1.1 第2课时 三角形的角平分线、中线和高线&专题特训一 三角形中线、高线的应用-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

为4十6<13，所以不能构成三角形.④当三条线段的长为 4cm,8cm,10cm时，因为4十8>10，所以能构成三角形， 周长为4+8十10=22(cm).⑤当三条线段的长为4cm, 8cm,13cm时，因为4+8<13，所以不能构成三角形， ⑥当三条线段的长为4cm,10cm,13cm时，因为4+10> 13,所以能构成三角形，周长为4+10+13=27(cm).⑦当 三条线段的长为6cm,8cm,10cm时，因为6+8>10，所以 能构成三角形，周长为6+8+10=24(cm).⑧当三条线段 的长为6cm,8cm,13cm时，因为6+8>13，所以能构成三 角形，周长为6+8+13=27(cm.⑨当三条线段的长为 6cm,10cm,13cm时，因为6+10>13，所以能构成三角 形，周长为6+10+13=29(cm).⑩当三条线段的长为 8cm,10cm,13cm时，因为8+10>13，所以能构成三角 形，周长为8+10+13=31(cm).综上所述，能画出7个三 角形，可以画出的三角形的周长分别为18cm,22cm, 27cm,24cm,27cm,29cm,31cm. 易错警示 不要忽视三角形的三边关系 本题在求解时要全面分析所有可能的情况，不要遗 漏：还要注意所选取的三条线段的长是否满足三角形的 三边关系，只有满足三角形的三边关系才能求相应的 周长 第2课时三角形的角平分线、中线和高线 1.C因为∠1=∠2，所以AE平分∠DAF,即AE是 △ADF的角平分线.故③正确.因为∠1=∠2，∠3=∠4， 所以∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC.所以AE 平分∠BAC,即AE是△BAC的角平分线.故⑤正确.因为 ∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠3不一定等于∠1+∠2，∠3十 ∠1十∠2≠∠4，∠1+∠2不一定等于∠4.故①②④错误. 综上所述，正确的有2个 2.D题图中共有6个不同的三角形，即△ABD,△ABE, △ABC,△ADE,△ADC,△AEC,这些三角形都以AD为 高线 3.26cm因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC.因 为△ACD的周长为24cm,所以AC+AD+DC=24cm. 因为AD+DC=AD+BD=24-AC=24-6=18(cm),所 以△ABD的周长=AB+AD+BD=8+18=26(cm). 4.因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，所以 ∠DAC=∠BAD=2∠BAC=30,因为CE是△ABC的 高线，∠BCE=40°，所以∠B=90°一∠BCE=50°.所以 ∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-30°=100°. 5.A因为∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，所以 ∠DAC-号∠BAC-30:因为∠ACB=80,所以∠ADC 180°-∠DAC-∠ACB=180°-30°-80°=70°.又因为 OE是△COD的高线，所以OE⊥BC,即∠OED=90°.所 以∠F0D=180°-∠OED-∠ODE=180°-90°-70°=20°. 6.B因为在△ABC中，CE=了BC=4,所以BC= 3CE=3X4=12因为BD-BC,所以BD=×12=3 因为CD,BE是△ABC的两条中线，所以AB=2BD=6, AC=2CE=8.所以△ABC的周长是6+8+12=26. 7.35连结AF,BE,CD.因为D为AE的中点，所以 S△ADr=S△Dr=5.因为F为BD的中点，所以S△B4P S△ADr=5.同理，可得S△PR=SARCE=5,S△cDE=S△Ac 5.所以SAAx=S△ADF十S△BAP十SABFE+S△E+S△CE+ S△Ax+S△mr=7X5-35. 8.45°延长CH交AB于点F.因为三角形的三条高线交 于一点，所以易得CF⊥AB.所以∠AFC=90°.因为 ∠BAC=75°，所以∠ACF=180°-90°-75°=15°.因为 ∠ACB=60°，所以∠BCF=60°-15°=45°.