整合提优 专题5 配方法的应用-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9浙教版）

2整合提优 专题五 配方法的应用 专题解读 配方法是通过恒等变形，将代数式（或其某一部分）配成完全平方式或几个完全平方式的和， 再结合完全平方式的非负性等条件解决问题的方法.配方法的实质是重构代数式的结构，属于核 心的恒等变形手段；其重要作用是借助完全平方式的非负性挖掘题目隐含条件，运用配方法解题 的关键在于合理配凑、拆项与添项.在初中数学中，配方法的常见应用如下：(1)解一元二次方程； (2)求字母的值；(3)比较代数式的大小；(4)求代数式的最值. 类型一利用配方法解一元二次方程 类型二利用配方法求代数式中字母的值 1.[2025温州苍南期末]用配方法解方程x2 6.x十5=0时，配方结果正确的是( 5.若实数a,b满足a2+462一a十46 4=0,则 A.(x-3)2=5 B.(.x十3)2=4 a-b的值为 () C.(x-3)2=4D.(x+3)2=14 A.0 B.1 C.-1D.- 2 2.已知方程x2一6.x十q=0可以配方成(x )=7的形式，则p十q的值为 6若好n2十=m-2.则 2_2的值为 m n 3.新考向新定义题对于任意实数α，b,定义：ax () b=2a(a十b)十b,如1*3=2×1×(1+3)十 3=11.若x*4=46,则实数x的值是 A.-2B.0 c-1D号 7.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,它们都 4.新考向阅读理解题解方程2x2一2√2x-3= 是正整数，且a,b满足2a2十b2-4a-6b十 0的过程如下： 11=0,则△ABC的周长是 解：2x2-2√2x-3=0,则（√2x)2-2√2x+ 8.若△ABC的三边长a,b,c满足a2十b2十 c2=6a+8b+10c一50，利用所学知识判定 1=3十1.所以（√2x一1）2=4.直接开平方， △ABC的形状. 得2x-1=士2.所以x1=- 2_32 2x2 21 按照上面的方法，解方程：3x2-2√6x=2. 类型三利用配方法比较大小 9.若代数式M=3.x2+8,N=2x2+4x,则M, N的大小关系是 (用“>”连接). 25 窖期升级训练数学（新教版）八年级 10.*(1)如图①所示为边长是a的正方形，保 为无论x取何值，都有2(x十3)2≥0，即 持正方形的一边不变，将另一边增加4，得 2(x十3)2的最小值为0，此时x=一3， 到如图②所示的矩形，此矩形的面积为S1: 所以当x=一3时，原多项式的最小值是 将图①中的正方形的边长增加2，得到如图 -22. ③所示的新正方形，此正方形的面积为S2. 请根据上面的解题思路，求多项式3x2 用含a的代数式分别表示S1,S2,然后请用 6.x十12的最小值，并写出对应的x的 作差法比较S1与S2的大小 取值. (2)已知A=2a2-6a+1,B=a2-4a-1, 请用作差法比较A与B的大小， ① ② (第10题) 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= 6cm,BC=4cm,点P在边AC上，从点A 出发，向点C以2cm/s的速度移动，点Q在 边CB上，从点C出发，向点B以W3cm/s的 速度移动.点P,Q同时出发，且当一点移动 到终点时，另一点也随之停止移动.设 △PCQ的面积为Scm,移动时间为ts,求 S的最大值 Q P (第12题) 类型四利用配方法求代数式的最值 11.新考向阅读理解题完全平方公式x2士 2xy十y2=(x土y)2及(x土y)2的值恒为 非负数的特点在数学学习中有着广泛应 用，比如探求多项式2x2十12x-4的最大 (小)值时，我们可以这样处理： 解：原式=2(x2十6x-2)=2(x2+6x十9- 9-2)=2[(x+3)2-11]=2(x+3)2-22.因 26105-7)m（(2)加图部分主体的体积=号×(3+ 10W5-7)×10×500=(25000√3-10000)m3.所以完成 这项工程需要土石(25000√3-10000)m. E D i=1:/3 人45°h6 A GH (第16题) 专题五 配方法的应用 1.C 2.5解析：因为x2一6x十q=0,所以x2一6x=一q.