第四章数据的集中趋势和离散程度（期中知识清单）九年级数学上学期新教材苏科版

第四章 数据的集中趋势和离散程度　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 平均数 1.1 算术平均数 一般地，如果有 个数 ，，……，，那么 叫作这 个数的算术平均数，简称为平均数，通常用 表示。 读作” 拔”。 示例： 名学生的身高（单位：）分别为 ，，，，，则平均身高 。 1.2 样本平均数与总体平均数 我们把样本中所有个体的平均数称为样本平均数，把总体中所有个体的平均数称为总体平均数。在调查研究中，常常用样本平均数来估计总体平均数。一般情况下，样本容量越大，样本平均数就越接近总体平均数。 示例：从某湖区随机捕捞 尾鱼，用这 尾鱼的平均质量来估计该湖区全部鱼的平均质量，样本容量越大，估计值越可靠。 1.3 加权平均数 权的概念 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的”重要程度”有关。我们把衡量各个数据”重要程度”的数值叫作权，也称为权重。 示例：计算总评成绩时，若”平时成绩占 、考试成绩占 “，则 与 就是这两种成绩的权。 加权平均数的计算 一般地，若 个数据 ，，……， 的权分别为 ，，……，，则加权平均数为 当 时，。 示例：某学生平时成绩 分、考试成绩 分，权分别为 、，则加权平均数为 （分）。 2. 中位数与众数 2.1 中位数 一般地，将一组数值形式的数据按大小顺序排列，可以把两边的数据个数分成一样多的数叫作这组数据的中位数；如果数据的个数是奇数，那么可取处于中间位置的数据作为中位数；如果数据的个数是偶数，那么取处于中间位置的两个数据的平均数作为这组数据的中位数。 示例：数据 ，， 的中位数是 ；数据 ，，， 的中位数是 。 2.2 众数 一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数。 示例：数据 ，，，，， 中， 出现 次，次数最多，所以众数是 。 2.3 平均数、中位数和众数的选用 平均数、中位数、众数都能刻画数据的集中趋势，在实际应用中，应根据需要恰当地进行选择。 示例：制定”让一半以上同学获奖”的基准线宜用中位数；制定”达成人数最多”的目标宜用众数；与其他班级比较平均水平宜用平均数。 3. 四分位数和箱线图 3.1 四分位数 四分位数与百分位数 把一组数据从小到大排列后，把数据等分成四份，这三个数称为这组数据的四分位数，分别记为 ，，，它们都属于百分位数。通常将 ，， 分别称为第一四分位数、第二四分位数和第三四分位数，或者分别称为第 百分位数、第 百分位数和第 百分位数。特别地， 就是中位数。 示例：把 个数据 ，，， 从小到大排列后等分成四份，第一、第二、第三四分位数分别为 ，，。 百分位数的定义 第 百分位数 就是将一组数据从小到大排列后，将数据分成两部分：小于或等于 的数据至少占 ，大于或等于 的数据至少占 。 示例：第 百分位数 就是这组数据的中位数。 求四分位数的方法 一般地，可通过下列方法获得一组容量为 的数据的四分位数： 1．先将一组数据从小到大排列。 2．计算 ，将结果记为 。（1）若 是整数，则第 个和第 个数据的平均数是 ；（2）若 不是整数，设 为 的整数部分加 ，则第 个数据是 。 3．用类似的方法，依次求得其他四分位数。 示例：一组数据容量 ， 不是整数，则第 个数据是第一四分位数 。 3.2 箱线图 上、下两端的线段分别表示数据的最大值、最小值，它们的差是这组数据的极差；箱体部分由上到下的三条线段依次表示数据的三个四分位数，箱体部分代表中间 的数据。像这样，利用一组数据的最大值、最小值及四分位数这 个数据直观描述一组数据分布情况的统计图称为箱线图。 示例：已知一组数据的最大值、最小值及三个四分位数，即可画出反映这组数据分布情况的箱线图。 4. 数据的离散程度 4.1 离差平方和 统计学中，将一组数据中各数据与平均数的差的平方和称为离差平方和。设 个数据 ，，……， 的平均数为 ，那么，这组数据的离差平方和为 示例：数据 ，， 的平均数为 ，离差平方和为 。 4.2 方差 为了比较两组数据的离散程度，在统计中，一般采用离差平方和的平均数代替这组数据的总偏差，即用一组数据 ，，……， 与它们的平均数 的差的平方和的平均数 来描述这组数据的离散程度，并把 叫作这组数据的方差。 