因为AD⊥ BC,所以∠ADC=90°.所以∠CHD=180°-90°-45°= 45° 9.(1) 思路导引 AE平分∠BAC 三角形的，用∠B,∠C表示∠EAC 内角和 AD⊥BC 用∠C表示∠CAD 求出∠EAD ∠EAD=∠EAC-∠CAD 因为∠B=20°，∠C=60°，所以∠BAC=180°-∠B ∠C=100°.因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=∠EAC= 合∠BAC=60.所以∠AEB=180-∠BAE-∠B= 110°.所以∠AEC=180°-∠AEB=70°.因为AD是边BC 上的高线，所以∠ADC=90°.所以∠CAD=180°一 ∠ADC-∠C=30°.所以∠EAD=∠EAC-∠CAD= 20°.综上所述，∠CAD=30°，∠AEC=70°，∠EAD=20°. (2)15:15.易得∠EAD=∠EAC-∠CD=∠BAC ∠CAD-号[180°-（∠B+∠C)]-(180-∠Ac- ∠C)=(∠C-∠B),所以当∠B=30,∠C=60时， ∠EAD=15°；当∠C-∠B=30°时，∠EAD=15°. (3)能.当a<B时，∠EAD=2(B-a):当a>B时， ∠EAD-2a-Am. 方法归纳 三角形中的“角高模型 “角高模型”（∠C>∠B) 结论 ∠EAD=1 (∠C-∠B) B E D C ∠EM-(C-∠B EMD (FM⊥LBC) 1 M ∠F=2(∠C-∠B) E D 10.10°或50°或130°△ABC有三条边，所以需过点C分 别作三边的垂线，分别画出图形，再结合三角形内角和定 理计算角的度数.如图①，当CE⊥BC时，因为∠A=60°， ∠ACB=40°，所以∠ABC=180°-60°-40°=80.因为 BM平分∠ABC.所以∠CBE=号∠ABC=40,所以 ∠BEC=180°-90°-40°=50°：如图②，当CE⊥AB于点 F时，因为∠ABE=7∠ABC=40°，所以∠FEB=180 ∠ABE-∠BFE=180°-40°-90°=50°.所以∠BEC 180°-50°=130°；如图③，当CE⊥AC时，因为∠CBE= ∠ABC=40,∠ACB=40°，5所以∠BEC=180°-40°- 1 40°-90°=10°.综上所述，∠BE℃的度数为10°或50或130° M M E F C D B ① ② ⊙ ③ (第10题) 11.存在.因为∠ABC=50°，∠C=30°，所以∠BAC= 180°-∠ABC-∠C=100°.因为BD平分∠ABC,所以 ∠ABD=号∠AC=2S.所以∠ADF=180-∠ABD ∠BAC=55°.因为∠BAE=x°，所以∠DAF=(100-x)°， ∠AFD=180°-∠AFB=180°-(180°-∠ABD ∠BAE)=∠ABD+∠BAE=(25+x)°.若∠AFD= ∠ADF=55°，即25+x=55,则x=30:若∠DAF= ∠ADF=55°，即100-x=55,则x=45:若∠AFD= ∠DAF,即25十x=100-x,则x=37.5.综上所述，当x= 30或45或37.5时，△ADF中有两个相等的角. 专题特训一三角形中线、高线的应用 1.A因为BD是AC边上中线，所以AD=CD.所以 △ABD的周长-△CBD的周长=(AB+AD+BD)一 (BC+CD+BD)=AB+AD+BD-BC-CD-BD= AB-BC.因为△ABD的周长比△CBD的周长多2cm,且 AB=5cm,所以AB-BC=2cm,BC=5-2=3(cm),即 BC的长为3cm 2.7m因为AB=6cm,AD=5cm,△ABD的周长为 15cm,所以BD=15-6-5=4(cm).因为AD是BC边上 的中线，所以BC=2BD=8cm.因为△ABC的周长为 21cm,所以AC=21-6-8=7(cm). 3.D如图①，当AD在△ABC内部时，因为△ABC的面 积为24，AD是BC边上的高线，AD=4,CD=5,所以 BC·AD=(BD+CD)·AD=号(BD+5)X4=24 1 所以BD=7;如图②，当AD在△ABC外部时，因为△ABC 的面积为24，AD是BC边上的高线，AD=4,CD=5,所以 2C·AD=号CX4=24.所以=12所以BD- BC+CD=12+5=17.综上所述，BD的长为7或17. C B D D ① ② (第3题) 4.B连结CD,因为D是AG的中点，所以S△Asn= 5 w5w=Sr5所以Sawm+5an=2(Sm十 1 1 1 SA0c)=2SAA=24.所以S△n=2SAe=24.因为 E是BD的中点，所以SAcR=2S△n=12.