3.3.2 抛物线的简单几何性质（讲义，知识点&5大题型&刷好题）高二数学人教A版选择性必修第一册

司 第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质 课标要点 1.结合抛物线的标准方程，掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质。 2.能利用抛物线的几何性质画出抛物线简图，会根据几何性质求解抛物线方程，解决简单的几何问题。 3.通过类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法，进一步体会解析几何用代数方法研究几何问题的基本思想，提升直观想象、数学运算素养。 4.了解抛物线的通径，能运用抛物线的定义与几何性质处理抛物线上点到焦点、准线的距离问题。 学习重难点 重点： 1.抛物线范围、对称性、顶点、离心率等几何性质的理解。 2.利用抛物线几何性质，由方程分析图像特征、由几何条件求抛物线标准方程。 3.抛物线定义结合几何性质解决抛物线上点的距离转化问题。 难点： 1.辨析抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异，理解抛物线只有一条对称轴、无中心、离心率固定e=1的特殊性。 2.抛物线焦点、准线、通径相关的综合计算，灵活实现抛物线上点到焦点距离与到准线距离的转化。 3.直线与抛物线相交问题，特别是直线与抛物线只有一个交点的两种情况（相切、直线平行于对称轴），避免误判为仅相切。 知识点 抛物线的几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 2、四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 教材延伸 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： （1）抛物线、椭圆和双曲线都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形． （2）顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点． （3）焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点． （4）离心率取值范围不同，椭圆的离心率取值范围是，双曲线的离心率取值范围是，抛物线的离心率是． （5）椭圆和双曲线都有2条准线，而抛物线只有1条准线． （6）椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，所以在画抛物线时切忌将其画成双曲线的一支的形式． 随学随练 1．（2026·湖北·二模）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南曲靖·阶段检测）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（    ） A． B． C．2 D．1 知识点 直线与抛物线的位置关系（重点） 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 3、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 随学随练 1．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知抛物线与直线无公共点，则实数可以为（    ） A． B． C． D．2 2．（25-26高二上·陕西安康·期末）若直线与曲线有且仅有一个公共点，则_______. 知识点 抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦． 2、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则． （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，． （6）为定值． 随学随练 1．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广西南宁·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且，则______． 拓展 有关定值问题的处理方法 灵活运用“设而不求”的技巧，可巧妙处理抛物线中有关定值的问题，其关键是设出相关点的坐标，根据题意进行字母形式的代数运算，进而化简，最终得到结果定值的结论.特别提醒：化简运算的基本功必须过关，否则，对目标问题的求解很难顺利完成． 活学活用 1．（24-25高二上·湖南株洲·阶段检测）已知抛物线C：上的一点到焦点F的距离为2． (1)求抛物线C的方程； (2)直线l过抛物线C的焦点F与抛物线交于A，B两点，且都垂直于直线：，垂足为，直线与y轴的交点为Q，求证：为定值． 2．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知为抛物线的焦点，是的准线，是与轴的交点，点到的距离为2. (1)求的方程. (2)已知过点的直线交于两点. （i）证明：. （ii）若，求. 拓展 有关定点问题的处理方法 抛物线往往与直线、圆、向量等知识交汇在一起.处理有关定点问题时，一般需要灵活运用“设而不求”的解题技巧，可充分利用直线方程的点斜式或斜截式，巧妙证明直线恒过定点问题.处理是否存在定点问题时，往往需要这样分析：先假设存在，再合情推理，以便具体考查是否存在． 活学活用 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 2．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． (1)求的值； (2)倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； (3)是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 题型 由抛物线方程研究几何性质 ▌例1 （25-26高二上·江西赣州·期中）（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 解题贴士 先将方程化为标准形式，定位开口方向，确定参数；依据标准式直接读出焦点坐标、准线方程；再分析顶点、对称轴、范围、离心率（抛物线离心率恒为）；注意区分一次项变量，一次项对应对称轴，一次项正负决定开口方向． ▌对点练1-1 （24-25高二下·云南·期中）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． ▌对点练1-2 （24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3 （25-26高二上·贵州·阶段检测）如图，艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后得到的三条曲线与C 组合而成的图形，其中，分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形 ABDE 的周长为64，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 题型 由几何性质求抛物线的方程 ▌例2 已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为______． 