1.3 证明-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 1.3证明 第1课时证明及表述格式 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基山 1.如图，下列推理中，正确的是 () A.因为∠1=∠4，所以BC∥AD B.因为ABCD,所以∠2=∠3 C.因为∠C+∠ADC=180°，所以AD∥BCD.因为BC∥AD,所以∠CBA+∠C=180 E G 1 N (第1题) (第2题) 2.如图，直线AB,CD与直线MN分别交于点F,G,EF⊥MN,且∠1=140°.当∠2的度数为 时，可证明ABCD, 3.如图，DE∥BC,BD平分∠ABC,EF平分∠AED.求证：∠EFD+∠BDF=180°（写出证明过 程，并给出证明依据). B (第3题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.考向代数推理题已知a,b,c是不完全相等的任意实数，若x=a一2b十c,y=a十b一2c,之= 一2a十b十c,则关于x,y,之的值，下列说法中正确的是 () A.都大于0 B.至少有一个大于0C.都小于0 D.至多有一个大于0 5.考向1探究题如图，ABDE, (1)猜测∠A,∠ACD,∠D之间的数量关系，并证明你的结论. (2)若将点C向右移动到点A,D所在直线的右侧，此时∠A,∠ACD,∠D之间的数量关系满 足(1)中的结论吗？若满足，请加以证明；若不满足，请你写出正确的结论并加以证明（画出相应 的图形) A E (第5题) 8 >“答案与解析”见P5 第1章三角形 第2课时几何命题的证明与三角形的外角 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.将一副直角三角尺按如图所示的方式放置，点M在边ST上，SLKN,则∠TMN的度数为() A.45 B.60° C.75° D.105° R不B D (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，AD是∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAE=60°，则∠ACD的度数为 A.259 B.60 C.85 D.95 3.如图，一条直线分别交△ABC的边及边的延长线于点D,E,F,∠A=20°，∠CED=100°， ∠ADF=35°，则∠B的度数为 4.如图，∠ABC=125°，∠CDE=105°，∠BCD=50°.求证：ABDE. (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.舒境生活实际如图①所示为起重机的示意图，图②是它的简易图.起重机在工作时，起吊物体 前，机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC=120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线.物体被吊起 后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD=2∠ABD, ∠BDC增大了10°，则∠DCE的变化情况为 () A.增大10 B.减小10° C.增大30° D.减小30 支撑臂 5机械臂 操作台 ① ② B (第5题) (第6题) 6.如图，在△ABC中，E,F分别是AC,BC上一点，EF∥AB,∠BCA的平分线交AB于点D, ∠MAC是△ABC的外角.若∠MAC=a,∠EFC=B,∠ADC=Y,则a,3,Y之间的数量关系是 () A.B=a+Y B.B=2Y-a C.B=a+2Y D.B=2a-2Y 9 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 7.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC,AD⊥BC,交CB的延长线于点D,∠ABD 的平分线BF所在直线与射线AE相交于点G.若∠ABC=2∠C,且∠G=25°，则 ∠DFB的度数是 B 8.*在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC. (第7题) (1)如图①，作∠BAC的平分线AD,分别交BC,BE于D,F两点.求证：∠EFD=∠ADC. (2)如图②，作△ABC的外角∠BAG的平分线AD,交CB的延长线于点D,延长DA交BE的 延长线于点F,此时(1)中的结论仍成立吗？为什么？ (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.