因为F是 1 CE的中点，所以SADEF=2 SACDE=6. 5.2因为D是AC的中点，S△A=12,所以S△ABD Sm=之×12=6图为EC=2BE,5所以BE=号DC 1 1 1 所以SAR=3S△Ae=3X12=4.因为S△A摆一SAF= S△r,S△A5D-S△ABP=S△ADP,所以S△ADr-S△r= S△Am一S△AE=6-4=2. 方法归纳 等高三角形之间的面积关系 利用三角形的面积公式，在高相同的情况下，三角 形的面积之间的关系就是底之间的关系，注意数形结合 及转化思想的应用」 6.如图①，当AD,BE都在△ABC内部时，此时∠ACB为 锐角.因为AD⊥BC,BE⊥AC,所以∠BEA=∠ADC 90°.所以∠AME+∠DAC=180°-∠BEA=90°， ∠DAC+∠ACB=180°-∠ADC=90°.所以∠AME= ∠ACB.因为∠BMD=∠AME=52°，所以∠ACB=52°， 如图②，当AD,BE都在△ABC外部时，此时∠ACB为钝 角.因为AD⊥BC,BE⊥AC,以∠MDB=90°，∠CEB= 90°.所以∠DMB+∠DBM=180°-∠MDB=90°， ∠DBM+∠BCE=180°-∠CEB=90°.所以∠DMB= ∠BCE.因为∠BMD=52°，所以∠BCE=52°.所以 ∠ACB=180°-52°=128°.综上所述，∠ACB的度数为52 或128°. D ① ② (第6题) 1.2定义与命题 1.A定义是能明确说明某一名称或术语的意义的句子， 而①不是定义， 2.C当两条直线互相垂直时，所形成的4个角都是90°， 此时对顶角互补，故选项A是假命题.如果a=一b,那么 α3=一b3,故选项B是假命题.成对顶角的两个角相等，不 相等的两个角肯定不是对顶角，故选项C是真命题.同一 个三角形的三个内角可以都是60°，即三个角都相等，故选 项D是假命题. 3.假√2与1一√2的和不为0，且是有理数（举例不唯一） 命题“如果两个无理数a,b满足a十b≠0，那么这两个无理 数的和是无理数”是假命题.如√2+(1一√2)=1，即√2与 1一√2的和不为0，且是有理数 4(1)如果a>6,那么<石条件是a>6,结论是< 方该命超是假命想反例不唯一，如2>-2合>一 (2)如果两个数相减，那么被减数一定大于差.条件是两个 数相减，结论是被减数一定大于差.该命题是假命题.反例 不唯一，如被减数是3，减数是一1，它们的差为4，即差大于 被减数.(3)如果两条射线不相交，那么这两条射线一定 平行.条件是两条射线不相交，结论是这两条射线一定平 行.该命题是假命题.反例不唯一，如射线AB与射线CD 不相交，但是射线AB与射线CD不平行（如图） D B (第4题) 5.C①由ab>0,可知a,b同号，又a+b>0,所以a>0 且b>0.故①是真命题.②令a=-1,b=-2,则a>b且 ab=2>0,此时b<a<0.故②是假命题.③根据平行线的 判定定理可知，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条 直线互相平行.故③是真命题④假设一个锐角是30°，30° 的余角是60°，补角是150°，150°-60°=90°，则一个锐角的 补角比它的余角大90°.故④是假命题.综上所述，属于假 命题的是②④ 6.6能组成的真命题共有以下6个：如果a仍，bc,那么 ae:如果ab,ae,那么bc;如果be,ac,那么ab; 如果be,a⊥b,那么a⊥c;如果be,a⊥c,那么a⊥b:如 果a⊥b,a⊥c,那么be. 7=- 因为2-(x+1)'+5x+3》+1卫 2 2 x2+x-（x2+2x+1D+52+15x+1 2 2 x2+x-2x2-4x-2+5x2+15x+11=4x2+12x+9_ 2 2 3》≥0，所以当2x+3=0,即x=-时，题中的代 2 数式的值不是正数所以x=一2符合命题的条件，不符 合命超的结论所以=一昌是度-一个反机 8.答案不唯一，如选①②作为条件，③作为结论.因为 AB⊥BC,CD⊥BC,所以∠ABC=∠DCB=90°.因为 BECF,所以∠EBC=∠FCB.所以∠ABC-∠EBC= ∠DCB-∠FCB.所以∠1=∠2.第1章三角形 第2课时三角形的角平分线、中线和高线 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，给出下列结论：①AD是△BAF的角平分线；②AF是△BAC的角 平分线；③AE是△ADF的角平分线；④AF是△DAC的角平分线；⑤AE是△BAC的角平分 线.其中，正确的有 () A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 D (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，AD⊥BC于点D,E为DC上一点，那么图中以AD为高线的三角形有 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 3.[2025珠海期中]如图，AD是△ABC的中线，AB=8cm,AC=6cm,△ACD的周长为24cm,则 △ABD的周长为 4.如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高线，∠BAC=60°，∠BCE=40°.求∠ADB 的度数 (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE是△COD的高线.若∠BAC=60°， ∠ACB=80°，则∠EOD的度数为 () A.20° B.30 C.10° D.15° DE (第5题) (第6题) 6如图，在△ABC中，若CE=BC=4,BD=BC,CD,BE是△ABC的两条中线则△ABC的 周长是 () A.22 B.26 C.35 D.45 3 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 7.如图，在△ABC中，D,E,F分别为AE,CF,BD的中点.若△DEF的面积为5，则 △ABC的面积为 0 (第7题) (第8题) 8.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE 交于点H,连结CH,则∠CHD的度数为 9.★舒考向探究题如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°. (1)求∠CAD,∠AEC和∠EAD的度数. (2)若图形发生了变化，当∠B=30°，∠C=60°时，则∠EAD=;当∠C ∠B=30时，则∠EAD= (3)若∠B和∠C的度数分别用α和B来表示，你能找到∠EAD与α和B之间的数量关系吗？ 请直接写出你的结论， (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维◆ 10.分类过论思想如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ACB=40°，D为BC边延长线 M 上一点，BM平分∠ABC,E为射线BM上一点.若直线CE垂直于△ABC的 一边，则∠BEC的度数为 11.方程思想如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠C=30°，BD平分∠ABC,交AC 于点D,E是BC边上一动点，连结AE,交BD于点F.设∠BAE=x°，是否存 (第10题) 在这样的x,使得△ADF中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由， (第11题) 4 >“答案与解析”见P2 第1章三角形 专题特训一三角形中线、高线的应用 类型一三角形的中线与周长 1.如图，BD是△ABC的中线，AB=5cm.若△ABD的周长比△CBD的周长多2cm,则BC的 长为 () A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.7cm B D (第1题) (第2题) 2.如图，△ABC的周长为21cm,AB=6cm,BC边上的中线AD=5cm,△ABD的周长为15cm, 则AC的长为 类型二三角形的高线与面积 3.已知△ABC的面积为24，AD是BC边上的高线.若AD=4,CD=5,则BD的长为 () A.1 B.1或11 C.7 D.7或17 类型三三角形的中线与面积 4.转化5化归思想如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D,E,F分别是AG,BD,CE的中点， S△ABC=48,则S△DEF的值为 () A.4.8 B.6 C.8 D.12 (第4题) (第5题) 5.★如图，在△ABC中，E是BC边上的一点，EC=2BE,D是AC的中点，AE与BD相交于点F. 若S△4BC=12,则S△ADr-S△BEF= 类型四三角形的高线与角的计算 6.分类过论思想在△ABC中，AD,BE为三角形的高线，M为AD,BE所在直线的交，点 ∠BMD=52°，求∠ACB的度数， ●“答案与解析”见P3 5