方差实际上反映了各个数据与平均数之间的平均偏差程度。方差是刻画数据的离散程度的常用统计量。一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大。 示例：数据 ，， 的方差为 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 平均数计算的简化 当一组数据都较大且接近某个数 时，可先让每个数据都减去 ，求新数据的平均数再加上 。即若 （），则 。如 ，，，， 先都减 ，得 ，，，，，新平均数 ，故 。 1.2 数据同加、同乘对平均数的影响 若一组数据每个数都加上同一个数 ，则平均数也加上 ；若每个数都乘以同一个数 ，则平均数也乘以 。即由 可推得 ，。 1.3 加权平均数与算术平均数的关系 当各数据的权相等（即 ）时，加权平均数就是算术平均数；权不相等时，权越大的数据对平均数的影响越大。 1.4 方差的性质 若一组数据每个数都加上同一个数 （），则方差不变，；若每个数都乘以同一个数 （），则方差变为原来的 倍，，标准差变为原来的 倍。 1.5 方差的简化公式 设 个数据 ，，……， 的平均数为 ，则 。当数据较复杂时用该式可减少作差次数。如 ，，：。 1.6 中位数与众数的不唯一性 一组数据的中位数只有一个（中间两个数据相等时即该数据），但一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数（各数据出现次数都相同）。如 ，，， 的众数是 和 。 1.7 平均数受极端值影响大，中位数、众数受影响小 一组数据中个别数据与其他数据差异很大时，平均数会被极端值明显拉高或拉低，此时宜用中位数或众数描述集中趋势。如数据 ，，，， 的平均数为 ，而中位数是 。 1.8 标准差与方差的关系 标准差是方差的算术平方根，即 。标准差与数据有相同的单位，也可用来描述数据的离散程度，标准差越大，数据越分散。如 ，， 的方差为 ，标准差为 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求平均数的两种方法 直接法：把所有数据相加再除以个数，；简便法：数据较大时先减一个接近的常数再算（见 1.1）。如 ，， 都减 ，得 ，，，平均数 。 2.2 求加权平均数的步骤 先确定各数据的权 → 求各数据与权之积的和 → 除以权之和 。若权以百分数给出，也可直接乘权后相加（此时权和为 ）。如成绩 、，权 、，加权平均数 。 2.3 求中位数的步骤 先把数据从小到大（或从大到小）排序 → 数据个数为奇数时取正中间的那个数；为偶数时取中间两个数的平均数。如 ，， 先排序为 ，，，中位数是 。 2.4 求众数的方法 数出每个数据出现的次数，出现次数最多的数据就是众数；有多个数据并列最多时，众数不止一个。如 ，，，， 中 、 各出现 次，众数是 和 。 2.5 求方差的步骤 求平均数 → 求各数据与平均数的差 → 求各差的平方 → 求这些平方的平均数，即 。如 ，，：，。 2.6 求四分位数与画箱线图的步骤 先从小到大排序 → 按 定位第一四分位数（ 为整数取第 、 个的平均数，否则取第 的整数部分加 个）→ 同理求中位数与第三四分位数 → 用最大值、最小值、三个四分位数这 个数画箱线图。如 ，，第一四分位数为第 、 个数据的平均数。 2.7 统计量的选用方法 描述”一般水平”且数据无明显极端值用平均数；数据有极端值或要划分位置用中位数；要反映出现最多的水平用众数；要比较稳定性用方差（或标准差），方差越小越稳定。如评定”参赛选手发挥是否稳定”看方差。 3. 运算小技巧 技巧 要点 示例 平均数”先减后加” 数据都接近某数 时，先各减 求新平均数再加回 ，，，， 先减 ，新平均数 ，故 方差简化公式 ，少算一步差 ，，： 中位数先排序 未排序的数据不能直接取”中间”的那个数 ，， 先排成 ，，，中位数 众数看频数 逐个数字出现次数，取最多者；并列最多则不止一个 ，，，， 的众数是 和 加权平均乘权相加 权和为 时直接乘权再相加，不用再除 方差比较稳定性 两组平均数相近时，方差小者更稳定 甲 、乙 ，甲更稳定 4. 常见考试模型 4.1 加权平均数求总评成绩模型 公式：总评成绩 ， 为各项得分， 为各项权重。 