1.1 第1课时 三角形的有关概念及三边关系-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

第1章三角形 1.1认识三角形 第1课时三角形的有关概念及三边关系 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，在△ABC中，E是AB边上一点，连结CE,则下列说法中，错误的是 () A.∠A,∠B,∠ACB是△ABC的内角 B.△AEC的三条边分别是AE,EC,AC C.图中共有3个三角形 D.以∠BEC为内角的三角形有2个 4cm acm (第1题) (第2题) (第4题) 2.如图，将长为l4cm的铁丝折成三段，已知第一段长4cm,第二段长acm.若这三条线段恰好能 围成一个三角形，则a的值可以是 () A.3 B.6 C.7 D.8 3.在△ABC中，∠A=70°，∠A比∠B大10°，则∠B= ,∠C= °，△ABC是 角三角形 4.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，且AD=AC,则有下列大小关系（填“>”“<”或“=”）： (1)AB AC+BD. (2)2AC CD 5.如图，在△ABC中，∠A=80°，点E,F分别在边AC,AB上，BE,CF交于点O,∠ACF=30°， ∠ABE=20°，求∠BOC的度数. (第5题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能。 6.下列条件中，能判定△ABC为锐角三角形的是 () A.∠A=90°-∠B B.∠A-∠B=∠B-∠C=20° C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A+∠B=889 7.已知a,b,c是△ABC的三边长，b,c满足(b一2)2+c-3=0,且a为方程|x一4|=2的解，则 △ABC的周长为 () A.4 B.5 C.7或11 D.7 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 8.考向探究题如图，图①中共有1个三角形，图②中共有5个三角形，图③中共有 9个三角形…依此类推，图⑥中共有 个三角形. C ^、2 B ② ③ (第8题) (第9题) 9.把△ABC沿EF翻折，折叠后的图形如图所示.若∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数是 10.如图，以点A,B,C,D,E中的任意三点为顶点画三角形， (1)一共可以画出多少个三角形？请在图中全部画出. (2)以AB为一边可以画出哪几个三角形？以C为顶点可以画出哪几个三角形？ (3)在(1)的基础上，从画出的三角形中分别找出1个锐角三角形、1个直角三角形和1个钝角 三角形 4 B (第10题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.回新定义题当三角形中一个内角B是另外一个内角α的，时，我们称此三角形 为“友好三角形”，α为友好角.如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，求这个 “友好三角形”的友好角的度数. 12.易错题以长为8cm,6cm,10cm,4cm,13cm的五条线段中的三条线段为边，能画出几个三角 形？请求出可以画出的三角形的周长 2 >“答案与解析”见P1 注：标“易错题”的设有“易错警示，标“★”的题目设有方法归纳”，详见分册“答案与解析”、】第1章 1.1认识三角形 第1课时三角形的有关概念及三边关系 1.D∠A,∠B,∠ACB都是△ABC的内角，故A正确. △AEC的三条边分别是AE,EC,AC,故B正确.题图中共 有3个三角形，即△ABC,△BEC,△AEC,故C正确.以 ∠BEC为内角的三角形有1个，是△BEC,故D错误 2.B根据三角形的三边关系逐项分析：当a=3时，第三 段长为14一4一3=7(cm).因为3+4=7(cm),7=7,所以 3cm,4cm,7cm的三条线段不能构成三角形.故A错误. 当a=6时，第三段长为14一4一6=4(cm).因为4十4= 8(cm),8>6,所以4cm,4cm,6cm的三条线段能构成三角 形.故B正确.当a=7时，第三段长为14一4一7=3(cm). 因为3十4=7(cm),7=7,所以3cm,4cm,7cm的三条线 段不能构成三角形.故C错误.当a=8时，第三段长为 14-4-8=2(cm).因为4+2=6(cm),6<8,所以2cm, 4cm,8cm的三条线段不能构成三角形.故D错误. 3.6050锐因为∠A=70°，∠A比∠B大10°，所以 ∠B=∠A-10°=60°.所以∠C=180°-∠A-∠B=50°， 所以△ABC是锐角三角形， 4.