=∠DEF,所以△ABC≌ AB-DE. △DEF(SAS).故A不符合题意.若添加∠ACB=∠F,则在 ∠ABC=∠DEF, △ABC和△DEF中，因为∠ACB=∠F,所以△ABC≌ AB=DE, △DEF(AAS).故B不符合题意.若添加AC=DF,则不能 使△ABC≌△DEF.故C符合题意.若添加∠A=∠D,则在 ∠ABC=∠DEF, △ABC和△DEF中，因AB=DE, 所以△ABC≌ ∠A=∠D, △DEF(ASA).故D不符合题意： 2.D因为∠BAD=∠CAE,所以∠BAD-∠CAD= ∠CAE-∠CAD,即∠BAC=∠DAE.故BC错误在△ABC f∠BAC=∠DAE, 和△ADE中，因为AB=AD, 所以△ABC≌ ∠B=∠D, △ADE(ASA).所以AC=AE,BC=DE.故A错误，D正确. 3.110因为BE∥DF,所以∠ABE=∠D.在△ABE和 ∠A=∠F, △FDC中，因为AB=FD,所以△ABE≌△FDC(ASA) ∠ABE=∠D, 所以∠E=∠FCD=30°.所以∠DBE=∠E十∠A=30°+ 80°=110° 4.因为∠ACB=90°，所以∠ACD+∠BCE=90°.由题意， 可知AD⊥DC,BE⊥CE,所以∠ADC=∠CEB=90°.所 以∠BCE+∠CBE=180°-∠CEB=90°.所以∠ACD= ∠ADC=∠CEB, ∠CBE.在△ADC和△CEB中，因为∠ACD=∠CBE, AC=CB, 所以△ADC≌△CEB(AAS.所以AD=CE,CD=BE.因 为每块长方体小木块的高度都为7cm,所以AD=3×7= 21(cm),BE=7×7=49(cm).所以CE=AD=21cm, CD=BE=49cm.所以DE=CE+CD=21+49 70(cm).所以两堵木墙之间的距离DE为70cm. 5.B因为CE⊥AB,所以∠HEA=∠BEC=90°，S△ABH 号AE·EH.圆为EH=3Sam=6,所以号AB·9=6 所以AE=4.因为AD⊥BC,所以∠ADC=90°=∠AEH 所以∠EAH+∠B=90°，∠ECB+∠B=90°.所以 ∠EAH=∠ECB.在△AEH和△CEB中，因为 ∠EAH=∠ECB, ∠HEA=∠BEC,所以△AEH≌△CEB(AAS).所以 EH=EB, AE=CE=4.所以CH=CE-EH=4-3=1. 6.18因为∠BED=∠BAE+∠ABE,∠BAC= ∠BAE+∠CAF,∠BED=∠BAC,所以∠ABE= ∠CAF.又因为∠CFD=∠ACF+∠CAF,∠CFD= ∠BAC,所以∠BAE=∠ACF.在△ABE和△CAF中，因 ∠ABE=∠CAF, 为AB=CA, 所以△ABE≌△CAF(ASA).所以 ∠BAE=∠ACF, S△ABE=SACAF.所以S△ABE+S△cpF=S△CAr+S△cpr Sm,因为CD=2BD,所以CD=号C,所以S= ae.因为5e=27,所以5m=号X27=18,即 2 SAA+S△cpr=18. 7.AM=2AN.理由：连结PA.因为PNAC,EF∥BC, 所以∠CAP=∠NPA,∠CPA=∠NAP.在△APC和 ∠CPA=∠NAP, △PAN中，因为PA=AP, 所以△APC≌△PAN ∠CAP=∠NPA, (ASA).所以PC=AN.同理，可得△APB≌△PAM,所以 BP=MA.因为BP=2PC,所以AM=2AN. 方法归纳 证明角或线段相等的方法 (1)观察要证明的线段或角（或通过等量代换得到 的线段或角)在哪两个可能全等的三角形中，当待证角 或线段不在这两个全等三角形中时，常常添加辅助线构 造全等三角形.(2)分析需要证明全等的两个三角形，确 定已知条件（包含图形中的隐含条件）是什么，还缺什么 条件.(3)设法证明所缺条件.(4)写出证明过程. 8.(1)因为AMBN,所以∠BAM+∠ABN=180°.因为 AE平分∠BAM,BE平分∠ABN,所以∠BAE= ∠MAE=∠BAM,∠ABE=∠NBE=∠ABN.所以 1 ∠BAE+∠ABE=2（∠BAM+∠ABN)=9O.所以 ∠AEB=90°.(2)如图①，在AB上截取AF=AC,连结 AC=AF, EF.在△ACE和△AFE中，因为∠CAE=∠FAE,所以 AE=AE, △ACE≌△AFE(SAS).所以∠AEC=∠AEF.因为 ∠AEB=90°，所以∠AEF+∠BEF=∠AEC十∠BED= 9O°.所以∠FEB=∠DEB.在△BFE和△BDE中，因为 ∠FBE=∠DBE, KBE=BE, 所以△BFE≌△BDE(ASA.所以 ∠FEB=∠DEB, BF=BD.因为AF+BF=AB,所以AC+BD=AB. (3)如图②，延长AE交BD于点G.因为∠AEB=90°，所 以BE⊥AG,∠GEB=90°.又因为BE平分∠ABN,所以 ∠ABE=∠GBE.