限定：各权由题意确定（如按比例 ，权重分别为 ，，）；权和为 时直接乘权相加。 示例：如版面设计、书写绘画、创意设计按 计总评，得分 、、，总评 （分）。 4.2 稳定性比较（方差）模型 公式：分别求两组数据的平均数与方差，平均数相当（或同一标准）时方差小者发挥更稳定。 限定：比较稳定性应先看平均数是否相近，再比方差；平均数差异大时需结合两者综合判断。 示例：如甲、乙射击平均成绩都为 环，，甲更稳定，宜选甲参赛。 4.3 统计量选用模型 公式：无极端值时”平均水平”用平均数；有极端值或按位置划分用中位数；反映”出现最多”用众数；比较离散程度用方差（或极差）。 限定：同一问题中，选用的统计量要与问题的实际目标一致，不能只看”哪个好算”。 示例：如”让一半以上同学获奖”定基准线用中位数，“定月销售额标准”宜结合平均数、中位数、众数综合确定。 4.4 用样本估计总体模型 公式：用样本平均数估计总体平均数，。 限定：样本容量越大、抽样越随机，估计越可靠；需注意”平均数×个数”的估值计算。 示例：如 块 样方的向日葵平均数为 株，则总面积上的向日葵总数 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：求中位数时忘记先排序，直接把”中间那个”当答案 典例：求数据 ，，，， 的中位数。 错解：中间那个数是 ，所以中位数是 。 正解：先把数据从小到大排序为 ，，，，，处于中间位置的数是 ，所以中位数是 。 原因：概念理解错误。中位数是”按大小顺序排列后”处于中间位置的数据，未排序的数据中”中间”的那个数没有任何统计意义。学生拿到一组无序数据就直接找位置居中的数，跳过了”先排序”这一步。求中位数必须”先排序，再定位”。 易错点 2：求方差时把”除以数据个数”与”除以数据个数减 1”混淆 典例：求数据 ，， 的方差。 错解：，。 正解：，方差是各数据与平均数的差的平方的”平均数”，应除以数据个数，。 原因：概念混淆。初中所学方差是”离差平方和的平均数”，分母是数据个数 ；而高中（或抽样估计总体）中的样本方差才除以 。学生受后续知识或课外资料影响，把 误用到初中方差公式中。初中阶段求方差一律除以 。 易错点 3：一组数据的众数不止一个时漏写 典例：求数据 ，，，， 的众数。 错解： 出现 次，所以众数是 。 正解： 和 各出现 次，都是出现次数最多的数据，所以这组数据的众数是 和 。 原因：思维定式。学生习惯”众数就是出现最多的那一个数”，潜意识认为众数只有一个，找到 就停止计数，忽略了 与 出现次数相同。当多个数据出现次数并列最多时，这些数据都是众数，要全部写出。 易错点 4：加权平均数与算术平均数混淆，漏乘权 典例：某学生平时成绩 分、期中成绩 分、期末成绩 分，按 计总评，求总评成绩。 错解：总评成绩 （分）。 正解：总评成绩 （分）。 原因：忽略权重。加权平均数要求”数据乘权求和再除以权和”，学生把加权平均数当成了算术平均数，直接三个分数相加除以 ，没有体现”期末成绩更重要”这一权重差异。遇到”按比例/权重计算”字眼，必须先乘权。 易错点 5：数据同加、同乘后方差的变化规律弄错 典例：一组数据 ，， 的方差为 ，若把这组数据的每个数都乘以 ，求新数据的方差。 错解：每个数都乘以 ，方差也乘以 ，为 （或认为方差不变，仍为 ）。 正解：每个数都乘以 后，数据变为 ，，，方差变为原来的 倍，即 。 原因：记忆缺失。方差是”差的平方的平均数”，数据乘 时，各数据与平均数的差也乘 ，平方后变为 倍，所以方差变为原来的 倍（标准差变为 倍）。学生容易把它与”数据同加一个数方差不变”相混淆。注意：同加不变、同乘平方。 易错点 6：数据受极端值影响时，误用平均数代表”一般水平” 典例：某小组 人的月收入分别为 、、、、 元，要用一个数代表该组月收入的”一般水平”，应选哪个统计量？ 错解：平均数 （元），用 元代表一般水平。 正解：该组数据中 元是极端值，平均数 被拉高，不代表”一般水平”。应取中位数 元（或众数 元）来代表一般水平。 原因：忽略极端值影响。平均数受每个数据影响，极端值会使其明显偏离大多数数据的水平；中位数、众数受极端值影响小。学生一看到”求一般水平”就机械地算平均数，没有先观察数据中是否存在极端值。当数据中有极端值时，宜用中位数或众数刻画集中趋势。 学科网（北京）股份有限公司 $