整合提优 专题1 添加辅助线构造全等三角形-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9浙教版）

GH=h,GK=k.在Rt△CGK中，由勾股定理，得CG2= GK2+CK2,所以12=k2+(1一h)2.整理，得k2+h2=2h ①.在Rt△GEH中，由勾股定理，得GE2=GH+EH, 所以（号）=2+(-号）厂整理，得+2-警②联 立0@，得2h=警即=号.代人①.得（受h)厂+2= 2弘，解得么=总或=0（不合题意，合去.所以点G到 AB的距离是 8 K (第18题) 3 三、19.(1)x1=0x2=2.(2)x1=3,x2=1. 20.(1)由题意，得[-(m-2)]2-4×1×(m-3)=m2 4m十4-4m+12=m2-8m+16=(m一4)2，因为(m 4)≥0，所以无论m为何值，该一元二次方程总有实数 根(2②)因为两根之积-”3-m-3,方程的两根一正 1 一负，所以m-3<0,解得m<3. 21.(1)84:乙.(2)70：90；96.(3)甲的箱线图如图所示. 测试成绩/分 100 9 89 80 ⑧ 甲 (第21题) 22.(1)设分配x名工人生产氧原子模型，y名工人生产 氢原子模型.由题意，得 +y=20,解得=8答： 2X60x=80y, y=12. 分配8名工人生产氧原子模型，12名工人生产氢原子模 型.(2)设每个水分子模型教具降价α元，则每天的销售 量为(1000+200a)个，每个水分子模型教具的售价为 (18一a)元.由题意，得(18一a)(1000+200a)= 24000.整理，得a2-13a十30=0，解得a1=10,a2=3.因 为降价幅度不超过50%，所以a≤18×50%=9.所以a= 3.所以18一a=15.答：每个水分于模型教具定价为15元 能使每天的销售额为24000元. 23.(1)因为△ABC≌△ADC,所以∠ACB=∠ACD, BC=DC.因为DE∥CB,所以∠DEC=∠ACB= ∠ACD.所以DE=CD.所以DE=BC.所以四边形 BCDE是平行四边形.因为DE=CD,所以□BCDE是菱 形.(2)连结BD交AC于点H.因为四边形BCDE是菱 形，所以BD和CE互相垂直且平分.所以∠AHB=90°， EH=CH=2BC,设CH=EH=x因为E为AC的中 点，所以AE=CE=2x,AH=3x,AC=4x.因为BH= AB2-AH,BH=BC2-CH,所以AB2-AH= BC-CH.所以-(3x)=2-.所以x=5所以 AC=4x=26. 24.(1)因为四边形ABCD与四边形AEFG是正方形， 所以AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE.所以 △ADG≌△ABE.所以∠AGD=∠AEB.如图①，延长 EB交DG于点H.在△ADG中，∠AGD+∠ADG=90°， 所以∠AEB+∠ADG=90°.所以∠DHE=180°- (∠AEB+∠ADG)=90°.所以DG⊥BE.(2)由题意，可 得AD=AB,∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE,所以 ∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG.所以∠DAG= ∠BAE.因为AD=AB,AG=AE,所以△ADG≌ △ABE.所以DG=BE.如图②，过点A作AM⊥DG于 点M,则∠AMD=∠AMG=90°.因为BD是正方形 ABCD的对角线，所以∠MDA=45°.因为AD=2,所以 易得DM=AM=√2.因为GM=√AG-AMr=√6，所 以DG=DM十GM=√2+√6.所以BE=DG=√2+√6. H/B A ① ② (第24题) 2整合提优 专题一添加辅助线构造全等三角形 1.连结AD并延长至点F.在△ABD和△ACD中， (AB-=AC, AD=AD,所以△ABD≌△ACD.所以∠BAD= BD=CD, ∠CAD,∠B=∠C.因为∠BDF=∠B+∠BAD, ∠CDF=∠C十∠CAD,所以∠BDF十∠CDF=∠B十 ∠BAD+∠C+∠CAD.所以∠BDC=∠B+∠C+ ∠BAC.因为∠BAC=80°，∠BDC=120°，所以∠B= 20°. 2.如图，过点D分别作DE⊥BA,DF⊥BC,垂足分别为 E,F.因为∠BMD+∠BND=180°，∠BMD+∠EMD= 180°，所以∠EMD=∠BND,即∠EMD=∠FND. 因为DE⊥BA,DF⊥BC,所以∠DEM=∠DFN= 90°.又因为DM=DN,所以△DEM≌△DFN.所以 DE=DF.因为DE⊥BA,DF⊥BC,所以BD平分 ∠ABC. C (第2题) 3.如图，过点B作BG⊥BC,交CF的延长线于点G.