在△ABE和△GBE中，因为 [∠AEB=∠GEB, BE=BE, 所以△ABE≌△GBE(ASA).所以 ∠ABE=∠GBE AB=GB=5,AE=GE.因为AM∥BN,所以∠C= ∠C=∠EDG, ∠EDG.在△ACE和△GDE中，因为3∠AEC=∠GED, AE=GE, 所以△ACE≌△GDE(AAS).所以AC=GD=3.所以 GB:GD=5:3.设S△G=S△AE=5x,则S△D= S△AcE=3x.因为S△ABE-S△ACR=2,所以5x-3x=2.所 以x=1.所以SAmE=S△x十S△D=8=8. M M 0 G DN ① ② (第8题) 专题特训三全等三角形中的五种常见模型 1.D因为AD=CF,所以AD十CD=CF+CD,即AC= DF.又AB=DE,添加AC=DF,不能判定△ABC≌ △DEF,故A不符合题意.添加∠B=∠E,不能判定 △ABC≌△DEF,故B不符合题意.添加∠ACB= ∠DFE,不能判定△ABC2△DEF,故C不符合题意.添 加∠A=∠FDE,根据“SAS”可判定△ABC≌△DEF,故 D符合题意. 2.①②③④⑤⑥在△ABP和△ACP中，因为AB= AC,PB=PC,AP=AP,所以△ABP≌△ACP(SSS).所 以∠BAP=∠CAP,即∠BAE=∠CAE.又因为AB= AC,AE=AE,所以△ABE≌△ACE(SAS).易证 △PBE≌△PCE,△PBD≌△PCD,△ABD≌△ACD, △EBD≌△ECD,可得BE=CE,∠ADB=∠ADC=90°， ∠BEA=∠CEA,∠PBC=∠PCB,所以AD⊥BC,EA平 分∠BEC.所以S▣边ABre=SAA十S△E=2BC·AD十 2BC·ED=BC.(AD+ED)=2BC·AE.综上所 述，正确的结论是①②③④⑤⑥ 3.(1)BD=CE,BD⊥CE.如图①，延长BD交CE于 AE-AD. 点F.在△EAC和△DAB中，因为∠EAC=∠DAB,所 AC=AB. 以△EAC≌△DAB(SAS).所以CE=BD,∠ACE= ∠ABD.因为∠AEC+∠ACE=180°-90°=90°，所以 ∠ABD+∠AEC=90°.所以∠BFE=180°-90°=90°，即 EC⊥BD.(2)成立.理由：如图②，延长BD交CE于 点G.因为∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠EAC=90°， 所以∠BAD=∠EAC.在△EAC和△DAB中，因为 AE=AD, ∠EAC=∠DAB,所以△EAC≌△DAB(SAS).所以 AC=AB, CE=BD,∠ACE=∠ABD.因为∠ABC+∠ACB= 180°-90°=90°，所以∠CBG+∠BCG=∠ABC ∠ABD+∠ACB+∠ACE=90°.所以∠BGC=90°，即 EC⊥BD.所以(1)中的结论仍成立. ① ② (第3题) 4.(1)当∠a+∠BCA=180°时，EF=BE-AF.理由： 因为∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠a, ∠BCA=180°-∠a,所以∠CBE+∠BCE=∠BCA.因为 ∠ACF+∠BCE=∠BCA,所以∠CBE=∠ACF.在 f∠CBE=∠ACF, △BCE和△CAF中，因为∠BEC=∠CFA,所以△BCE≌ CB=AC, △CAF(AAS).所以BE=CF,CE=AF.所以EF=CF- CE=BE-AF.(2)EF=BE+AF.理由：因为 ∠BEC=∠CFA=∠BCA,∠BEC+∠BCE+∠EBC= 180°，∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，所以∠EBC= ∠CBE=∠ACF, ∠ACF.在△BEC和△CFA中，因为∠BEC=∠CFA, CB=AC, 所以△BEC≌△CFA(AAS).所以BE=CF,CE=AF.所 以EF=CE十CF=AF+BE. 5.如图，延长AB至点E,使得BE=DN,连结CE.因为 ∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBE=180°，所以∠CBE= CB=CD, ∠D.在△CBE和△CDN中，因为∠CBE=∠D,所以 BE=DN, △CBE≌△CDN(SAS).所以CE=CN,∠BCE= ∠DCN.因为∠BCD=150°，∠MCN=75°，所以∠MCE= ∠MCB+∠BCE=∠MCB+∠DCN=∠BCD- ∠MCN=150°-75°=75°.所以∠MCE=∠MCN.在 MC-MC, △ECM和△NCM中，因为 ∠MCE=∠MCN,所以 CE=CN. △ECM≌△NCM(SAS).所以ME=MN=BM+BE= BM+DN.所以MN一BM=DN. M B D E (第5题)》