3.3.2 抛物线的简单几何性质（思维导图+5大知识点+7大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版选择性必修第一册）

本讲义聚焦抛物线的简单几何性质，系统梳理范围、对称性、顶点等基础性质，对比不同标准方程的几何特征，推导焦半径公式，延伸直线与抛物线位置关系及弦长问题，构建从基础到综合应用的递进式学习支架。 资料含思维导图辅助知识体系构建，设7大题型（如开口、焦半径、定点定值），配例题与变式题，通过表格对比与逻辑推理训练数学思维，培养几何直观与模型意识，课中助力教师教学，课后便于学生查漏补缺。

3．3．2 抛物线的简单几何性质 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、抛物线的简单几何性质： 4 知识点二、抛物线标准方程几何性质的对比 4 知识点三、焦半径公式 5 知识点四、直线与抛物线的位置关系 5 知识点五、直线与抛物线相交弦长问题 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：抛物线的开口问题 7 题型二：抛物线的范围问题 8 题型三：抛物线对称性的应用 9 题型四：焦半径问题 9 题型五：弦长问题 11 题型六：根据抛物线的对称性求参数问题 11 题型七：定点定值问题 12 知识点一、抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 对称性：关于x轴对称 顶点：坐标原点 离心率：． 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 知识点二、抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 知识点三、焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为． 1、抛物线，． 2、抛物线，． 3、抛物线，． 4、抛物线，． 知识点四、直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点． （2）直线的斜率存在． 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 知识点五、直线与抛物线相交弦长问题 1、弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）， （3）直线的方程为． 题型一：抛物线的开口问题 【例题1】在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·高三·江苏·开学考试）已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 【变式1】（2025·高二·浙江绍兴·期末）下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 【变式2】（2025·高二·重庆·期末）已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·高二·江苏扬州·期中）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 题型二：抛物线的范围问题 【例题3】（2025·陕西咸阳·三模）已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【例题4】（2025·安徽·模拟预测）已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·高二·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2025·高二·重庆·月考）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6】（2025·高二·北京·月考）已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，点在曲线上，给定点，则下列说法中不正确的是（    ） A．任意，都存在点，使得 B．任意，都存在点，满足这对点关于点对称 C．存在，当点运动时，使得 D．任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称 题型三：抛物线对称性的应用 【例题5】（2025·高二·云南曲靖·月考）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【例题6】（2025·高二·云南·期中）已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式7】（2025·高二·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式8】（2025·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9】（2025·全国·模拟预测）已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 题型四：焦半径问题 【例题7】（多选题）（2025·高二·河南漯河·期中）设抛物线的焦点为，直线交于两点（在不同的象限），交轴于点，且，过作的准线的垂线，垂足为，设点.则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B． C．直线的方程为 D．直线与直线关于直线对称 【例题8】（多选题）（2025·高二·辽宁大连·期中）已知抛物线的焦点为，点为上两个相异的动点，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．设点，则的最小值为4 C．若，设的中点为，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则 D．若三点共线，则的最小值为4 【变式10】（多选题）（2025·高二·江西九江·月考）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到抛物线的准线的距离为4 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【变式11】（多选题）（2025·高二·吉林·月考）已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，过分别作准线的垂线，垂足依次为．