因 为∠ACB=90°，所以∠2+∠ACF=90°.因为CE⊥AD. 所以∠AEC=90°.所以∠1+∠ACF=90°.所以∠1= ∠1=∠2， ∠2.在△ACD和△CBG中，AC=CB, 所 ∠ACD=∠CBG=90°， 以△ACD≌△CBG.所以∠ADC=∠G,CD=BG.因为 D为BC的中点，所以CD=BD.所以BD=BG.因为 ∠ACB=90°，AC=CB,所以∠ABC=45°，即∠DBF= 45°.又因为∠DBG=90°，所以∠GBF=∠DBG ∠DBF=90°-45°=45°.所以∠DBF=∠GBF.在 BD=BG, △BDF和△BGF中，∠DBF=∠GBF,所以△BDF≌ BF=BF, △BGF.所以∠BDF=∠G.所以∠ADC=∠BDF. c D (第3题) 4.延长AD交BC于点F.因为BE平分∠ABC,所以 ∠ABD=∠FBD.因为BD⊥AD,所以∠ADB= ∠FDB=90°.在△ABD和△FBD中， ∠ABD=∠FBD, BD=BD, 所以△ABD≌△FBD.所以∠2= ∠ADB=∠FDB ∠DFB.因为∠DFB=∠1+∠C,所以∠2=∠1+∠C. 5.因为∠ABC=∠C=∠D=90°，所以∠BAD=90°.如 图，延长CB到点H,使得BH=DF,连结AH.因为 ∠ABE=90°，所以∠ABH=∠D=90°.在△ABH和 AB=AD, △ADF中，∠ABH=∠D,所以△ABH≌△ADF.所 BH=DF, 以AH=AF,∠BAH=∠DAF.所以∠BAH+ ∠BAF=∠DAF+∠BAF,即∠HAF=∠BAD=9O°.因 为BE+DF=EF,所以BE+BH=EF,即EH=EF.在 (AH=AF, △AEH和△AEF中，AE=AE,所以△AEH≌ EH=EF. △AER.所以∠EAH-∠EAE.所以∠EAF=2∠HAF- 45° H B E C (第5题) 6.如图，延长CD至，点F,使DF=DC,连结AF.因为D 是AB的中点，所以DA=DB.在△DAF和△DBC中， DF=DC, ∠ADF=∠BDC,所以△DAF≌△DBC.所以∠F= DA=DB, ∠BCD,AF=BC.因为AE=BC,所以AE=AF.所以 ∠F=∠DEA.所以∠DEA=∠BCD. c (第6题)》 7.如图，延长AM至点N,使NM=AM,连结BN.因为 M为BC的中点，所以BM=CM.在△AMC和△NMB AM=NM, 中， ∠AMC=∠NMB,所以△AMC≌△NMB.所以 CM=BM, AC=NB,∠C=∠NBM.所以∠ABN=∠ABC+ ∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC.因为AB LAE, AD⊥AC,所以∠BAE=∠CAD=90°.所以∠EAD= 360°-∠BAE一∠CAD一∠BAC=180°-∠BAC.所以 ∠ABN=∠EAD.因为AD=AC,所以AD=BN.在 (BN=AD, △ABN和△EAD中， ∠ABN=∠EAD,所以 AB=EA, △ABN≌△EAD.所以NA=DE.所以DE=2AM. E (第7题) 方法归纳 运用倍长中线法解决与中线有关的问题 如果图中给出的已知条件中的线段或角的位置相 对比较分散，而三角形又给出了中线，那么可以倍长这 条中线，使得分散的条件在图形中能够相对集中，再运 用其中的线段、角之间隐含的关系解决问题 8.D解析：在AP上截取AF=AC,连结DF.因为AD 是∠FAC的平分线，所以∠DAF=∠DAC.又因为AF= AC,AD=AD,所以△DAF≌△DAC.所以DF=DC.因 为DB+DF>BF,BF=AB+AF,所以DB+DC> AB+AC. 9.在BC上截取FB=AB,连结EF.因为BE平分∠ABC, CE平分∠BCD,所以∠ABE=∠FBE,∠FCE= AB=FB, ∠DCE.在△ABE和△FBE中，∠ABE=∠FBE,所以 BE=BE, △ABE≌△FBE.所以∠A=∠BFE.因为AB∥CD,所 以∠A十∠D=180°.所以∠BFE+∠D=180°.因为 ∠BFE+∠CFE=180°，所以∠CFE=∠D.在△FCE和 ∠CFE=∠D, △DCE中 ∠FCE=∠DCE,所以△FCE≌△DCE.所 CE=CE. 以CF=CD.所以BC=FB+CF=AB十CD. 10.如图，延长AC至点M,使AM=AB,连结PM.在 AB=AM, △ABP和△AMP中， ∠1=∠2，所以△ABP≌ AP=AP, △AMP.所以PB=PM.在△PCM中，根据三角形的三 边关系，得CM>PM-PC,所以AM-AC>PB一 PC.所以AB-AC>PB-PC. M (第10题) 11.(1)因为∠BAC=90°，∠B=60°，所以∠ACB= 180°-90°-60°=30°.因为AD,CE分别平分∠BAC, ∠ACB.