第一章 一元二次方程 小结与思考 讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学一元二次方程复习讲义通过结构化学习构建知识体系，以本章知识结构、解法结构及实际问题思路图为框架，系统梳理定义、一般形式、解法、根的判别式、韦达定理及应用步骤，呈现从概念到应用的逻辑脉络与重难点联系。 讲义亮点在于典例与作业的分层设计，如实际问题（绿化面积增长、水果销售盈利）培养模型意识，根的判别式应用（例2）提升推理能力，多种解法练习（配方、公式法）强化运算能力。基础题与综合题结合满足不同学生需求，助力教师实施精准教学。

第一章 一元二次方程小结与思考 【知识梳理】 1． 叫作一元二次方程，其一般形式为 ， 常用的解法有 ， ， ． 2．一元二次方程的根的判别式是 ，其作用是 ． 当b2-4ac＞ 时，一元二次方程 ； 当b2-4ac＝ 时，一元二次方程 ； 当b2-4ac＜ 时，一元二次方程 ． 3．一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）是 ，可运用的条件是 ． 4．用一元二次方程解决实际问题的步骤是什么？ 5.结构化学习. （1）本章知识结构： （2）解法结构图： （3）用方程解决实际问题的基本思路： 【典例分析】 1．已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成下列的（    ） A．(x-p)2=5        B．(x-p)2=9 C．(x-p+2)2=9    D．(x-p+2)2=5 2．已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实根，那么k的最大整数值是 （    ） A．-2    B．-1    C．0    D．1 3．某城2023年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2025年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意所列方程正确的是（    ） A．300(1+x)=363    B．300(1+x)2=363 C．300(1+2x)=363    D．363(1-x)2=300  4．一元二次方程x2=3x的解是 ． 5．已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，则α2 +β2的值为  ． 6.若一个一元二次方程两个根分别为和，则这个方程可以是 .(写出一个即可） 7.(1)若关于x的方程2x2-3x+c=0的一个根是1，则另一个根是 ． (2)关于x的方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是 （   ） A．k≤-1         B．k≥-1 且k≠0 C．k≥-1         D．k＞-1 且k≠0 (3)若α、β是方程x2+2x-2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（    ） A．2005    B．2003    C．-2005    D．4010 8.解方程 （1）（x-5）2=16 ;  （2）x2-4x+1=0; （3）x2-2x=2- x  （4）x2+5x+3=0． 9．已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根． （1） 求k的取值范围; （2） 如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值． 10．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1） 现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2） 若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ 11.某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【作业设计】 1．已知m是方程2x2-x-1=0的一个根，则代数式2m2-m的值等于 （     ） A．-1    B．0    C．1    D．2 2．关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程可以是 （    ） A．x2+3x-2=0       B．x2-3x+2=0 C．x2-2x+3=0       D．x2+3x+2=0 3．2025年某市人均GDP约为2023年的1.21倍，如果该市每年的人均GDP增长率相同，那么增长率为 ． 4．选择合适的方法解下列一元二次方程 (1) (2)2（x+2）2－8=0; (3) (公式法)； (4)x2-8x+1＝0(配方法)． (5)x2－3x＝0 ; (6) x(2x－1)＝3(2x－1)． 5．已知：关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0 （1） 当m取何值时，方程有两个实数根？ （2） 为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根． 6．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售是_______斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 7．已知：关于x的方程x2﹣（k＋2）x＋2k＝0 （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 8．已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？ （3）的面积能否等于？请说明理由． 作业设计参考答案 选择题 1. C 解：m 是方程 2x²-x-1=0 的根，2m²-m-1=0，得 2m²-m=1 2. D 解：根 x₁=1，x₂=2，x₁+x₂= -3，x₁・x₂=2，方程 x²+3x+2=0 3. 设增长率为 a，令 2023 年数值为 1 (1+a)²=1.21 解得 a=1.1 -1 =10%（负舍），增长率10% 4. 解方程 (1) 4x²-9=0 4x²=9，x²=9/4 x₁=3/2，x₂=-3/2 (2) 2(x+2)²-8=0 (x+2)²=4 x+2=±2 x₁=0，x₂=-4 (3) x²+x-4=0（公式法） Δ=1²-4×1×(-4)=17 x=(-1±)/2 x₁=(-1+)/2，x₂=(-1-)/2 (4) x²-8x+1=0（配方法） x²-8x = -1 x²-8x+16 = 15 (x-4)²=15 x₁=4+，x₂=4- (5) x²-3x=0 x(x-3)=0 x₁=0，x₂=3 (6) x(2x-1)=3(2x-1) x(2x-1)-3(2x-1)=0 (2x-1)(x-3)=0 x₁=1/2，x₂=3 5. 方程 x²-2 (m+1) x+m²=0 (1) Δ=[-2 (m+1)]² - 4・1・m² =4m²+8m+4-4m²=8m+4 方程有两个实数根，Δ≥0 8m+4≥0，m≥ -1/2 (2) 取 m=0（满足 m≥-1/2） 方程：x²-2x=0 x (x-2)=0，根 x₁=0，x₂=2 （也可取 m=1，方程 x²-4x+1=0，根 x=2±） 6. (1) 100+200x (2) 单件利润：(4-x-2)=2-x 销量：100+200x (2-x)(100+200x)=300 整理：2x²-3x+1=0 解得 x₁=1，x₂=1/2 要求每日至少售出 260 斤 100+200x ≥260 → x≥0.8 x=1/2 不符合，舍去 答：每斤售价降低 1 元 7. 方程 x²-(k+2) x+2k=0 (1) 证明： Δ=(k+2)² - 8k =k²+4k+4-8k=(k-2)²≥0 无论 k 取何实数，Δ≥0，方程总有实数根 (2) 因式分解：(x-2)(x-k)=0，两根 x₁=2，x₂=k 等腰△ABC，a=1 ① 若 b=c，则 k=2，三边 1，2，2，周长 = 1+2+2=5 ② 若 1 为腰：三边 1,1,2，不满足三角形三边关系，舍去 综上：△ABC 周长为 5 8. ∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm；AP=t，PB=5-t；BQ=2t 取值范围：0<t≤3.5 (1) S△PBQ=1/2・PB・BQ=4 1/2 (5-t)・2t =4 t (5-t)=4 t²-5t+4=0 (t-1)(t-4)=0 t₁=1，t₂=4（超出范围舍去） 答：1 秒后面积等于 4cm² (2) PQ=2，Rt△PBQ PB²+BQ²=PQ² (5-t)²+(2t)²=(2)² 25-10t+t²+4t²=40 5t²-10t-15=0 t²-2t-3=0 (t-3)(t+1)=0 t₁=3，t₂=-1（舍去） 答：3 秒后 PQ 长 2 cm (3) 假设面积等于 7cm² 1/2 (5-t)・2t=7 5t-t²=7 t²-5t+7=0 Δ=25-28=-3<0 方程无实数根，所以△PQB 面积不能等于 7cm² 学科网（北京）股份有限公司 $