若长的最小值为4，则（   ） A．若，则 B．若的倾斜角为，点在第一象限，则 C．若，则的斜率为1 D．若点在抛物线上，且，则 【变式12】（多选题）（2025·高二·河北邢台·期中）已知为坐标原点，是抛物线：的准线上的一点，过的焦点的直线与交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．为钝角三角形 C．直线的斜率的最大值为 D．若，则直线的斜率为2 题型五：弦长问题 【例题9】（2025·高三·河北·期中）已知O是坐标原点，等腰三角形AOB的顶点A，B在抛物线C上，且，若C的焦点F到直线AB的距离为，则 . 【例题10】垂直于x轴的直线交抛物线y2＝4x于A，B两点，且，则直线AB的方程为 ． 【变式13】（2025·湖南·一模）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的长为 ． 【变式14】抛物线的焦点为F过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则抛物线的方程为 ． 【变式15】（2025·高三·贵州·月考）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，线段PQ的中点的纵坐标为1，且，则 . 题型六：根据抛物线的对称性求参数问题 【例题11】（2025·江西景德镇·模拟预测）已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为 . 【例题12】（2025·高二·河南周口·月考）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则 ． 【变式16】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 【变式17】（2025·高二·福建福州·期末）如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的A点，当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的A点，则p的取值范围为   . 【变式18】（2025·高三·河南安阳·月考）已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上．若，则当取得最大值时， ． 【变式19】（2025·陕西·模拟预测）已知直线过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于，两点，若使的直线有且仅有1条，则 . 题型七：定点定值问题 【例题13】（2025·高二·江苏连云港·期中）在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过的直线交曲线于两点，过与直线垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． 求证：（ⅰ）直线过定点； （ⅱ）直线，的交点在定直线上． 【例题14】（2025·高二·河南驻马店·月考）已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与交于两点，且点与点关于轴对称. (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，求的值； (3)证明：直线恒过定点. 【变式20】（2025·高二·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线斜率为1，且过点，求线段的长度； (3)直线与拋物线交于不同于的、两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值. 【变式21】（2025·高二·河北邢台·期中）已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． (1)求的值； (2)倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； (3)是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 【变式22】是抛物线上的一个定点，是抛物线上两个动点，如果，问：动直线是否过定点？定点坐标是什么？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3．3．2 抛物线的简单几何性质 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、抛物线的简单几何性质： 4 知识点二、抛物线标准方程几何性质的对比 4 知识点三、焦半径公式 5 知识点四、直线与抛物线的位置关系 5 知识点五、直线与抛物线相交弦长问题 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：抛物线的开口问题 7 题型二：抛物线的范围问题 9 题型三：抛物线对称性的应用 13 题型四：焦半径问题 15 题型五：弦长问题 21 题型六：根据抛物线的对称性求参数问题 23 题型七：定点定值问题 27 知识点一、抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 对称性：关于x轴对称 顶点：坐标原点 离心率：． 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 知识点二、抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 知识点三、焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为． 1、抛物线，． 2、抛物线，． 3、抛物线，． 4、抛物线，． 知识点四、直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点． （2）直线的斜率存在． 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 知识点五、直线与抛物线相交弦长问题 1、弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）， （3）直线的方程为． 题型一：抛物线的开口问题 【例题1】在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，方程表示焦点在轴上的椭圆， 得，因，故该方程表示焦点在轴上开口向左的抛物线. 故选：D. 