解题贴士 先判断焦点位置、开口方向，设对应形式的标准方程（不确定焦点位置可设或\(x^2=ny\)简化计算）；利用已知条件求出，列式求解参数；求出后验证焦点、准线是否与题干条件匹配。 ▌对点练2-1 （25-26高二下·河南周口·期末）已知抛物线C：（）的焦点为，直线：与抛物线在第一象限的交点为．若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 （24-25高二上·辽宁·期末）过倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，且满足，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-3 （24-25高二上·江西南昌·阶段检测）抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为________ 题型 直线与抛物线的位置关系 ▌例3 （25-26高二上·北京延庆·期末）已知直线和抛物线，那么“与相切”是“与只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解题贴士 直线与抛物线交点问题的解题思路 1、判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数． 2、直线与抛物线有一个公共点时有两种情形： （1）直线与抛物线的对称轴重合或平行；（2）直线与抛物线相切． ▌对点练3-1 （25-26高二上·新疆喀什·期末）过点与曲线相切的直线方程为______． ▌对点练3-2 （25-26高二上·湖南永州·阶段检测）过点且与抛物线只有一个公共点的直线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练3-3 （25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 题型 直线与抛物线的交点及弦长问题 ▌例4 （24-25高二上·湖北·期末）已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 解题贴士 代数法解焦点弦问题的技巧 1、巧设直线方程：如直线经过，若设直线方程为，则斜率不存在的情况需单独讨论。所以可将直线方程设为． 2、巧消未知数：解与抛物线有关的问题用代数法消元时，消去抛物线方程中的一次项计算量更小，如若抛物线方程为，则消去的计算量更小． 3、巧用结论解决问题．（运用知识点3的相关性质结论做客观题时可节省大量时间） ▌对点练4-1 （25-26高二下·福建泉州·期中）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 ▌对点练4-2 （25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． ▌对点练4-3 （25-26高二下·四川自贡·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 题型 抛物线的中点弦问题 ▌例5 （25-26高二上·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 解题贴士 解决中点弦问题的基本方法是点差法、利用根与系数的关系，直线与抛物线的方程联立时消有时更简捷，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解． 一般地，已知抛物线上两点，，则， 直线的方程为．线段的垂直平分线的方程为． ▌对点练5-1 （25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-2 （25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，设线段的中点为，则到轴的最小距离为___________． ▌对点练5-3 （24-25高二下·福建福州·阶段检测）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则的值为__________ ． 基础通关 1．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）过抛物线的焦点且垂直于轴的弦长度为2，则正数的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·宁夏吴忠·阶段检测）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 6．（25-26高二上·浙江衢州·期末）（多选）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．当的倾斜角为时， C．当垂直于轴时，弦长最小 D． 7．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知抛物线，过点作抛物线的切线，则切线方程为_____. 8．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线l交抛物线于两点，则线段的长为________. 9．（24-25高二上·天津河东·期末）记抛物线的焦点为F，为抛物线上一点，，直线与拋物线另一交点为B，则________． 10．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）已知直线：. (1)若直线：与垂直，求的值； (2)若直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，求证：. 素养提升 11．（25-26高二上·北京西城·期末）已知抛物线，准线为，点，点在抛物线上，且点到直线的距离与到点的距离相等，则的面积为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上，且满足，，若线段中点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知抛物线，抛物线，与各有一个交点的直线有（    ） A．一条 B．两条 C．三条 D．无数条 14．（25-26高二上·云南大理·期末）已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，且，则直线倾斜角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·湖北荆州·阶段检测）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为______． 迁移创新 16．（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高三上·江苏南通·阶段检测）（多选）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（    ） A．开口向上的抛物线的方程为 B． C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D．阴影区域的面积大于4 18．（25-26高二上·广东清远·阶段检测）已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； (3)若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质 课标要点 1.结合抛物线的标准方程，掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质。 2.能利用抛物线的几何性质画出抛物线简图，会根据几何性质求解抛物线方程，解决简单的几何问题。 3.通过类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法，进一步体会解析几何用代数方法研究几何问题的基本思想，提升直观想象、数学运算素养。 4.了解抛物线的通径，能运用抛物线的定义与几何性质处理抛物线上点到焦点、准线的距离问题。 学习重难点 重点： 1.抛物线范围、对称性、顶点、离心率等几何性质的理解。 2.利用抛物线几何性质，由方程分析图像特征、由几何条件求抛物线标准方程。 3.抛物线定义结合几何性质解决抛物线上点的距离转化问题。 难点： 1.辨析抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异，理解抛物线只有一条对称轴、无中心、离心率固定e=1的特殊性。 2.抛物线焦点、准线、通径相关的综合计算，灵活实现抛物线上点到焦点距离与到准线距离的转化。 3.直线与抛物线相交问题，特别是直线与抛物线只有一个交点的两种情况（相切、直线平行于对称轴），避免误判为仅相切。 知识点 抛物线的几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 2、四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 教材延伸 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： （1）抛物线、椭圆和双曲线都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形． （2）顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点． （3）焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点． （4）离心率取值范围不同，椭圆的离心率取值范围是，双曲线的离心率取值范围是，抛物线的离心率是． （5）椭圆和双曲线都有2条准线，而抛物线只有1条准线． （6）椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，所以在画抛物线时切忌将其画成双曲线的一支的形式． 随学随练 1．（2026·湖北·二模）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为. 2．（24-25高二下·云南曲靖·阶段检测）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】设，（）， 由，得，所以． 因为在圆上，所以，得，故选：A． 知识点 直线与抛物线的位置关系（重点） 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 3、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 随学随练 1．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知抛物线与直线无公共点，则实数可以为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由题意有：， 所以，解得，故选：C. 2．（25-26高二上·陕西安康·期末）若直线与曲线有且仅有一个公共点，则_______. 【答案】 【解析】联立方程组，可得， 因为直线与曲线有且仅有一个公共点， 所以，解得. 知识点 抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦． 2、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则． （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，． （6）为定值． 随学随练 1．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的焦点为， 直线的方程为， 由，解得， 所以.故选：D 2．（25-26高二上·广西南宁·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且，则______． 【答案】4 【解析】由抛物线定义可知，因为，所以为等边三角形， 故，，所以， 其中准线l与x轴交点为P，则，故，所以． 拓展 有关定值问题的处理方法 灵活运用“设而不求”的技巧，可巧妙处理抛物线中有关定值的问题，其关键是设出相关点的坐标，根据题意进行字母形式的代数运算，进而化简，最终得到结果定值的结论.特别提醒：化简运算的基本功必须过关，否则，对目标问题的求解很难顺利完成． 活学活用 1．（24-25高二上·湖南株洲·阶段检测）已知抛物线C：上的一点到焦点F的距离为2． (1)求抛物线C的方程； (2)直线l过抛物线C的焦点F与抛物线交于A，B两点，且都垂直于直线：，垂足为，直线与y轴的交点为Q，求证：为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）根据抛物线的定义， 点到焦点F的距离等于点到准线的距离， 则准线方程为，所以，解得， 从而抛物线C的方程为； （2）证明：由于，由题意知的斜率一定存在设，直线：， 设，, 则，得所以，， ， 又 = 所以为定值. AI 2．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知为抛物线的焦点，是的准线，是与轴的交点，点到的距离为2. (1)求的方程. (2)已知过点的直线交于两点. （i）证明：. （ii）若，求. 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）. 【解析】（1）由题可知，焦点到准线的距离，故. （2）（i）证明： 由（1）可知，焦点 设直线为，易知直线不垂直于轴，故可设，设， 联立直线与抛物线，，消去得， ，， 则，， 因此，. （ii）由(1)知，则， 又因为， 则. 设，由（i）可知，，故，故. ， 则. 令，则， 两边平方后，整理得，解得，即， 由对称性不妨设，则， 即，因此. 拓展 有关定点问题的处理方法 抛物线往往与直线、圆、向量等知识交汇在一起.处理有关定点问题时，一般需要灵活运用“设而不求”的解题技巧，可充分利用直线方程的点斜式或斜截式，巧妙证明直线恒过定点问题.处理是否存在定点问题时，往往需要这样分析：先假设存在，再合情推理，以便具体考查是否存在． 活学活用 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）抛物线关于轴对称，而点关于轴对称， 若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意， 因此点必在抛物线上，，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由消去得，设， 则，线段的中点， 同理得线段的中点，当时，直线斜率， 直线方程为，整理得，直线过定点， 当时，或，直线过定点， 所以直线过定点.    2．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． (1)求的值； (2)倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； (3)是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 【答案】(1)2；(2)16；(3)证明见解析 【解析】（1）抛物线的焦点， 由题意可得：，即，， 解得或，又因为，所以． （2）由（1）可得抛物线方程为，， 所以直线的方程为，设，， 联立，得， ， 所以，， . （3）证明：设，，的方程为． 由，得， 所以，，． 易知直线，的斜率存在， 设直线的方程为， 由，得． 由，解得， 所以直线的方程为，即． 同理可得，直线的方程为． 设，代入直线、中，，， 即，， 所以，可看作方程的两根， 所以，又，所以． 所以直线的方程为，故直线过定点． 题型 由抛物线方程研究几何性质 ▌例1 （25-26高二上·江西赣州·期中）（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【解析】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误.故选：AC 解题贴士 先将方程化为标准形式，定位开口方向，确定参数；依据标准式直接读出焦点坐标、准线方程；再分析顶点、对称轴、范围、离心率（抛物线离心率恒为）；注意区分一次项变量，一次项对应对称轴，一次项正负决定开口方向． ▌对点练1-1 （24-25高二下·云南·期中）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】设正三角形的边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称， 可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为.故选：D. ▌对点练1-2 （24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故选：A. ▌对点练1-3 （25-26高二上·贵州·阶段检测）如图，艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后得到的三条曲线与C 组合而成的图形，其中，分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形 ABDE 的周长为64，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【解析】由题意知，“四角花瓣”图形是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后， 得到的三条曲线与组合而成的图形， 其中分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形的周长为， 根据“四角花瓣”图形的对称性，可得四边形为正方形，所以正方形边长为， 则点的坐标为，将代入抛物线的方程，可得，解得. 题型 由几何性质求抛物线的方程 ▌例2 已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为______． 【答案】 【解析】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，则两点关于轴对称， 轴是等边三角形边的垂直平分线，不妨取在第一象限， 如图，由，，得， 将代入抛物线方程中得， 所以，抛物线方程为． 解题贴士 先判断焦点位置、开口方向，设对应形式的标准方程（不确定焦点位置可设或\(x^2=ny\)简化计算）；利用已知条件求出，列式求解参数；求出后验证焦点、准线是否与题干条件匹配。 ▌对点练2-1 （25-26高二下·河南周口·期末）已知抛物线C：（）的焦点为，直线：与抛物线在第一象限的交点为．若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立，得或（舍），则， 则，得， 则抛物线的方程为. ▌对点练2-2 （24-25高二上·辽宁·期末）过倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，且满足，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过倾斜角为的直线的方程为，设， 联立，消去，可得， 所以， 又，所以，所以， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即.故选：A. ▌对点练2-3 （24-25高二上·江西南昌·阶段检测）抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为________ 【答案】 【解析】根据题意过点做轴垂线垂足为，做直线垂线垂足为， 由抛物线定义可得, 所以可得点坐标横坐标为，代入抛物线可得点纵坐标为， 又因的面积为，所以可得， 所以可求得，则抛物线方程为. 题型 直线与抛物线的位置关系 ▌例3 （25-26高二上·北京延庆·期末）已知直线和抛物线，那么“与相切”是“与只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若直线与抛物线相切，则直线与只有一个公共点， 若直线与只有一个公共点，则直线与抛物线相切或直线与对称轴平行， 所以“与相切”是“与只有一个公共点”的充分不必要条件.故选：A 解题贴士 直线与抛物线交点问题的解题思路 1、判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数． 2、直线与抛物线有一个公共点时有两种情形： （1）直线与抛物线的对称轴重合或平行；（2）直线与抛物线相切． ▌对点练3-1 （25-26高二上·新疆喀什·期末）过点与曲线相切的直线方程为______． 【答案】 【解析】由题可知切线的斜率存在，设切线方程为， 联立，消去整理得， ，即，解得， 所以过点的切线方程为，即. ▌对点练3-2 （25-26高二上·湖南永州·阶段检测）过点且与抛物线只有一个公共点的直线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由可知，抛物线开口朝右，则过点的直线斜率不存在时，抛物线有两个交点，不符合题意； 当斜率为时，直线与抛物线有一个交点，符合题意； 当斜率存在且不为时，设直线方程为，即， 联立方程组得，消去得， 当直线与抛物线只有一个交点时，可知， 即，化简得，解得或， 综上，过点且与抛物线只有一个公共点的直线有3条.故选：C. ▌对点练3-3 （25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 【答案】D 【解析】设直线的方程为， 即，由消去得：， 当时，直线与抛物线相交，只有一个公共点，故A错误； 当时，， 当时，解得或， 此时方程组有两个相同的实数解，直线与抛物线相切，只有一个公共点， 所以直线与抛物线只有一个公共点时，直线的斜率分别为，故C错误； 当时，解得，此时方程组有两个不同的实数解， 故直线与抛物线交于两点，故B错误； 当时，解得，此时方程组没有实数解， 知直线与抛物线相离，没有公共点，故D正确.故选：D. 题型 直线与抛物线的交点及弦长问题 ▌例4 （24-25高二上·湖北·期末）已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】设，由已知， 由焦半径公式可得 所以，所以.故选：B. 解题贴士 代数法解焦点弦问题的技巧 1、巧设直线方程：如直线经过，若设直线方程为，则斜率不存在的情况需单独讨论。所以可将直线方程设为． 2、巧消未知数：解与抛物线有关的问题用代数法消元时，消去抛物线方程中的一次项计算量更小，如若抛物线方程为，则消去的计算量更小． 3、巧用结论解决问题．（运用知识点3的相关性质结论做客观题时可节省大量时间） ▌对点练4-1 （25-26高二下·福建泉州·期中）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】 由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即.故选：D. ▌对点练4-2 （25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 【答案】(1)；(2)， 【解析】（1）由抛物线的定义可知，所以， 即抛物线的方程为； （2）设， 直线与抛物线联立方程组可得， 则，， 所以，， 所以，中点坐标为，. ▌对点练4-3 （25-26高二下·四川自贡·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）已知点在抛物线上， 代入方程得，解得，因此抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线焦点. ①当直线斜率不存在时，则， 代入得，此时，不合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立方程得，整理得，恒成立， 由韦达定理得. 则，因此， 所以，解得，即， 因此直线的方程为或. 题型 抛物线的中点弦问题 ▌例5 （25-26高二上·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】设，，则， 由：作差得， 得.故选：A 解题贴士 解决中点弦问题的基本方法是点差法、利用根与系数的关系，直线与抛物线的方程联立时消有时更简捷，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解． 一般地，已知抛物线上两点，，则， 直线的方程为．线段的垂直平分线的方程为． ▌对点练5-1 （25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，则， 由：作差得， 得， 所以直线方程为，即.故选：C ▌对点练5-2 （25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，设线段的中点为，则到轴的最小距离为___________． 【答案】 【解析】由抛物线，得焦点为，准线方程为， 设， 因为线段的中点为， 所以，且到轴的距离为， 由抛物线定义及三角形三边关系定理， 可知， 当且仅当三点共线时等号成立， 则，即到轴的最小距离为. ▌对点练5-3 （24-25高二下·福建福州·阶段检测）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则的值为__________ ． 【答案】3 【解析】由题知，，故抛物线方程为． 设，易知， 则，由点差法可得 又是线段AB的中点，所以，所以直线l的斜率 因为直线l过焦点，所以，可得． 基础通关 1．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）过抛物线的焦点且垂直于轴的弦长度为2，则正数的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】由抛物线可得焦点坐标为， 当时，，所以， 又因为过抛物线的焦点且垂直于轴的弦长度为2，所以， 所以.故选：B. 2．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为.故选：A. 3．（24-25高二上·宁夏吴忠·阶段检测）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由题意，抛物线的焦点为，， 故斜率为且过点的直线方程为， 设，， 联立，整理得， 根据韦达定理得， 所以.故选：B. 4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 当时，即点的坐标为时，取最小值， 则点到直线的距离的最小值是. 5．（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 【答案】BCD 【解析】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误． 对于B，设点，由抛物线的定义可得， 可得，所以线段的中点到轴的距离为，故B正确． 对于C，因的中点为  该点到轴的距离为， 故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确． 对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，即D正确． 故选：BCD. 6．（25-26高二上·浙江衢州·期末）（多选）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．当的倾斜角为时， C．当垂直于轴时，弦长最小 D． 【答案】ABC 【解析】由抛物线：可得焦点，准线方程为，故A正确； 如图根据抛物线的定义可知：，， 由，故B正确； 设，则， 同理可得：， 所以， 此时取到最小值，故C正确； 由上可得：，故D错误；故选：ABC 7．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知抛物线，过点作抛物线的切线，则切线方程为_____. 【答案】或 【解析】由题知切线斜率存在，设， 联立，得到， ，解得或， 则切线方程为或． 8．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线l交抛物线于两点，则线段的长为________. 【答案】13 【解析】由抛物线 的焦点为 ，可得 ，即 ， 抛物线方程为 ， 过焦点 且斜率为 的直线 方程为 ， 联立抛物线方程与直线方程：， 得，整理得 ， 设 ， ，则 ， ， 弦长公式为： 9．（24-25高二上·天津河东·期末）记抛物线的焦点为F，为抛物线上一点，，直线与拋物线另一交点为B，则________． 【答案】 【解析】因为，由拋物线定义可知到准线距离为，即，解得， 即抛物线方程为，不妨取，又， 则直线的斜率, 所以， 联立，消去整理得，解得，， 即点的横坐标为，则. 10．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）已知直线：. (1)若直线：与垂直，求的值； (2)若直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题知直线的斜率， 设直线的斜率为，则， 因为，所以，解得. （2）直线：与抛物线的方程联立， 消去，得，， 设，，则， 所以，所以. 素养提升 11．（25-26高二上·北京西城·期末）已知抛物线，准线为，点，点在抛物线上，且点到直线的距离与到点的距离相等，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线，其焦点,准线方程为， 因点在抛物线上，且点到直线的距离与到点的距离相等， 则有,即为等腰三角形，又点， 则点的横坐标为，将其代入，解得，即， 故的面积为.故选：C. 12．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上，且满足，，若线段中点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由抛物线定义可得的准线为， 则，， 由，得， 又中点纵坐标为，即，得， 联立，解得， 又因为在第一象限且在抛物线上， 所以，，得， 由两点距离公式，得， 代入，得． 13．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知抛物线，抛物线，与各有一个交点的直线有（    ） A．一条 B．两条 C．三条 D．无数条 【答案】C 【解析】当直线为轴所在直线或轴所在直线时，如图，此时显然满足条件； 当直线分别与相切时，如图，不妨设， 联立可得， 所以，所以，所以， 联立可得， 所以，所以， 由解得， 所以满足题意， 综上所述，满足条件的直线有三条.故选：C. 14．（25-26高二上·云南大理·期末）已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，且，则直线倾斜角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，. 由抛物线方程可知其焦点坐标为. 由可知三点共线，即直线过抛物线的焦点， 且直线的斜率必存在，设直线的斜率为，其倾斜角为，则. 则直线的方程为，将其代入抛物线方程， 消去，可得，则有. 又由，可得，即， 联立， 因为， 所以解得，或（舍去），所以， 所以直线的斜率. 所以，解得. 因为，所以. 所以直线的倾斜角的正弦值为.故选：D 15．（25-26高二上·湖北荆州·阶段检测）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为______． 【答案】 【解析】显然直线不垂直于轴，如图所示，故设直线的方程为, 联立直线的方程与抛物线方程得,消去得, 由弦AB的中点为，结合韦达定理和中点坐标公式得， 此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 迁移创新 16．（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得：圆与抛物线相切于点，即只有一个交点. 由，得，解得，或. 所以，所以. 圆与抛物线相切， 恰有两个切点，且两个切点纵坐标相等并大于零. 由，得. 所以，即. 整理得：，解得. 综上的取值范围为.故选：A. 17．（24-25高三上·江苏南通·阶段检测）（多选）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（    ） A．开口向上的抛物线的方程为 B． C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D．阴影区域的面积大于4 【答案】ACD 【解析】由题意得开口向右的抛物线方程为，焦点为， 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为， 则其方程为，故A选项正确； 由得或，即，所以， 由对称性得，，所以，故B错误； 如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点、， 由得， 由得， 所以，， 所以， 有图知直线经过点时取最大值，经过点时取最小值， 即在第一象限部分满足， 设，则，故， 代入得， 当时，取最大值，故C正确； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同， 所以可以先求部分面积的近似值， 如图， 在（）取一点，使过点的切线与直线平行， 由可得切点坐标为， 因为，所以点到直线的距离， 所以， 由图知半个花瓣的面积必大于， 所以阴影区域的面积大于，故D正确.故选：ACD. 18．（25-26高二上·广东清远·阶段检测）已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； (3)若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3). 【解析】（1）由抛物线的准线方程为，得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设直线：，点， 由消去得，则， 因此，为常数， 所以的值与直线的倾斜角的大小无关. （3）设，则，，， 令，函数图象的对称轴为直线， 当，即时，，则； 当，即时，，则， 所以. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $