第五章等可能条件下的概率（期中知识清单）九年级数学上学期新教材苏科版

第5章 等可能条件下的概率　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 等可能性 1.1 等可能性 一般地，设一个随机试验所有可能发生的结果有 个，如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这 个事件的发生是等可能的，其中的每个事件发生的概率都是 。 示例：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现”正面朝上”与出现”反面朝上”的机会均等，这两个事件的发生是等可能的，每个事件发生的概率都是 。 2. 求等可能条件下的概率 2.1 一次试验下概率的计算 一般地，如果一个试验有 个等可能的结果，事件 包含其中的 个结果，那么事件 发生的概率 示例：抛掷一枚质地均匀的骰子 次，有 种等可能的结果，其中”朝上一面的点数大于 “包含 种结果（ 点、 点），所以 。 注意：这里 是事件 所包含的等可能结果的个数， 是试验所有等可能结果的个数，计算前必须先列出所有等可能的结果，做到既不重复，又不遗漏。 2.2 树状图 像图 这样的图称为树状图，它直观地显示了一个随机事件在试验中所有可能的结果。通过画树状图或列表列出这些结果，可以做到既不重复，又不遗漏。 图1：树状图 示例：抛掷一枚质地均匀的硬币 次，用树状图列出 种等可能结果：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。 2.3 列表法 用表格列举所有可能的结果，这种列出等可能结果的方法称为列表法。列表法适于两次试验，可以将试验结果用有序数对表示。 示例：抛掷两枚质地均匀的骰子，用表格列出 种等可能的结果，其中”两枚骰子朝上一面的点数之和是 “包含 种结果，所以概率为 。 3. 概率的应用——抽签方法合理吗？ 3.1 抽签的公平性 由此可知，抽签虽然有先有后，但是先抽的人与后抽的人中签的概率是相同的，这样的抽签方法是合理的。 图2：树状图（抽签） 示例：甲、乙、丙 名学生依次从 张纸条（其中 张画有记号，记作 ，其余 张记作 、）中各抽 张（不放回），用树状图列出 种等可能结果，甲、乙、丙中签的概率都是 ，故先抽与后抽中签的概率相同。 4. 概率的应用——概率帮你做估计 4.1 用频率估计概率 当试验次数很大时，用频率作为概率的估计值。 示例：某人摸球 次，摸到白球 次，摸到白球的频率为 。当试验次数很大时，用频率作为概率的估计值，可以估计摸到白球的概率为 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 概率的取值范围 任何事件 的概率满足 ，必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 。 1.2 “至少有一个”的概率 “至少有一个发生”与”一个都不发生”互补，。 1.3 概率只与”结果数之比”有关 等可能条件下，事件概率只由”事件包含的结果数与总结果数之比”决定，与同类对象总数放大或缩小无关。如甲袋 个白球 个红球、乙袋 个白球 个红球，摸到红球的概率都是 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求等可能条件下概率的一般步骤 先列出试验所有等可能的结果（列表或画树状图，做到不重不漏），再数出事件 包含的结果数 ，最后代入 化简。如抛两枚骰子求”点数和为 “：共 种等可能结果，事件含 种，。 2.2 判断并化归等可能（编号法） 先判断每个结果的机会是否均等，机会不均等的对象先编号（贴标签），使每种结果机会均等再计数。如袋中 个白球 个红球，“摸到白球”“摸到红球”机会不均等，把红球编号为红球 、红球 后，得”白球、红球 、红球 “ 种等可能结果。 2.3 画树状图列举结果 从”开始”出发，按试验的先后顺序逐层展开每一步的所有可能结果，最后列出全部结果，做到不重不漏，适用于两次及以上的试验。 2.4 列表法列举结果 以两次试验的结果分别为行、列，用有序数对列出所有可能的结果，适用于两次试验。 3. 判断与列举小技巧 技巧 要点 示例 有序数对防遗漏 两次试验的结果统一写成 ，逐一配对不重不漏 抛硬币 次的结果：（正，正）（正，反）（反，正）（反，反） 先定”放回/不放回” 读题先圈出关键词，“放回”则每次结果数不变，“不放回”则第二次少 种 袋中 球取 次：放回共 种，不放回共 种 频率只是估计值 频率是概率的估计值，须”试验次数很大”才接近概率 摸 次白球 次，估计 4. 常见考试模型 4.1 摸球模型（放回 / 不放回） 公式：有放回取 次 ；不放回取 次 。 限定：先判断”放回”还是”不放回”再定总结果数，两者总结果数不同。 示例：袋中 红 白，放回取 次都红为 ；不放回取 个都红为 。 4.2 抽签 / 抓阄模型（公平性） 公式： 个签中 个中签， 人依次抽（不放回），每人中签的概率都是 ，与先后顺序无关。 限定：每人抽完后不放回，但先抽与后抽中签的概率相同。 示例： 人从 张签（ 张有记号）中依次抽，每人中签概率都是 。 4.3 抛硬币 / 掷骰子模型 公式：抛硬币 次共 种等可能结果；掷 枚骰子共 种等可能结果。 限定：硬币、骰子须质地均匀，各结果等可能。 示例：抛硬币 次都正面朝上的概率为 。 4.4 搭配 / 路线模型 公式： 件上衣与 条裤子搭配共有 种等可能结果；多步选择的总结果数等于各步结果数之积。 限定：用列表或树状图逐一列举，做到不重不漏。 示例： 件上衣（红、黄、蓝）、 条裤子（蓝、棕）搭配共 种，取到蓝衣蓝裤的概率为 。 4.5 标记重捕模型（估计总数） 公式：先标记 个对象放回混合均匀，再捕样本中带标记的频率为 ，则总数 。 限定：标记个体须与其余个体充分混合，样本量越大估计越准。 示例：标记 条鱼放回，再捕带记号鱼的频率为 ，则 条。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把”结果的个数”误当成”等可能” 典例：某篮球运动员投篮一次，因为只有”投中”“未投中”2 种可能的结果，所以 。这种说法正确吗？ 错解：正确。因为只有 2 种可能的结果，每种结果出现的概率都是 。 正解：不正确。“投中”与”未投中”这 2 种结果出现的机会并不均等，所以它们不是等可能的，不能套用 ，也就不能得出概率各为 。 原因：概念理解错误——把”结果的个数”误当成”等可能”的依据。等可能的前提是”每个结果出现的机会均等”，而不是”只有 个结果，每个概率就都是 “。投篮受运动员水平影响，投中与未投中的机会不同；只有像抛掷质地均匀的硬币那样各结果机会均等时，才能用 计算。求概率前必须先判断结果是否等可能。 易错点 2：把”大于 4”误当成”不小于 4”，事件包含的结果数数错 典例：抛掷一枚质地均匀的骰子，求”朝上一面的点数大于 4”的概率。 错解：大于 4 的点数有 4、5、6 共 3 种，所以 。 正解：大于 4 的点数只有 5、6 共 2 种，所以 。 原因：审题把”大于 4”误读成”不小于 4”（即大于等于 4），把边界值”4 点”也算了进去。确定事件 包含的结果数 时，必须逐字核对”大于”“不小于”“小于”“不大于”的含义，边界值是否包含最容易出错；数错 直接导致概率算错。 易错点 3：摸球时”放回”与”不放回”混淆 典例：一只袋子中装有 1 个红球和 1 个白球，这些球除颜色外都相同。搅匀后从中任意摸出 1 个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出 1 个球，求 2 次摸到的球颜色相同的概率。 错解：认为第二次摸时袋中只剩 1 个球，两次不可能摸到相同颜色，只列出（红，白）（白，红）2 种结果，所以 。 正解：”放回”后每次都有 2 种等可能结果，共 种：（红，红）（红，白）（白，红）（白，白），其中颜色相同的有 2 种，所以 。 原因：忽略”放回”这一条件。放回时第二次摸球的样本与第一次完全相同，总结果数为 ；不放回时第二次少 1 种，总结果数为 。学生读题时跳过”放回”“不放回”关键词，把两种情形混为一谈。解概率题的第一步应先圈出”放回 / 不放回”，再定总结果数。 易错点 4：“至少有一个”漏算其中的一种情形 典例：抛掷两枚质地均匀的硬币，求至少有一枚正面朝上的概率。 错解：共有 4 种等可能结果，“至少有一枚正面朝上”包含（正，反）（反，正）2 种，所以 。 正解：4 种等可能结果中，“至少有一枚正面朝上”包含（正，正）（正，反）（反，正）3 种，所以 。也可用反面：。 原因：对”至少一个”的含义理解不全——“至少一枚正面朝上”包含”恰有一枚正面”和”两枚都是正面”两种情况，学生常把”至少”误当成”恰好”，漏掉”两枚都正面”的情形。做”至少 / 至多”类题时，优先用” 减反面（都不发生）“来算，不易漏。 易错点 5：把少量试验的频率当作概率 典例：小明摸了 5 次球，摸到 1 次红球，就说”摸到红球的概率是 “。这种说法正确吗？ 错解：正确。频率就是概率， 就是摸到红球的概率。 正解：不正确。 只是这 5 次试验中摸到红球的频率。当试验次数很小时，频率与概率可能相差较大，不能直接把频率当作概率；只有试验次数很大时，才能用频率估计概率。 原因：混淆”频率”与”概率”两个概念——频率是某次具体试验中”发生的次数 ÷ 总次数”，随试验而变化；概率是事件本身发生可能性大小的理论值。学生把”小样本”的频率直接当成了概率。用频率估计概率必须有”试验次数很大”这一前提，次数少时频率不稳定，不能代表概率。 学科网（北京）股份有限公司 $