(1)<在△ABD中，根据三角形的三边关系可知，AB< AD+BD.又因为AD=AC,所以AB<AC+BD.(2)> 在△ACD中，根据三角形的三边关系可知，AC+AD> CD.又因为AD=AC,所以AC十AC>CD,即2ACCD. 5.因为∠A=80°，所以∠ACB+∠ABC=180°-∠A 100°.因为∠ACF=30°，∠ABE=20°，所以∠OCB+ ∠OBC=∠ACB+∠ABC-(∠ACF+∠ABE)=100° (30°+20)=50°.所以∠0C=180°-（∠0CB+∠OBC) 180°-50°=130° 6.B因为∠A=90°一∠B,所以∠A十∠B=90°.又因为 ∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=180°-（∠A+∠B)= 180°-90°=90°.所以△ABC是直角三角形.故A不符合 题意.因为∠A-∠B=∠B-∠C=20°，所以∠B=∠A 20°，∠C=∠B-20°=∠A-20°-20°=∠A-40°.又因为 ∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A+∠A-20°+∠A 40°=180°.所以∠A=80°，∠B=80°-20°=60°，∠C= 80°一40°=40°.所以△ABC是锐角三角形.故B符合题意 因为∠A=2∠B=3∠C,所以∠B=2∠A,∠C 号∠A.又因为∠A+∠B十∠C=180,所以∠A+ 2∠+3∠A=18c.所以A=(2）:因为(9)> 90°，所以△ABC是钝角三角形.故C不符合题意.因为 三角形 ∠A+∠B=88,∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C= 180°一（∠A+∠B)=180°一88°=92°.因为92°>90°，所以 △ABC是钝角三角形.故D不符合题意 7.D因为(b-2)2+c-3=0,(b一2)2≥0，|c一3≥0， b一2=0， 所以 b=2, 解得 根据三角形的三边关系，得c {c-3=0, {c=3. b<a<c+b,即1<a<5.因为a为方程|x一4=2的解， 所以a一4=2，解得a=2或a=6(不合题意，舍去).所以 △ABC的周长为2+2+3=7. 8.21由题意，得题图@(n≥1，且n为整数)中的三角形 的个数为1+4(n-1)=4n一3.所以题图⑥中共有4×6一 3=21(个)三角形 9.25°因为△ABC沿EF翻折，所以∠BEF=∠B'EF, ∠CFE=∠C'FE.所以180°-∠AEF=∠1十∠AEF, 180°-∠AFE=∠2+∠AFE.因为∠1=95°，所以∠AEF= 3X180-95)=42.5.因为∠A+∠AEP+∠AFE= 180°，所以∠AFE=180°-60°-42.5°=77.5°.所以180°- 77.5°=∠2+77.5°.所以∠2=25°. 10.(1)一共可以画出10个三角形.如图所示.(2)以 AB为一边可以画出3个三角形，即△ABE,△ABD, △ABC.以C为顶点可以画出6个三角形，即△ABC, △BCD,△BCE,△ADC,△DEC,△ACE.(3)锐角三角 形：△AED.直角三角形：答案不唯一，如△EBD.钝角三角 形：答案不唯一，如△ABC A B (第10题 11.①若54°角是a,则友好角的度数为54°；②若54°角是 B,则7a=B=54,所以a=108,即友好角的度数为108， ③若54°角既不是a也不是B,则a+B+54°=180°，所以 a十2a十5f=180,解得a=8,即友好角的度数为8R 综上所述，友好角的度数为54°或84或108°. 12.把这五条线段的长按从小到大的顺序排列为4cm, 6cm,8cm,10cm,13cm.分十种情况讨论：①当三条线段 的长为4cm,6cm,8cm时，因为4+6>8，所以能构成三角 形，周长为4十6十8-18(cm).②当三条线段的长为4cm, 6cm,10cm时，因为4+6=10(cm),10=10,所以不能构 成三角形.③当三条线段的长为4cm,6cm,13cm时，因 为4十6<13，所以不能构成三角形.④当三条线段的长为 4cm,8cm,10cm时，因为4十8>10，所以能构成三角形， 周长为4+8十10=22(cm).⑤当三条线段的长为4cm, 8cm,13cm时，因为4+8<13，所以不能构成三角形， ⑥当三条线段的长为4cm,10cm,13cm时，因为4+10> 13,所以能构成三角形，周长为4+10+13=27(cm).⑦当 三条线段的长为6cm,8cm,10cm时，因为6+8>10，所以 能构成三角形，周长为6+8+10=24(cm).⑧当三条线段 的长为6cm,8cm,13cm时，因为6+8>13，所以能构成三 角形，周长为6+8+13=27(cm.