所 以x2-6x十9=9-q,即(x一3)2=9-g.由题意，得= 3,9-q=7,即q=2,所以p十q=3+2=5. 3.3或-7解析：因为x*4=46,所以2x(x十4)十4= 46.所以2x2+8x十4=46，即(x十2)2=25.所以x=3或 x=-7. 4.3a2-2√6x=2,则（√3x)2-2X√2X5x+(√2）2= 2十(W2)2.所以(W3x-√2)2=4.直接开平方，得3x一 2=士2，所以x,-6+25,x,-6-2 3 3 5.B解析：因为a+4b-a十6+号-0，所以(a a+)+(46+46+1D=0.即(a-2）》°+(26+1D Q所以a-号=0,23+1=0，所以a=号6=-分所以 a-6=3-(-2)=1 6A解析：因为m+子=一m-2,所以m十 n2=4n-4m一8.所以(m2+4m+4)+(n2-4n+4)= 0.所以(m+2)2+(n-2)2=0.所以m+2=0,n-2=0, 解得m=一2，m=2.所以2-2=一1-1=一2. 7.7解析：因为2a2+b2一4a一6b+11=0,所以2a2 4a+2+b2-6b+9=0.所以2(a一1)2+(b一3)=0.所 以a一1=0，b一3=0，解得a=1,b=3.所以3一1c< 3十1，即2<c<4.因为c是正整数，所以c=3.所以 △ABC的周长=1+3+3=7. 8.因为a2+b2+c2=6a+8b+10c-50,所以a2-6a+ 9+b2-8b+16+c2-10c+25=0.所以(a-3)2+(b 4)2+(c-5)2=0.所以a=3,b=4,c=5.所以a2+b= 25=c2.所以△ABC是直角三角形. 9.>N解析：因为M=3x2十8，N=2x2+4x,所以 M-N=3.x2+8-(2x2+4x)=x2-4x+8=(x-2)2+ 4.因为(x-2)2≥0，所以(x-2)2+4>0.所以M-N> O.所以C>N. 10.(1)根据题意，得S,=a(a+4)=a2+4a,S2=(a十 2)2=a2+4a+4.因为S,-S2=(a2+4a)-(a2+4a+ 4)=-4<0,所以S1<S2.(2)因为A=2a2-6a+1, B=a2-4a-1,所以A一B=2a2-6a+1一a2+4a+1= a2-2a+2=(a-1)2+1>0.所以A>B. 方法归纳 用作差法比较代数式的大小 我们通常用作差法比较代数式的大小，如比较M 和N的大小：先求M一N,若M一N>0,则M>N;若 M-N<0,则M<N;若M-N=0,则M=N.反之亦 成立.利用配方法比较代数式的大小，通常情况下需要 先作差，然后配成“完全平方式十常数”的形式，利用完 全平方式的非负性比较大小 11.原式=3(x2-2x)+12=3(x2-2x+1)+9=3(x 1)2+9.因为无论x取何值，都有3(x一1)2≥0，即 3(x一1)的最小值为0，此时x=1.所以当x=1时，原多 项式的最小值为9. 12.由题意，得AP=2tcm,CQ=√3tcm,PC=(6- 2)m(0<1<4g)所以s=26-2a51=-5+ 351=-5(-3)=-E(-2)}°+99 4 因为(-)'≥0，所以-(-2)<0所以当1= 号时，S的录大值为5. 专题六四边形中常添的辅助线 1.(1)连结AC交BD于点O.因为四边形ABCD是平行 四边形，所以OA=OC,OB=OD.因为M,N是对角线 BD的三等分点，所以BM=DN.所以OB-BM=OD一 DN,即OM=ON.所以四边形AMCN是平行四边形. (2)因为AD=13,BD=18,M,N是对角线BD的三等分 点，所以DM=12,BM=6.因为AM⊥BD,所以AM= √AD2-DM=5.所以AB=√AM+BM=√61.因 为四边形ABCD是平行四边形，所以CD=AB=√6I. 2.A解析：如图，过点B作BGLy轴于点G,过点C作 CE⊥x轴于点E,延长GB,EC交于点H,则∠BHC= ∠CEO=90°.所以∠HBC+∠BCH=90°.因为点C的坐 标为（√3,1），所以OE=√3，CE=1.因为四边形ABCO是 正方形，所以BC=CO,∠BCO=90°.所以∠BCH+ ∠OCE=90°.所以∠HBC=∠ECO.在△BCH和△COE 3