新向探究题如图，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于点F,延长BC至点G, CE平分∠DCG,且EC,DB的延长线交于点A. (1)求证：∠DFE=∠A+∠D+∠E. (2)若∠A=34°，∠DFE=64°，求∠E的度数. (3)在(2)的条件下，若在图中作∠CBE与∠GCE的平分线交于点E1,作∠CBE1与∠GCE1的 平分线交于点E2,作∠CBE2与∠GCE2的平分线交于点E3…以此类推，∠CBE,m与∠GCE 的平分线交于点Em+1(n为正整数)，请用含n的式子表示∠E+1的度数（直接写答案）， (第9题) 10 “答案与解析”见P59（①因为03的=8-5=3-25=-2：@号女日 (传)-日=号-日=-：®(-3)☆(-40 (-3)2一（一4）=9+4=13：④(-0.3)☆(-0.1)= -0.3-(-0.1)2=一0.3一0.01=-0.31；⑤(-8)☆ (一8)=一8-（一8）2=一8-64=一72，所以算式①④⑤的 运算法则一样，都是前面的数不大于后面的数，算式②③ 的运算法则一样，都是前面的数大于后面的数.所以可以 得出当a≤b时，a☆b=a-b2,当a>b时，a☆b=a2-b. {a-b2(ab), 所以这个新运算为a☆b= (2)因为a a2-b(a>b). 1<a<a+1,所以(a+1)☆a-(a-1)☆a=(a+1)2 a-[(a-1)-a2]=a2+2a+1-a-a+1+a2=2a2+2. 10.(1)①②③均正确.理由：因为BE平分∠ABD,DE 平分∠BDC,所以∠2=∠ABE,∠1=∠CDE.又因为 ∠1+∠2=90°，所以∠1+∠CDE+∠2+∠ABE= 2(∠1+∠2)=180°，即∠CDB+∠ABD=180°.所以AB∥ CD.所以①正确.因为ABCD,所以∠ABD=∠CDF.因 为BE平分∠ABD,DG平分∠CDF,所以∠2=2∠ABD, ∠GDF=号∠CDF.所以∠2=∠GDE.所以BE/DG.所 以②正确.因为∠2=∠GDF,∠1十∠2=90°，所以∠1十 ∠GDF=90°.所以∠EDG=180°-（∠1+∠GDF)=90°」 所以ED⊥DG.所以③正确.综上所述，①②③均正确. (2)答案不唯一，如“如果两个角组成一个平角，那么它们 的平分线互相垂直” 1.3证明 第1课时证明及表述格式 1.C因为∠1=∠4，所以ABCD.故A错误.因为AB∥ CD,所以∠1=∠4.故B错误.因为∠C+∠ADC=180°， 所以AD∥BC.故C正确.因为BC∥AD,所以∠CBA十 ∠A=180°.故D错误」 2.50°因为EF⊥MN,∠2=50°，所以∠BFN=90°- 50°=40°.所以∠AFN=180°-∠BFN=140°.所以 ∠AFN=∠1.所以ABCD(同位角相等，两直线平行). 3.因为DE∥BC(已知)，以∠ABC=∠AED(两直线平 行，同位角相等).因为BD平分∠ABC,EF平分∠AED (已知)，所以∠1=7∠ABC,∠2=∠AED(角平分线 的定义).所以∠1=∠2（等量代换）.所以EFBD(同位角 相等，两直线平行).所以∠EFD十∠BDF=180°（两直线 平行，同旁内角互补) 4.B因为x+y+=(a-2b+c)+(a+b-2c)+ (一2a十b十c)=0,所以xy,之不能都大于0，也不能都小 于0.故A和C错误.又因为a,b,c是不完全相等的任意 实数，所以x,y,之不能同时为0.所以x,y,之中至少有一 个大于0，也可以有两个大于0.故D错误，B正确 5.(1)∠A+∠ACD+∠D=360°.如图①，过点C作 CF∥AB,则易得CF∥DE.因为CF∥AB,所以∠A+ ∠ACF=180°.因为CF∥DE,所以∠D+∠DCF=180°. 所以∠A+∠ACF+∠D+∠DCF=360°.因为∠ACD= ∠ACF+∠DCF,所以∠A+∠ACD+∠D=360. (2)不满足.正确的结论为∠ACD=∠A十∠D.如图 ②，过点C作CGAB,则易得CGDE.因为CG∥AB,所 以∠A=∠ACG.因为CG∥DE,所以∠D=∠DCG.因为 ∠ACD=∠ACG+∠DCG,所以∠ACD=∠A+∠D. B (第5题) 第2课时几何命题的证明与三角形的外角 1.C记SL与MN交于点O.由题意，得∠N=45°， ∠S=30°.因为SL∥KN,所以∠MOS=∠N=45°.所以 ∠TMN=∠MOS+∠S=75. 2.D因为AD是∠CAE的平分线，所以∠EAC= 2∠DAE=120°.所以∠ACB=∠EAC-∠B=85°.所以 ∠ACD=180°-85°=95°. 3.259 思路导引 ∠CED=100°，∠D=35° 三角形的 ∠BCD=45% 内角和 ∠A=20°，∠BCD是△ABC的外角 ∠B=∠BCD-∠A=259 因为∠CED=100°，∠ADF=35°，所以∠BCD=180° ∠CED-∠ADF=180°-100°-35°=45°.