1.2 定义与命题-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 1.2 定义与命题 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.有下列命题：①两点确定一条直线；②含有未知数的等式叫作方程；③点到直线的距离是该点 到这条直线的垂线段的长度；④连结两点的线段的长度，叫作这两点间的距离.其中，不属于定 义的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列命题中，属于真命题的是 A.两个互补的角一定不是对顶角 B.如果a=一b,那么a3=b3 C.如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角 D.同一个三角形的三个内角一定各不相等 3.小豪发现一个命题：“如果两个无理数a,b满足a十b≠0，那么这两个无理数的和是无理数”.这 个命题是 命题（填“真”或“假”），请举例说明： 4.把下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，写出命题的条件和结论，并判断该命题是真命 题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例. (1)若a>b,则1< a b (2)被减数一定大于差， (3)不相交的两条射线一定平行. 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.有下列命题：①若a+b>0且ab>0,则a>0且b>0;②若a>b且ab>0,则a>b>0;③在同 一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④一个锐角的补角比它的余角小90°.其中， 属于假命题的是 () A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 6.对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列五个论断：①ab;②b∥c;③a⊥b;④ac;⑤a⊥ ℃.以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个命题，则组成的真命题有 个 7能说明“如果r为实数那么代数式（(x+)+5（+3)十1的值一定为正数”是假命 2 题的一个反例是 6 第1章三角形 8.如图，有下列条件：①AB⊥BC,CD⊥BC;②BECF;③∠1=∠2.请你选择其中两个作为条 件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并用推理的方法说明它是真命题 A (第8题) 0题观察下列新运算：①3放6-3一-25=-2@心言☆站青言点（一3收 (-4)=9+4=13;④(-0.3)☆(-0.1)=-0.3-0.01=-0.31；⑤(-8)☆(-8)=-8-64=-72. (1)根据它们的共同特征，用字母a,b及符号“☆”定义这个新运算 (2)计算：(a+1)☆a一(a-1)☆a. ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.如图，点B,D,F在同一条直线上，BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,DG平分∠CDF,∠1+ ∠2=90°.给出下列结论：①ABCD;②BEDG;③ED⊥DG. (1)上述结论中，哪些是正确的？请判断并说明理由. (2)请你选择其中一个正确的结论，归纳出一个真命题. D (第10题) ●“答案与解析”见P45.2因为D是AC的中点，S△A=12,所以S△ABD Sm=之×12=6图为EC=2BE,5所以BE=号DC 1 1 1 所以SAR=3S△Ae=3X12=4.因为S△A摆一SAF= S△r,S△A5D-S△ABP=S△ADP,所以S△ADr-S△r= S△Am一S△AE=6-4=2. 