所以∠C0=号∠BAC=45,∠AC0- 号∠ACB=15所以∠A0E=∠CA0+∠A00=45'+ 15°=60°.(2)在AC上截取AF=AE,连结OF.因为AD 平分∠BAC,所以∠EAO=∠FAO.在△AOE和△AOF AE-AF, 中，〈∠EAO=∠FAO,所以△AOE≌△AOF.所以 AO=AO, ∠AOE=∠AOF.由(1)，知∠AOE=60°，所以∠AOF= 60°，∠COD=60°.所以∠COF=180°-∠AOF- ∠AOE=60°.所以∠COF=∠COD.因为CE平分 ∠ACB,所以∠FCO=∠DCO.在△COF和△COD中， ∠COF=∠COD, RCO=CO, 所以△COF≌△COD.所以CF= ∠FCO=∠DCO, CD.所以AC=AF+CF=AE十CD. 专题二特殊三角形中的分类讨论 1.D 一方法归纳 求等腰三角形的顶角或底角的度数的分类策略 已知等腰三角形的一个角为α，确定顶角或底角的 度数时，分三种情况讨论：①若a为钝角，则α为顶角， 底角的度教为(180-a).②若a为直角，则。为顶 角，该三角形为等腰直角三角形，底角为45°.③若α为 锐角，则当a为顶角时，底角的度教为了(180-@)：当 a为底角时，顶角的度数为180°一2a. 2.A解析：设B=x,则a=2x一20°.分情况讨论：①当 B是顶角，a是底角时，x十2(2x-20)=180°，解得x= 44°.所以顶角的度数是44°.②当B是底角，a是顶角时， 2x+2x一20°=180°，解得x=50°.所以顶角的度数是2× 50°-20°=80°.③当B与a都是底角时，x=2x-20°，解 得x=20°.所以顶角的度数是180°-20°×2=140°.综上2整合提优 专题一添加辅助线构造全等三角形 专题解读 进行几何证明与计算时，常需要添加辅助线.辅助线可将分散的条件集中，明确线段或角之间 的数量或位置关系，从而顺利解题.常见的辅助线作法如下：构造法、翻折法、旋转法、倍长中线法、 截长补短法.上述方法的核心目的，均是构造全等三角形，转化边角条件以解决问题 类型一构造法 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= CB,D为BC的中点，CE⊥AD于点E,延长 1.如图，若AB=AC,BD=CD,∠BAC=80°， CE交AB于点F,连结DF.求证： ∠BDC=120°，求∠B的度数， ∠ADC=∠BDF. (第1题) D (第3题) 2.如图，D为锐角∠ABC内一点，点M在边 BA上，点N在边BC上，DM=DN, ∠BMD+∠BND=180°.求证：BD平分 ∠ABC. (第2题) 15 客期升级训练 数学（浙教版）八年级 类型二翻折法 类型四倍长中线法 4.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线， 6.如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是边 AD⊥BE,垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C. DC上的一点，且AE=BC.求证：∠DEA= ∠BCD. D (第4题) D (第6题) 类型三」旋转法 5.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠C= ∠D=90°，AB=AD,E为BC上的一点，F 为CD上的一点，BE+DF=EF,求∠EAF 7.★如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥ 的度数. AC,M为BC的中点.求证：DE=2AM. B E B M (第5题) (第7题) 16 2整合提优 类型五截长补短法 10.如图，在△ABC中，AB>AC,∠1=∠2，P 为AD上任意一点.求证：AB-AC> 8.如图，AD是△ABC的外角∠PAC的平分 PB-PC. 线.下列结论中，一定正确的是 ( D (第10题)》 (第8题) A.AD+BC=AB+CD B.AB+AC=DB+DC C.AD+BC<AB+CD D.DB+DC>AB+AC 9.如图，AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分 ∠BCD,点E在AD上.求证：BC=AB十 CD. 11.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B= 60°，AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,且 (第9题) 相交于点O. (1)求∠AOE的度数. (2)求证：AC=AE+CD, D (第11题) 17