【例题2】（2025·高三·江苏·开学考试）已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】D 【解析】 由题意，设 由抛物线范围可知，， 所以如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0， 由AB中点M在上，可知，即， 所以， 即如图2，当点B在原点时,点A横坐标有最大值，为2. 故选：D. 【变式1】（2025·高二·浙江绍兴·期末）下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于对于抛物线的标准方程中， 开口最小：说明一次项的系数的绝对值最小， 观察四个选项发现：A选项一次项的系数的绝对值最小， 本题选择A选项. 【变式2】（2025·高二·重庆·期末）已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程，得或， 当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为正且在轴上截距为正的直线，故A，B，D不符合，C符合； 当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为负且在轴上截距为负的直线，故A，B，C，D均不符合， 综上，方程表示的曲线可能是C. 故选：C. 【变式3】（2025·高二·江苏扬州·期中）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.由题知，该抛物线的标准方程为， 则该抛物线开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 题型二：抛物线的范围问题 【例题3】（2025·陕西咸阳·三模）已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】如图，设，设，则， 所以， 又MP，MQ均与圆C相切，所以， 则， 所以 ， 又在单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 【例题4】（2025·安徽·模拟预测）已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记点，，则， 所以， 由，所以，当且仅当时，取最小值. 即点到点的距离的最小值为. 故选：C. 【变式4】（2025·高二·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 【变式5】（2025·高二·重庆·月考）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，所以 ， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 当时显然恒成立，当时恒成立， 所以，则，又，所以，即实数的取值范围为. 故选：B 【变式6】（2025·高二·北京·月考）已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，点在曲线上，给定点，则下列说法中不正确的是（    ） A．任意，都存在点，使得 B．任意，都存在点，满足这对点关于点对称 C．存在，当点运动时，使得 D．任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称 【答案】D 【解析】抛物线和的对称轴都为，因此封闭曲线关于轴对称， 对于A，任意，在曲线上取关于轴对称的两点，而点在轴上，有，A正确； 对于B，对每个值，过点垂直于轴的直线与曲线的交点关于点对称，B正确； 对于C，联立与解得或，取，即， 抛物线，即的焦点为，准线方程为， 点在上运动时，，， 抛物线可由抛物线向上平移5个单位而得， 抛物线，即的焦点为，准线为， 则抛物线的焦点为，准线方程为， 点在上运动时，，， 因此当点运动时，，恒有，C正确； 对于D，取，即，直线与抛物线的两个交点关于点对称， 在此抛物线上关于点对称的两点就只有一对，在抛物线上不存在两点关于点对称， 另外关于点对称的两点则分别在和上，不妨令， 此点关于点对称的点必在上，而方程， 即无解，则此时不存在关于点对称的两点分别在两条抛物线上，D错误. 故选：D 题型三：抛物线对称性的应用 【例题5】（2025·高二·云南曲靖·月考）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】设，（）， 由，得，所以． 因为在圆上，所以，得， 故选：A． 【例题6】（2025·高二·云南·期中）已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【解析】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为， 联立，消去可得：，解得， ，， 由抛物线的定义可得，， 根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点的两条互相垂直的弦， 可知，， 故， 故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为． 故选：D 【变式7】（2025·高二·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】设正三角形的边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为. 故选：D. 【变式8】（2025·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 则，即， 又因为，解得. 故选：D. 【变式9】（2025·全国·模拟预测）已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由抛物线的方程，得， 由抛物线的对称性，不妨设，， 当点的坐标为时，，， 因为，所以，则（不合题意，舍去）； 当点的坐标为时，， 因为，所以，则， 所以抛物线的准线方程为， 故选：A． 题型四：焦半径问题 【例题7】（多选题）（2025·高二·河南漯河·期中）设抛物线的焦点为，直线交于两点（在不同的象限），交轴于点，且，过作的准线的垂线，垂足为，设点.则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B． C．直线的方程为 D．直线与直线关于直线对称 【答案】BCD 【解析】如图，设与轴的交点为，过点作的准线的垂线，与轴的交点为， 因为，所以， 因为，所以，解得， 所以，A错误； ，B正确； 若在第一象限，由，得，所以， 同理， 所以直线的方程为； 同理若在第四象限直线的方程为 所以直线的方程为，C正确； ，由对称性不妨使在第一象限，由上可知， 所以，所以与垂直， 又因为垂直平分，所以与关于直线对称，D正确. 故选：BCD 【例题8】（多选题）（2025·高二·辽宁大连·期中）已知抛物线的焦点为，点为上两个相异的动点，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．设点，则的最小值为4 C．若，设的中点为，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则 D．若三点共线，则的最小值为4 【答案】ABD 【解析】对于A，因为抛物线C：的焦点为，所以抛物线C的准线方程为，所以A正确； 对于B，由题意可得抛物线的方程为，则点在抛物线外，如图，过点作垂直准线于，则，当三点共线时，取得最小值，最小值为4，所以B正确； 对于C，过分别作垂直准线，垂足分别为，则由梯形中位线定理可得，设，则，在中由余弦定理得， 因为，所以， 所以，所以，当且仅当时取等号，所以C错误， 对于D，由抛物线的性质可得当A，B，F三点共线，且 轴时，弦最短为抛物线的通径，所以D正确； 故选： 【变式10】（多选题）（2025·高二·江西九江·月考）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到抛物线的准线的距离为4 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【答案】ABD 【解析】对于A：抛物线的焦点，准线方程为：， 所以焦点到准线的距离为，A正确； 对于B：设直线，设， 则由得， 所以， 又由抛物线定义可得， 所以，B正确； 对于C：若的中点的纵坐标为，则，得， 所以，，C错误； 对于D：若，则，又， 所以，整理得，又， 所以，即，因为，所以， 所以，解得， 所以，D正确； 故选：ABD. 【变式11】（多选题）（2025·高二·吉林·月考）已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，过分别作准线的垂线，垂足依次为．若长的最小值为4，则（   ） A．若，则 B．若的倾斜角为，点在第一象限，则 C．若，则的斜率为1 D．若点在抛物线上，且，则 【答案】BD 【解析】由题意得抛物线的焦点，准线方程为， 因为长的最小值为4，所以，解得， 所以抛物线的方程为，则焦点，准线方程为， 对于A：由焦点弦的性质，将代入， 解得，故A错误； 对于B： 设直线的方程为，，， 联立，得， 所以，， 所以， ， 由抛物线的定义可得，， ，若的倾斜角为，则， 所以，，所以，，所以，， 所以，，所以，故B正确； 对于C：若，则，所以， 所以，所以，所以， 解得，所以直线的斜率为1或，故C错误； 对于D：设，， 由，得为的重心， 所以，， 所以，故D正确. 故选：BD. 【变式12】（多选题）（2025·高二·河北邢台·期中）已知为坐标原点，是抛物线：的准线上的一点，过的焦点的直线与交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．为钝角三角形 C．直线的斜率的最大值为 D．若，则直线的斜率为2 【答案】BCD 【解析】对于A，由题可知，则，则抛物线：，， 故，故A错误； 对于B，显然直线的斜率不为0，设，，：， 联立，得， 则， 且，，则， 所以， 所以，因为， 所以一定为钝角，故为钝角三角形，故B正确； 对于C，由B知，的中点的纵坐标为， 横坐标为， 所以直线的斜率为， 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线的斜率的最大值为，故C正确； 对于D，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，， 因为，所以， 因为为的中点，所以平行于轴， 因为，所以，则，即， 故直线的斜率为2，故D正确． 故选：BCD 题型五：弦长问题 【例题9】（2025·高三·河北·期中）已知O是坐标原点，等腰三角形AOB的顶点A，B在抛物线C上，且，若C的焦点F到直线AB的距离为，则 . 【答案】 【解析】在等腰三角形AOB中，，所以， 由抛物线的对称性可知A，B两点关于轴对称，即轴，所以， 不妨设点A在轴上方，则直线的斜率， 所以直线的方程为，设， 由于点A在抛物线上，所以，得（舍去）， 所以， 直线的方程为，又， 所以点F到直线AB的距离为，得， 所以，所以， 故答案为： 【例题10】垂直于x轴的直线交抛物线y2＝4x于A，B两点，且，则直线AB的方程为 ． 【答案】 【解析】设直线的方程为(为常数)； 把代入，得，解得， 所以交点A，B的坐标分别为和； ，得； 直线的方程为 故答案为：. 【变式13】（2025·湖南·一模）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的长为 ． 【答案】13 【解析】抛物线的焦点为， ， 抛物线的方程为． 直线的方程：， 联立 得， 设， 则 ． 另． 【变式14】抛物线的焦点为F过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【解析】，， 抛物线的方程为. 故答案为：. 【变式15】（2025·高三·贵州·月考）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，线段PQ的中点的纵坐标为1，且，则 . 【答案】1 【解析】设直线PQ的方程为，，. 由消去得，， 则，. 因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以，则. 因为，所以， 即，解得. 故答案为： 题型六：根据抛物线的对称性求参数问题 【例题11】（2025·江西景德镇·模拟预测）已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为 . 【答案】或 【解析】由题设的焦点为，且为已知圆的圆心， 又的半径，其与抛物线有两个交点，则， 由交点为，它们关于轴对称，若，又， 则，所以， 当，可得（负值舍）；当，可得（负值舍）； 综上，或. 故答案为：或 【例题12】（2025·高二·河南周口·月考）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则 ． 【答案】2 【解析】设抛物线上的点，即有，， 由是正三角形，得，则，即， 整理得，而，，， 因此，由抛物线对称性得点关于轴对称，即垂直于轴，且，不妨令， 则，而，于是，即， 因此，所以. 