方法归纳 等高三角形之间的面积关系 利用三角形的面积公式，在高相同的情况下，三角 形的面积之间的关系就是底之间的关系，注意数形结合 及转化思想的应用」 6.如图①，当AD,BE都在△ABC内部时，此时∠ACB为 锐角.因为AD⊥BC,BE⊥AC,所以∠BEA=∠ADC 90°.所以∠AME+∠DAC=180°-∠BEA=90°， ∠DAC+∠ACB=180°-∠ADC=90°.所以∠AME= ∠ACB.因为∠BMD=∠AME=52°，所以∠ACB=52°， 如图②，当AD,BE都在△ABC外部时，此时∠ACB为钝 角.因为AD⊥BC,BE⊥AC,以∠MDB=90°，∠CEB= 90°.所以∠DMB+∠DBM=180°-∠MDB=90°， ∠DBM+∠BCE=180°-∠CEB=90°.所以∠DMB= ∠BCE.因为∠BMD=52°，所以∠BCE=52°.所以 ∠ACB=180°-52°=128°.综上所述，∠ACB的度数为52 或128°. D ① ② (第6题) 1.2定义与命题 1.A定义是能明确说明某一名称或术语的意义的句子， 而①不是定义， 2.C当两条直线互相垂直时，所形成的4个角都是90°， 此时对顶角互补，故选项A是假命题.如果a=一b,那么 α3=一b3,故选项B是假命题.成对顶角的两个角相等，不 相等的两个角肯定不是对顶角，故选项C是真命题.同一 个三角形的三个内角可以都是60°，即三个角都相等，故选 项D是假命题. 3.假√2与1一√2的和不为0，且是有理数（举例不唯一） 命题“如果两个无理数a,b满足a十b≠0，那么这两个无理 数的和是无理数”是假命题.如√2+(1一√2)=1，即√2与 1一√2的和不为0，且是有理数 4(1)如果a>6,那么<石条件是a>6,结论是< 方该命超是假命想反例不唯一，如2>-2合>一 (2)如果两个数相减，那么被减数一定大于差.条件是两个 数相减，结论是被减数一定大于差.该命题是假命题.反例 不唯一，如被减数是3，减数是一1，它们的差为4，即差大于 被减数.(3)如果两条射线不相交，那么这两条射线一定 平行.条件是两条射线不相交，结论是这两条射线一定平 行.该命题是假命题.反例不唯一，如射线AB与射线CD 不相交，但是射线AB与射线CD不平行（如图） D B (第4题) 5.C①由ab>0,可知a,b同号，又a+b>0,所以a>0 且b>0.故①是真命题.②令a=-1,b=-2,则a>b且 ab=2>0,此时b<a<0.故②是假命题.③根据平行线的 判定定理可知，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条 直线互相平行.故③是真命题④假设一个锐角是30°，30° 的余角是60°，补角是150°，150°-60°=90°，则一个锐角的 补角比它的余角大90°.故④是假命题.综上所述，属于假 命题的是②④ 6.6能组成的真命题共有以下6个：如果a仍，bc,那么 ae:如果ab,ae,那么bc;如果be,ac,那么ab; 如果be,a⊥b,那么a⊥c;如果be,a⊥c,那么a⊥b:如 果a⊥b,a⊥c,那么be. 7=- 因为2-(x+1)'+5x+3》+1卫 2 2 x2+x-（x2+2x+1D+52+15x+1 2 2 x2+x-2x2-4x-2+5x2+15x+11=4x2+12x+9_ 2 2 3》≥0，所以当2x+3=0,即x=-时，题中的代 2 数式的值不是正数所以x=一2符合命题的条件，不符 合命超的结论所以=一昌是度-一个反机 8.答案不唯一，如选①②作为条件，③作为结论.因为 AB⊥BC,CD⊥BC,所以∠ABC=∠DCB=90°.因为 BECF,所以∠EBC=∠FCB.所以∠ABC-∠EBC= ∠DCB-∠FCB.所以∠1=∠2. 9（①因为03的=8-5=3-25=-2：@号女日 (传)-日=号-日=-：®(-3)☆(-40 (-3)2一（一4）=9+4=13：④(-0.3)☆(-0.1)= -0.3-(-0.1)2=一0.3一0.01=-0.31；⑤(-8)☆ (一8)=一8-（一8）2=一8-64=一72，所以算式①④⑤的 运算法则一样，都是前面的数不大于后面的数，算式②③ 的运算法则一样，都是前面的数大于后面的数.