因为∠BCD是 △ABC的外角，所以∠B=∠BCD-∠A=45-20°=25°. 4.延长ED交BC于点F.因为∠CDE=1O5°，所以∠CDF= 180°-∠CDE=180°-105°=75°.因为∠BCD=50°，所以 ∠BFD=∠BCD+∠CDF=50°+75°=125°.又因为 ∠ABC=-125°，所以∠ABC=∠BFD.所以AB∥DE. 5.C由题意，设起吊物体前∠BDC=x.因为∠ABC= 120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线，所以∠CBD= ∠ABD=∠ABC=60.所以∠DCE=∠CBD十 ∠BDC=60°+x.物体被吊起后，因为机械臂AB的位置 不变，∠CBD=2∠ABD,∠CBD+∠ABD=120°，所以 ∠CBD=2∠ABD=80°.因为∠BDC增大了10°，所以 ∠BDC=x+10°.所以∠DCE=∠CBD+∠BDC=80°+ x+10°=90°+x.因为(90°+x)-(60°+x)=30°，所以 ∠DCE的变化情况为增大30. 6.B因为EF∥AB,∠EFC=B,所以∠B=∠EFC=B. 因为CD平分∠BCA,所以∠ACB=2∠BCD.因为 ∠ADC是△BDC的外角，所以∠ADC=∠B十∠BCD.因 为∠ADC=Y,所以∠BCD=Y-B.因为∠MAC是△ABC 的外角，所以∠MAC=∠B+∠ACB.因为∠MAC=a,所 以a=B+2(y-B),即B=2y-a 7.50°设∠CAE=a.因为AE平分∠BAC,所以∠BAE= ∠CAE=a,∠BAC=2∠CAE=2a.因为∠ABD是 △ABC的外角，所以∠ABD=∠BAC+∠C=2a+∠C. 因为F平分∠ABD.所以∠ABF=∠DBF=2∠ABD e+7∠C.因为∠ABF是△ABG的外角，∠G=25,所以 ∠ABF=∠BAE+∠G=a+25.所以a+2∠C=a十 25°，解得∠C=50°.所以∠ABC=2∠C=100°，∠ABD= 180°-∠ABC=80,∠DBF=号∠ABD=40.因为ADL BC于点D,所以∠D=90°.所以∠DFB=180°-90° ∠DBF=90°-40°=50° 8.(1)因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠DAC.因为 ∠EFD=∠DAC+∠AEB,∠ADC=∠ABC+∠BAD, ∠AEB=∠ABC,所以∠EFD=∠ADC.(2)(1)中的结 论仍成立.因为AD平分∠BAG,所以∠BAD=∠GAD. 因为∠FAE=∠GAD,所以∠FAE=∠BAD.因为 ∠EFD=∠AEB-∠FAE,∠ADC=∠ABC-∠BAD, ∠AEB=∠ABC,所以∠EFD=∠ADC,即(1)中的结论 仍成立 方法归纳 运用转化思想求角度间数量关系的一般方法 解答这类求角度间数量关系的问题时，常常运用转 化的数学思想将某个角转化为某个三角形的内角或外 角，从而使未知条件转化为已知条件，并运用三角形的 内角和定理及其推论解决问题 9.思路导引 (1)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 内角的和，得出∠DCE=∠A+∠D,∠DFE= ∠DCE十∠E,再利用等量代换可得结论 (2)根据角平分线及三角形外角的性质，可得出 ∠D=2∠E,再利用(1)中结论∠DFE=∠A+ ∠D十∠E,将已知条件代入，即可求出∠E的度数. (3)先根据角平分线及三角形外角的性质，得出 1 1 ∠E=2∠E,同理，可得∠E,=2∠E1,由此即 可得出规律。 (1)因为∠DCE=∠A+∠D,∠DFE=∠DCE+∠E,所 以∠DFE=∠A+∠D+∠E.(2)因为∠DCG=∠D+ ∠DBC,CE平分∠DCG,所以∠R0G=号∠G (∠D+∠DBC).因为BE平分∠DBC,所以∠EBC= 号∠DC因为∠G=∠E+∠PC=∠E+号∠D. 所以∠E+?∠DBC=(∠D+∠DBC).所以∠E= ∠D.即∠D=2∠E.因为∠DFE=64,∠A=3, ∠DFE=∠A十∠D+∠E,所以∠D十∠E=∠DFE- ∠A=30°.所以2∠E+∠E=30°，解得∠E=10°： (③)∠E1=2克·10.如图，因为∠0G=∠E+ ∠EBC.CE,平分∠B0G,所以∠E,CG=3∠PCG= 合（∠E+∠EC.因为E,平分∠EBC,所以∠E,= 3∠EBC.因为∠E,CG=∠E,十∠E,BC=∠E,+ 是∠EBC,所以∠E,+号∠EBC=(∠E+∠EBC).所 以∠E,=2∠E.同理，可得∠E=2∠E,所以∠E:= 寻∠E-2∠E.所以∠E1-2点∠E.因为∠E=10, 1 所以∠Em+1 2m+·10°. A E (第9题)