⑨当三条线段的长为 6cm,10cm,13cm时，因为6+10>13，所以能构成三角 形，周长为6+10+13=29(cm).⑩当三条线段的长为 8cm,10cm,13cm时，因为8+10>13，所以能构成三角 形，周长为8+10+13=31(cm).综上所述，能画出7个三 角形，可以画出的三角形的周长分别为18cm,22cm, 27cm,24cm,27cm,29cm,31cm. 易错警示 不要忽视三角形的三边关系 本题在求解时要全面分析所有可能的情况，不要遗 漏：还要注意所选取的三条线段的长是否满足三角形的 三边关系，只有满足三角形的三边关系才能求相应的 周长 第2课时三角形的角平分线、中线和高线 1.C因为∠1=∠2，所以AE平分∠DAF,即AE是 △ADF的角平分线.故③正确.因为∠1=∠2，∠3=∠4， 所以∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC.所以AE 平分∠BAC,即AE是△BAC的角平分线.故⑤正确.因为 ∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠3不一定等于∠1+∠2，∠3十 ∠1十∠2≠∠4，∠1+∠2不一定等于∠4.故①②④错误. 综上所述，正确的有2个 2.D题图中共有6个不同的三角形，即△ABD,△ABE, △ABC,△ADE,△ADC,△AEC,这些三角形都以AD为 高线 3.26cm因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC.因 为△ACD的周长为24cm,所以AC+AD+DC=24cm. 因为AD+DC=AD+BD=24-AC=24-6=18(cm),所 以△ABD的周长=AB+AD+BD=8+18=26(cm). 4.因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，所以 ∠DAC=∠BAD=2∠BAC=30,因为CE是△ABC的 高线，∠BCE=40°，所以∠B=90°一∠BCE=50°.所以 ∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-30°=100°. 5.A因为∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，所以 ∠DAC-号∠BAC-30:因为∠ACB=80,所以∠ADC 180°-∠DAC-∠ACB=180°-30°-80°=70°.又因为 OE是△COD的高线，所以OE⊥BC,即∠OED=90°.所 以∠F0D=180°-∠OED-∠ODE=180°-90°-70°=20°. 6.B因为在△ABC中，CE=了BC=4,所以BC= 3CE=3X4=12因为BD-BC,所以BD=×12=3 因为CD,BE是△ABC的两条中线，所以AB=2BD=6, AC=2CE=8.所以△ABC的周长是6+8+12=26. 7.35连结AF,BE,CD.因为D为AE的中点，所以 S△ADr=S△Dr=5.因为F为BD的中点，所以S△B4P S△ADr=5.同理，可得S△PR=SARCE=5,S△cDE=S△Ac 5.所以SAAx=S△ADF十S△BAP十SABFE+S△E+S△CE+ S△Ax+S△mr=7X5-35. 8.45°延长CH交AB于点F.因为三角形的三条高线交 于一点，所以易得CF⊥AB.所以∠AFC=90°.因为 ∠BAC=75°，所以∠ACF=180°-90°-75°=15°.因为 ∠ACB=60°，所以∠BCF=60°-15°=45°.因为AD⊥ BC,所以∠ADC=90°.所以∠CHD=180°-90°-45°= 45° 9.(1) 思路导引 AE平分∠BAC 三角形的，用∠B,∠C表示∠EAC 内角和 AD⊥BC 用∠C表示∠CAD 求出∠EAD ∠EAD=∠EAC-∠CAD 因为∠B=20°，∠C=60°，所以∠BAC=180°-∠B ∠C=100°.因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=∠EAC= 合∠BAC=60.所以∠AEB=180-∠BAE-∠B= 110°.所以∠AEC=180°-∠AEB=70°.因为AD是边BC 上的高线，所以∠ADC=90°.所以∠CAD=180°一 ∠ADC-∠C=30°.所以∠EAD=∠EAC-∠CAD= 20°.综上所述，∠CAD=30°，∠AEC=70°，∠EAD=20°. (2)15:15.易得∠EAD=∠EAC-∠CD=∠BAC ∠CAD-号[180°-（∠B+∠C)]-(180-∠Ac- ∠C)=(∠C-∠B),所以当∠B=30,∠C=60时， ∠EAD=15°；当∠C-∠B=30°时，∠EAD=15°. (3)能.当a<B时，∠EAD=2(B-a):当a>B时， ∠EAD-2a-Am.