所以可以 得出当a≤b时，a☆b=a-b2,当a>b时，a☆b=a2-b. {a-b2(ab), 所以这个新运算为a☆b= (2)因为a a2-b(a>b). 1<a<a+1,所以(a+1)☆a-(a-1)☆a=(a+1)2 a-[(a-1)-a2]=a2+2a+1-a-a+1+a2=2a2+2. 10.(1)①②③均正确.理由：因为BE平分∠ABD,DE 平分∠BDC,所以∠2=∠ABE,∠1=∠CDE.又因为 ∠1+∠2=90°，所以∠1+∠CDE+∠2+∠ABE= 2(∠1+∠2)=180°，即∠CDB+∠ABD=180°.所以AB∥ CD.所以①正确.因为ABCD,所以∠ABD=∠CDF.因 为BE平分∠ABD,DG平分∠CDF,所以∠2=2∠ABD, ∠GDF=号∠CDF.所以∠2=∠GDE.所以BE/DG.所 以②正确.因为∠2=∠GDF,∠1十∠2=90°，所以∠1十 ∠GDF=90°.所以∠EDG=180°-（∠1+∠GDF)=90°」 所以ED⊥DG.所以③正确.综上所述，①②③均正确. (2)答案不唯一，如“如果两个角组成一个平角，那么它们 的平分线互相垂直” 1.3证明 第1课时证明及表述格式 1.C因为∠1=∠4，所以ABCD.故A错误.因为AB∥ CD,所以∠1=∠4.故B错误.因为∠C+∠ADC=180°， 所以AD∥BC.故C正确.因为BC∥AD,所以∠CBA十 ∠A=180°.故D错误」 2.50°因为EF⊥MN,∠2=50°，所以∠BFN=90°- 50°=40°.所以∠AFN=180°-∠BFN=140°.所以 ∠AFN=∠1.所以ABCD(同位角相等，两直线平行). 3.因为DE∥BC(已知)，以∠ABC=∠AED(两直线平 行，同位角相等).因为BD平分∠ABC,EF平分∠AED (已知)，所以∠1=7∠ABC,∠2=∠AED(角平分线 的定义).所以∠1=∠2（等量代换）.所以EFBD(同位角 相等，两直线平行).所以∠EFD十∠BDF=180°（两直线 平行，同旁内角互补) 4.B因为x+y+=(a-2b+c)+(a+b-2c)+ (一2a十b十c)=0,所以xy,之不能都大于0，也不能都小 于0.故A和C错误.又因为a,b,c是不完全相等的任意 实数，所以x,y,之不能同时为0.所以x,y,之中至少有一 个大于0，也可以有两个大于0.故D错误，B正确 5.(1)∠A+∠ACD+∠D=360°.如图①，过点C作 CF∥AB,则易得CF∥DE.因为CF∥AB,所以∠A+ ∠ACF=180°.因为CF∥DE,所以∠D+∠DCF=180°. 所以∠A+∠ACF+∠D+∠DCF=360°.因为∠ACD= ∠ACF+∠DCF,所以∠A+∠ACD+∠D=360. (2)不满足.正确的结论为∠ACD=∠A十∠D.如图 ②，过点C作CGAB,则易得CGDE.因为CG∥AB,所 以∠A=∠ACG.因为CG∥DE,所以∠D=∠DCG.因为 ∠ACD=∠ACG+∠DCG,所以∠ACD=∠A+∠D. B (第5题) 第2课时几何命题的证明与三角形的外角 1.C记SL与MN交于点O.由题意，得∠N=45°， ∠S=30°.因为SL∥KN,所以∠MOS=∠N=45°.所以 ∠TMN=∠MOS+∠S=75. 2.D因为AD是∠CAE的平分线，所以∠EAC= 2∠DAE=120°.所以∠ACB=∠EAC-∠B=85°.所以 ∠ACD=180°-85°=95°. 3.259 思路导引 ∠CED=100°，∠D=35° 三角形的 ∠BCD=45% 内角和 ∠A=20°，∠BCD是△ABC的外角 ∠B=∠BCD-∠A=259 因为∠CED=100°，∠ADF=35°，所以∠BCD=180° ∠CED-∠ADF=180°-100°-35°=45°.因为∠BCD是 △ABC的外角，所以∠B=∠BCD-∠A=45-20°=25°. 4.延长ED交BC于点F.因为∠CDE=1O5°，所以∠CDF= 180°-∠CDE=180°-105°=75°.因为∠BCD=50°，所以 ∠BFD=∠BCD+∠CDF=50°+75°=125°.又因为 ∠ABC=-125°，所以∠ABC=∠BFD.所以AB∥DE.