第二章反比例函数（期中知识清单）九年级数学上学期新教材苏科版

第二章 反比例函数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 反比例函数的概念 1.1 反比例关系 一般地，如果两个变量 ， 满足 （ 为常数，），那么就说这两个变量具有反比例关系。 示例：用铁丝围成一个面积为 的矩形，相邻两边长 ， 满足 ，即 ， 与 具有反比例关系。 1.2 反比例函数的定义 一般地，形如 （ 为常数，）的函数叫作反比例函数，其中 是自变量， 是 的函数。反比例函数的自变量的取值范围是不等于 的一切实数。 示例：， 都是反比例函数；圆锥的体积为 时，高 与底面积 满足 ， 是 的反比例函数。 注意：反比例函数也可以写成 （）或 的形式；分母中自变量的次数必须是 。 2. 反比例函数的图象与性质 2.1 反比例函数的图象 反比例函数 （）的图象由两支曲线组成，称为双曲线。 示例： 的图象是两支曲线，分别位于第一、三象限； 的图象也是两支曲线，分别位于第二、四象限。 2.2 反比例函数图象的对称性 反比例函数 （）图象的两支曲线关于原点成中心对称。 示例：点 与点 都在 的图象上，它们关于原点对称。 2.3 反比例函数的性质 反比例函数 （）具有以下图象特征和性质： 项目 图象所在的象限 第一、三象限 第二、四象限 函数变化趋势 在每一个象限内， 随 的增大而减小 在每一个象限内， 随 的增大而增大 示例：（）的图象在第一、三象限，在每一个象限内 随 的增大而减小；（）的图象在第二、四象限，在每一个象限内 随 的增大而增大。 注意：反比例函数的增减性只在每一个象限内成立，不能跨越象限比较大小。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 反比例函数图象上点的坐标特征 若点 在反比例函数 的图象上，则 ；反之，坐标满足 的点一定在图象上。 1.2 的几何意义：矩形面积为定值 过反比例函数 图象上任意一点分别向 轴、 轴作垂线，这两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为 ，是一个定值。 【使用提醒】矩形面积等于 （取绝对值）， 时面积仍为 ，不能写成 。 1.3 反比例函数图象与坐标轴无交点 中 且 ，所以图象与坐标轴没有交点，两支曲线只是无限接近坐标轴。 1.4 双曲线关于原点中心对称 反比例函数图象上任意一点 关于原点对称的点 也一定在图象上，据此可快速判断点的归属。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 待定系数法求反比例函数表达式 设 （）→ 把图象上一个已知点 代入求 → 写出表达式。如过点 ，则 ，故 。 2.2 利用增减性比较函数值大小 先判断两点是否在同一象限：同号两点在同一象限内，直接用增减性比较；异号两点跨象限，正数恒大于负数。如 时，在第一、三象限内都有 随 的增大而减小。 2.3 根据图象求函数值取值范围 先画出图象，由自变量的取值范围在图象上截取对应的一段，读出函数值的取值范围。如 当 时，。 3. 判断 / 求值 / 比较小技巧 技巧 要点 示例 判断图象所在象限 看 的符号： 在第一、三象限， 在第二、四象限 的图象在第一、三象限 求 速算 图象上任一点的横、纵坐标相乘即得 （） 过点 ， 判断点在图象上 把点坐标代入 ，等式成立则在图象上 代入 得 ，在图象上 比较大小先分类 先看两点横坐标同号还是异号，再定增减 且 时 4. 常见考试模型 4.1 反比例函数与一次函数的交点模型 公式：联立 与 ，消去 得一元二次方程求解交点；两图象的交点关于原点对称。 限定：交点坐标须代入原式检验，横坐标不能为 。 示例：如 与正比例函数 交于点 ，则另一交点为 ，且 。 4.2 实际应用模型（杠杆、压强、行程） 公式：乘积为定值的实际问题都可建立反比例函数：杠杆 、压强 （）、行程 （）。 限定：自变量（、、 等）须为正数。 示例：如杠杆平衡时 ，故 ， 是 的反比例函数。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：忽略反比例函数中 与 的隐含条件 典例：当 为何值时，函数 是反比例函数？ 错解：不论 取何值， 的分母中都含自变量 ，所以它一定是反比例函数。 正解：反比例函数要求 ，即 ，所以 。当 时， 是反比例函数；当 时，，不是反比例函数。 原因：概念理解错误。学生只记住了反比例函数”分母中含自变量”的外形，忽略了”比例系数 “这一关键条件。 时 （），函数值恒为 ，不再是反比例函数。判断反比例函数要同时看”形如 “和”“两个条件。 易错点 2：增减性跨越象限比较大小，漏分类讨论 典例：已知反比例函数 ，点 ， 在该函数图象上，比较 与 的大小。 错解：因为 ， 随 的增大而减小，又 ，所以 。 正解：把 代入得 ，把 代入得 。因为 ，所以 。 原因：忽略”在每一个象限内”这一前提。 时” 随 的增大而减小”只在同一个象限内成立，点 在第三象限、点 在第一象限，跨象限不能直接套用增减性。遇到跨象限比较，要么代入求值，要么记住”第一象限的点纵坐标恒为正、第三象限恒为负”。 易错点 3： 的几何意义忘记加绝对值 典例：反比例函数 的图象经过点 ，过该点向两坐标轴作垂线，求与坐标轴围成的矩形的面积。 错解：由 ，所以矩形的面积是 。 正解：，矩形的面积 。 原因：概念理解错误。面积一定是正数，而 可能为负。 的几何意义是”矩形面积为 “，绝对值不能丢。学生把”面积 “和”面积 “混为一谈，遇到 就得到负面积。 易错点 4：误认为反比例函数图象与坐标轴有交点 典例：判断：反比例函数 （）的图象与 轴、 轴都有交点。（　） 错解：双曲线向两边延伸，会与坐标轴相交，所以说法正确。 正解：反比例函数中 且 ，图象与坐标轴没有交点，只是无限接近坐标轴，所以说法错误。 原因：概念理解错误。学生看到双曲线”伸向”坐标轴就误以为有交点，忽略了 （分母不为 ）和 （ 中 ，故 不可能为 ）这两个限制。双曲线与坐标轴是渐近关系，永不相交。 易错点 5：待定系数法求 时忽略 的符号 典例：反比例函数 的图象经过点 ，求这个函数的表达式。 错解：把 代入得 ，即 ，所以 。 正解：把 ， 代入 ，得 ，所以 ，函数表达式为 。 原因：符号处理失误。代入时把横坐标 的分母负号丢掉，得到 ；正确代入应为 。求 直接用 并保留符号，可避免此类错误。 学科网（北京）股份有限公司 $