故答案为：2 【变式16】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 【答案】6 【解析】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 则另两个顶点关于x轴对称，不妨设如图示： 设等边三角形边长为a，则A点横坐标为， 则，代入得， 解得（舍）， 故等边三角形的边长为6， 故答案为：6 【变式17】（2025·高二·福建福州·期末）如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的A点，当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的A点，则p的取值范围为   . 【答案】 【解析】如图，由题意可得： 圆与只有一个交点， 联立方程，消去x得，解得或， 故，则， 圆与只有两个交点， 联立方程，消去x得， ∵，可得若有根，则两根同号， 根据题意可知：有且仅有一个正根， 故，则可得，解得， 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 【变式18】（2025·高三·河南安阳·月考）已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上．若，则当取得最大值时， ． 【答案】或4 【解析】在中，由余弦定理可得． ，． ，，当且仅当时，等号成立． 根据抛物线的对称性可知，或，或4． 故答案为：或4． 【变式19】（2025·陕西·模拟预测）已知直线过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于，两点，若使的直线有且仅有1条，则 . 【答案】1 【解析】焦点弦中，通径最短，所以若使的直线有且仅有1条，则就是通径，即，. 故答案为：1 题型七：定点定值问题 【例题13】（2025·高二·江苏连云港·期中）在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过的直线交曲线于两点，过与直线垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． 求证：（ⅰ）直线过定点； （ⅱ）直线，的交点在定直线上． 【解析】（1）因为直线和距离为1， 由题意点到直线的距离与到点的距离相等， 由抛物线的定义可得动点的轨迹方程为： （2） 设，，，， （ⅰ）设直线的方程为，的方程为，因为直线与直线垂直，所以， 联立得， 则，，，， 所以， 同理可得 当时，：， 即 ， 因为，所以直线的方程为， 故当时，，此时过定点， 当时，由得，此时直线的方程为，同样经过点， 所以直线过定点，该定点为. （ⅱ）由抛物线方程得，， 则：， 同理可得：， 联立得， 即， 由，同理， 故， 所以， 即直线，的交点在定直线上. 【例题14】（2025·高二·河南驻马店·月考）已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与交于两点，且点与点关于轴对称. (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，求的值； (3)证明：直线恒过定点. 【解析】（1）因抛物线，得，准线，焦点. 由点的坐标为得，点的坐标为， 由抛物线的定义可知，6，解得， 因为在上，所以，所以， 故. （2）显然直线的斜率不为0，且过焦点，设直线的方程为，. 联立整理得， 则， 因且点与点关于轴对称，得， 所以 . 又，所以，整理得，，解得. 又， 由抛物线的定义得 所以. （3）证明：由在抛物线上，再（2）知. 所以， ①当点在第一象限内，，，则， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，则， 所以直线过定点. ②同理当在第四象限时，，，则， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，则， 所以也过定点， 综合①②，故直线恒过定点. 【变式20】（2025·高二·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线斜率为1，且过点，求线段的长度； (3)直线与拋物线交于不同于的、两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值. 【解析】（1）抛物线的焦点为， 则，即， 所以抛物线为； （2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得，，设， 由韦达定理得， 故； （3）由题意可知直线斜率不为0，设其方程为， 联立方程得：， 整理得：，， 其中，， 因为以为直径的圆经过点，所以， 又因为， ∵， ∴， 所以直线过定点， 又因为，所以为直角三角形， 所以当为斜边中点时，为定值， 此时， 所以定点为，为定值２． 【变式21】（2025·高二·河北邢台·期中）已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． (1)求的值； (2)倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； (3)是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 【解析】（1）抛物线的焦点， 由题意可得：，即，， 解得或，又因为，所以． （2）由（1）可得抛物线方程为，， 所以直线的方程为，设，， 联立，得， ， 所以，， （3）证明：设，，的方程为． 由，得， 所以，，． 易知直线，的斜率存在， 设直线的方程为， 由，得． 由，解得， 所以直线的方程为，即． 同理可得，直线的方程为． 设，代入直线、中，，， 即，， 所以，可看作方程的两根， 所以，又，所以． 所以直线的方程为，故直线过定点． 【变式22】是抛物线上的一个定点，是抛物线上两个动点，如果，问：动直线是否过定点？定点坐标是什么？ 【解析】如图，一方面，直接让垂直对称轴，交抛物线于点， 此时平行于轴（点趋向无穷远），故也平行于轴， 所以定点必在其上，即纵坐标为． 另一方面，过点的抛物线的法线（当点趋向点时，即为点处的切线，此时即为法线）必过定点，即得定点的坐标为． 即动直线过定点，定点坐标为. 设直线的方程为，， 由，可得， 所以， 因为，所以，又， 所以， 所以， ， 所以，， 所以或， 当时，可得，所以直线过定点， 当时，可得，所以直线过定点（舍去）. 所以直线过定点. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $