周周练05 第二章一元二次方程综合训练（数学新教材苏科版九年级上册）

**基本信息** 聚焦一元二次方程综合应用，通过基础概念辨析、生活情境建模及动态几何问题，分层考查运算能力、模型意识与几何直观，适配九年级周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|方程定义、根的性质、判别式、应用建模|如第4题排球邀请赛建模，第7题表格分析根的范围，融合数学眼光观察现实问题| |填空题|10/20|配方法、根与系数关系、几何与方程综合|如第14题用判别式判断三角形形状，第15题增长率问题，体现数学思维推理| |解答题|8/64|解方程、证明推理、利润/面积应用、新定义|如第25题“美丽方程”新定义探究，第26题矩形动态面积计算，突出数学语言表达与创新应用|

2026-2027学年九年级上学期数学周周测05 第二章 一元二次方程综合训练 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．一元二次方程3x2﹣6x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，6，4 B．3，﹣6，4 C．3，6，﹣4 D．3，﹣6，﹣4 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此作答． 【解答】解：一元二次方程3x2﹣6x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣6，﹣4， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 2．如果m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，那么多项式﹣2m2+4m+2025的值等于（　　） A．﹣2027 B．﹣2023 C．2023 D．2027 【分析】将x＝m代入原方程，可得出m2﹣2m＝1，再将其代入原式＝﹣2（m2﹣2m）+2025中，即可求出结论． 【解答】解：将x＝m代入原方程得：m2﹣2m﹣1＝0， ∴m2﹣2m＝1， ∴原式＝﹣2（m2﹣2m）+2025＝﹣2×1+2025＝2023． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 3．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≠2 B．m≥1且m≠2 C．m≤3且m≠2 D．m≥1 【分析】根据一元二次方程的判别式，有实根，则Δ≥0，由此即可求解． 【解答】解：关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，且a＝m﹣2，b＝2，c＝﹣1， ∴Δ＝22+4（m﹣2）≥0，解不等式得，m≥1， ∵关于x的一元二次方程， ∴m﹣2≠0，即m≠2， ∴m≥1且m≠2． 故选：B． 【点评】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，掌握根的判别式是解题的关键． 4．要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x个队参赛，则可列方程（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝4×7 D． 【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝4×7， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 5．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（　　） A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣1）2＝9 【分析】首先把常数项移到右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，即可得解． 【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0， x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1， ∴（x﹣1）2＝6． 故选：B． 【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是关键． 6．有一个人患流感，经过两轮传染后共有100个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】传染问题中传染源传染后仍计入患病人数，设每轮传染中平均一个人传染x人，根据两轮传染后总患病人数为100列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x， 初始有1人患病，第一轮传染后共有（1+x）人患病，第二轮传染中，新增患病人数为x（1+x），两轮后总患病人数为1+x+x（1+x）， 根据题意得1+x+x（1+x）＝100， 整理得（1+x）2＝100， 解得x1＝9，x2＝﹣11（舍去）， 则每轮传染中平均一个人传染的人数为9． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解． 7．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3 【分析】利用表中数据得到x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，则可判断x2+12x﹣15＝0时，有一个根满足1.1＜x＜1.2． 【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0， x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0， ∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0， 即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴， 设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，2x2﹣24x+56＝0， 整理得：x2﹣12x+20＝0， 解得x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）． 即当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为2s． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．用配方法解方程x2+6x+3＝0，方程可化为（x+3）2＝m，则m＝　6　 ． 【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【解答】解：由题知， x2+6x+3＝0， x2+6x＝﹣3， x2+6x+9＝﹣3+9， （x+3）2＝6， 所以m＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法是解题的关键． 10．关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+x+a2﹣9＝0的一个根是0，则a的值为　﹣3　 ． 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 【解答】解：把x＝0代入方程（a﹣3）x2+x+a2﹣9＝0， 得a2﹣9＝0， 解得a＝±3． ∵a﹣3≠0， ∴a＝﹣3 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题，解题时候注意二次项系数不能为0，难度不大． 11．已知关于x的两个方程x2+mx+n＝0，x2+nx+m＝0（m≠n）有一个公共根，则m、n满足的关系式是m+n＝﹣1　 ． 【分析】设关于x的两个方程x2+mx+n＝0，x2+nx+m＝0（m≠n）的一个公共根为p，则p2+mp+n＝0，p2+np+m＝0，将它们作差后求得p的值，再将其代入x2+mx+n＝0计算即可． 【解答】解：已知关于x的两个方程x2+mx+n＝0，x2+nx+m＝0（m≠n）有一个公共根， 设这个公共根为p， 则p2+mp+n＝0①，p2+np+m＝0②， ①﹣②得：（m﹣n）p﹣（m﹣n）＝0， 即（m﹣n）（p﹣1）＝0， ∵m≠n， ∴m﹣n≠0， ∴p﹣1＝0， 解得：p＝1， 那么两个方程的公共根为x＝1， 将x＝1代入x2+mx+n＝0中整理得：m+n＝﹣1， 故答案为：m+n＝﹣1． 【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键． 12．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），墙对面有一个2米宽的门（EF），另外三边用木栏围成，木栏长30m．若养鸡场面积为120m2，设AB＝xm，则列方程得 x（30+2﹣2x）＝120　 ． 【分析】由各边之间的关系，可得出BC＝（30+2﹣2x）m，根据养鸡场面积为120m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵木栏长30m，且EF＝2m，AB＝xm， ∴BC＝30+EF﹣2AB＝（30+2﹣2x）m． 根据题意得：x（30+2﹣2x）＝120． 故答案为：x（30+2﹣2x）＝120． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．已知方程x2﹣2026x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则的值为　﹣1　 ． 【分析】利用一元二次方程根的定义对进行降次处理，再结合根与系数的关系（韦达定理）对式子进行变形，最后代入化简求值． 【解答】解：由条件可知， ∴． ∵x1，x2是方程x2﹣2026x+1＝0的两根， ∴x1x2＝1， ∴， ∴． ∴ ＝（2026x1﹣1）﹣2026x1 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 14．已知a，b，c是△ABC的三边长，若一元二次方程（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0没有实数根，则△ABC是 　钝角　 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【分析】利用判别式的意义得到a﹣c≠0且Δ＝4b2﹣4（a﹣c）（a+c）＜0，则b2+c2＜a2，然后利用勾股定理的逆定理可判断△ABC是钝角三角形． 【解答】解：根据题意得a﹣c≠0且Δ＝4b2﹣4（a﹣c）（a+c）＜0， 即b2﹣a2+c2＜0， 所以b2+c2＜a2， 所以△ABC是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 15．某市政府2024年投入3亿元资金用于基础设施建设，并规划投入资金逐年增加，2026年将投入8亿元资金．设2024年至2026年的投入资金的年平均增长率为x，根据题意可列方程为　3（1+x）2＝8　 ． 【分析】根据2024年投入的资金×（1+x）2＝2026年投入的资金，列出方程即可． 【解答】解：由题意得：3（1+x）2＝8， 故答案为：3（1+x）2＝8． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0，方程有两个互为相反数的实数根，则m的值是　　 ． 【分析】设方程的两个根为s，t，由题意利用根与系数的关系列得关于m的方程，解方程求得m的值，再利用根的判别式判断是否符合题意即可． 【解答】解：已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0，方程有两个互为相反数的实数根， 设方程的两个根为s，t， 则s+t＝0， 即2m﹣1＝0， 解得：m， 将其代入原方程得x20， ∵Δ＝0+10＝10＞0， ∴此时方程有两个不相等的实数根，符合题意， 故答案为：． 【点评】本题考查根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 17．已知方程ax2+bx+1＝0（a，b为常数，a≠0）的两根之和等于两根之积，则b的值为　﹣1　 ． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为方程ax2+bx+1＝0（a，b为常数，a≠0）的两根之和等于两根之积， 所以， 所以b＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 18．若关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围　且k≠1　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义，可得k≠1，再根据根的判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4×（1﹣k）×5＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个不相等的实数根 ∴Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4×（1﹣k）×5＞0且1﹣k≠0， 解得且k≠1． 故答案为：且k≠1． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣2x+5＝0； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6． 【分析】（1）运用配方法进行解方程即可； （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x+5＝0， x2﹣2x＝﹣5， x2﹣2x+1＝﹣5+1， x2﹣2x+1＝﹣4， （x﹣1）2＝﹣4． ∴原方程无解； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6， （x﹣2）2＝3（x﹣2）， （x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝2，x2＝5． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是3，求另一个实数根和m的值． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将x＝3代入求出m的值，再利用因式分解法解方程即可． 【解答】（1）证明：在一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0中，a＝1，b＝﹣（m+3），c＝m+2， Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×（m+2） ＝m2+6m+9﹣4m﹣8 ＝m2+2m+1 ＝（m+1）2， ∵无论m取何值，（m+1）2≥0，即Δ≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根； （2）解：∵方程的一个实数根是3， ∴32﹣3（m+3）+m+2＝0， 解得：m＝1， ∴一元二次方程x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴方程的另一个实数根为1． 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，熟练掌握以上知识点是关键． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出AB，AC的长，分BC为直角边及BC为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0， 解得：x1＝k，x2＝k+1． 当BC为直角边时，k2+52＝（k+1）2， 解得：k＝12； 当BC为斜边时，k2+（k+1）2＝52， 解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）． 答：k的值为12或3． 【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及勾股定理，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用勾股定理，找出关于k的方程． 22．（8分）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元． （1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出 　（300+1000m）　 只粽子； （2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？ 【分析】（1）根据零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子，求出零售单价下降m元卖出的粽子和利润； （2）当零售单价下降m时，表示出利润，并将利润等于420元，列方程求解． 【解答】解：（1）当零售单价下降m元后，可卖出个， 故答案为：（300+1000m）； （2）当零售单价下降m时，利润为：， 由题意得，， 解得：m1＝0.4，m2＝0.3， 可得，当m＝0.4时卖出的粽子更多． 答：m定为0.4时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 23．（8分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m． 根据题意列一元二次方程得，x（72﹣2x）＝640． 解得x1＝16，x2＝20． 当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40； 当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32． 答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈； （2）不能，理由如下： 由题意列一元二次方程得，x（72﹣2x）＝650． 整理得，x2﹣36x+325＝0． ∵Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到650m2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 24．（8分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． （1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？ （2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ （3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 【分析】（1）根据每箱饮料每降价1元，每天可多售出20箱写出答案即可； （2）、（3）利用的数量关系是：销售每箱饮料的利润×销售总箱数＝销售总利润，由此列方程解答即可． 【解答】解：设每箱饮料降价x元，商场日销售量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12﹣x）元； （1）依题意得：（12﹣3）（100+20×3）＝1440（元） 答：每箱降价3元，每天销售该饮料可获利1440元； （2）要使每天销售饮料获利1400元，依据题意列方程得， （12﹣x）（100+20x）＝1400， 整理得x2﹣7x+10＝0， 解得x1＝2，x2＝5； ∵为了多销售，增加利润， ∴x＝5， 答：每箱应降价5元，可使每天销售饮料获利1400元． （3）不能，理由如下： 要使每天销售饮料获利1500元，依据题意列方程得， （12﹣x）（100+20x）＝1500， 整理得x2﹣7x+15＝0， 因为Δ＝49﹣60＝﹣11＜0， 所以该方程无实数根，即不能使每天销售该饮料获利达到1500元． 【点评】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本． 25．（8分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． （1）下列方程中，是“美丽方程”的是　①③　 （填序号）． ①x2+2x＝0； ②x2﹣4x+4＝0； ③x2+4x+3＝0． （2）若（x+2）（x+n）＝0是“美丽方程”，求n的值． （3）若一元二次方程ax2+4ax+c＝0（a，c均为常数，a≠0）为“美丽方程”，请写出a、c满足的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据所给定义进行判断即可； （2）根据所给定义进行计算即可； （3）根据题意，求出所给方程的两个根，再结合“美丽方程”的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 解方程x2+2x＝0得，x1＝0，x2＝﹣2， 因为0﹣（﹣2）＝2， 所以方程①符合题意； 解方程x2﹣4x+4＝0得，x1＝x2＝2， 因为2﹣2＝0， 所以方程②不符合题意； 解方程x2+4x+3＝0得，x1＝﹣1，x2＝﹣3， 因为﹣1﹣（﹣3）＝2， 所以方程③符合题意． 故答案为：①③； （2）由（x+2）（x+n）＝0得，x1＝﹣2，x2＝﹣n． 因为该方程是“美丽方程”， 所以|﹣2﹣（﹣n）|＝2， 解得n＝0或4； （3）c＝3a，理由如下： 由ax2+4ax+c＝0得， Δ＝（4a）2﹣4ac＝16a2﹣4ac， 则x， 所以，； 因为该方程为“美丽方程”， 所以2， 整理得，a（3a﹣c）＝0． 因为a≠0， 所以3a﹣c＝0， 即c＝3a， 所以a、c满足的数量关系为c＝3a． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 26．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动． （1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍； （2）几秒后，△DPQ的面积是24cm2． 【分析】（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，根据勾股定理可得PD2＝4 PQ2，分别利用当0＜t≤5时，当5＜t≤8时，然后再代入相应数据求出； （2）设x秒后△DPQ的面积是24cm2，利用矩形面积﹣△DPQ的面积＝周围三个三角形面积和列方程即可． 【解答】解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍， ∴PD＝2PQ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴PD2＝AP2+AD2，PQ2＝BP2+BQ2， ∵PD2＝4 PQ2， 当0＜t≤5时， ∴82+（2t）2＝4[（10﹣2t）2+t2]， 解得：t1＝3，t2＝7（不合题意舍去）； 当5＜t≤8时， PD2， ∵PD＝2PQ， ∴PQ， 综上所述：3秒或秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍； （2）当0＜t≤5时， 设x秒后△DPQ的面积是24cm2， 则8×2x（10﹣2x）•x（8﹣x）×10＝80﹣24， 整理得x2﹣8x+16＝0 解得x1＝x2＝4， 当5＜t≤8时， 设t秒后△DPQ的面积是24cm2， 则10x＝24， 解得：x（不合题意舍去）， 综上所述，4秒后，△DPQ的面积是24cm2． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测05 第二章 一元二次方程综合训练 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．一元二次方程3x2﹣6x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，6，4 B．3，﹣6，4 C．3，6，﹣4 D．3，﹣6，﹣4 2．如果m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，那么多项式﹣2m2+4m+2025的值等于（　　） A．﹣2027 B．﹣2023 C．2023 D．2027 3．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≠2 B．m≥1且m≠2 C．m≤3且m≠2 D．m≥1 4．要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x个队参赛，则可列方程（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝4×7 D． 5．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（　　） A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣1）2＝9 6．有一个人患流感，经过两轮传染后共有100个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 7．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．用配方法解方程x2+6x+3＝0，方程可化为（x+3）2＝m，则m＝　 　 ． 10．关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+x+a2﹣9＝0的一个根是0，则a的值为　 　 ． 11．已知关于x的两个方程x2+mx+n＝0，x2+nx+m＝0（m≠n）有一个公共根，则m、n满足的关系式是　 　 ． 12．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），墙对面有一个2米宽的门（EF），另外三边用木栏围成，木栏长30m．若养鸡场面积为120m2，设AB＝xm，则列方程得 　 　 ． 13．已知方程x2﹣2026x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则的值为　 　 ． 14．已知a，b，c是△ABC的三边长，若一元二次方程（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0没有实数根，则△ABC是 　 　 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 15．某市政府2024年投入3亿元资金用于基础设施建设，并规划投入资金逐年增加，2026年将投入8亿元资金．设2024年至2026年的投入资金的年平均增长率为x，根据题意可列方程为　 　 ． 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0，方程有两个互为相反数的实数根，则m的值是　 　 ． 17．已知方程ax2+bx+1＝0（a，b为常数，a≠0）的两根之和等于两根之积，则b的值为　 　 ． 18．若关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣2x+5＝0； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是3，求另一个实数根和m的值． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值． 22．（8分）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元． （1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出 　 　 只粽子； （2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？ 23．（8分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 24．（8分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． （1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？ （2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ （3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 25．（8分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． （1）下列方程中，是“美丽方程”的是　 　 （填序号）． ①x2+2x＝0； ②x2﹣4x+4＝0； ③x2+4x+3＝0． （2）若（x+2）（x+n）＝0是“美丽方程”，求n的值． （3）若一元二次方程ax2+4ax+c＝0（a，c均为常数，a≠0）为“美丽方程”，请写出a、c满足的数量关系，并说明理由． 26．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动． （1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍； （2）几秒后，△DPQ的面积是24cm2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测05 第二章 一元二次方程综合训练 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．一元二次方程3x2﹣6x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，6，4 B．3，﹣6，4 C．3，6，﹣4 D．3，﹣6，﹣4 2．如果m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，那么多项式﹣2m2+4m+2025的值等于（　　） A．﹣2027 B．﹣2023 C．2023 D．2027 3．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≠2 B．m≥1且m≠2 C．m≤3且m≠2 D．m≥1 4．要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x个队参赛，则可列方程（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝4×7 D． 5．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（　　） A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣1）2＝9 6．有一个人患流感，经过两轮传染后共有100个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．用配方法解方程x2+6x+3＝0，方程可化为（x+3）2＝m，则m＝　 　 ． 8．关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+x+a2﹣9＝0的一个根是0，则a的值为　 　 ． 9．已知关于x的两个方程x2+mx+n＝0，x2+nx+m＝0（m≠n）有一个公共根，则m、n满足的关系式是　 　 ． 10．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），墙对面有一个2米宽的门（EF），另外三边用木栏围成，木栏长30m．若养鸡场面积为120m2，设AB＝xm，则列方程得 　 　 ． 11．已知方程x2﹣2026x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则的值为　 　 ． 12．已知a，b，c是△ABC的三边长，若一元二次方程（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0没有实数根，则△ABC是 　 　 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 13．某市政府2024年投入3亿元资金用于基础设施建设，并规划投入资金逐年增加，2026年将投入8亿元资金．设2024年至2026年的投入资金的年平均增长率为x，根据题意可列方程为　 　 ． 14．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0，方程有两个互为相反数的实数根，则m的值是　 　 ． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是3，求另一个实数根和m的值． 16．（10分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． （1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？ （2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ （3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测05 第二章 一元二次方程综合训练 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．一元二次方程3x2﹣6x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，6，4 B．3，﹣6，4 C．3，6，﹣4 D．3，﹣6，﹣4 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此作答． 【解答】解：一元二次方程3x2﹣6x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣6，﹣4， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 2．如果m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，那么多项式﹣2m2+4m+2025的值等于（　　） A．﹣2027 B．﹣2023 C．2023 D．2027 【分析】将x＝m代入原方程，可得出m2﹣2m＝1，再将其代入原式＝﹣2（m2﹣2m）+2025中，即可求出结论． 【解答】解：将x＝m代入原方程得：m2﹣2m﹣1＝0， ∴m2﹣2m＝1， ∴原式＝﹣2（m2﹣2m）+2025＝﹣2×1+2025＝2023． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 3．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≠2 B．m≥1且m≠2 C．m≤3且m≠2 D．m≥1 【分析】根据一元二次方程的判别式，有实根，则Δ≥0，由此即可求解． 【解答】解：关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，且a＝m﹣2，b＝2，c＝﹣1， ∴Δ＝22+4（m﹣2）≥0，解不等式得，m≥1， ∵关于x的一元二次方程， ∴m﹣2≠0，即m≠2， ∴m≥1且m≠2． 故选：B． 【点评】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，掌握根的判别式是解题的关键． 4．要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x个队参赛，则可列方程（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝4×7 D． 【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝4×7， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 5．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（　　） A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣1）2＝9 【分析】首先把常数项移到右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，即可得解． 【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0， x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1， ∴（x﹣1）2＝6． 故选：B． 【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是关键． 6．有一个人患流感，经过两轮传染后共有100个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】传染问题中传染源传染后仍计入患病人数，设每轮传染中平均一个人传染x人，根据两轮传染后总患病人数为100列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x， 初始有1人患病，第一轮传染后共有（1+x）人患病，第二轮传染中，新增患病人数为x（1+x），两轮后总患病人数为1+x+x（1+x）， 根据题意得1+x+x（1+x）＝100， 整理得（1+x）2＝100， 解得x1＝9，x2＝﹣11（舍去）， 则每轮传染中平均一个人传染的人数为9． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．用配方法解方程x2+6x+3＝0，方程可化为（x+3）2＝m，则m＝　6　 ． 【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【解答】解：由题知， x2+6x+3＝0， x2+6x＝﹣3， x2+6x+9＝﹣3+9， （x+3）2＝6， 所以m＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法是解题的关键． 8．关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+x+a2﹣9＝0的一个根是0，则a的值为　﹣3　 ． 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 【解答】解：把x＝0代入方程（a﹣3）x2+x+a2﹣9＝0， 得a2﹣9＝0， 解得a＝±3． ∵a﹣3≠0， ∴a＝﹣3 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题，解题时候注意二次项系数不能为0，难度不大． 9．已知关于x的两个方程x2+mx+n＝0，x2+nx+m＝0（m≠n）有一个公共根，则m、n满足的关系式是m+n＝﹣1　 ． 【分析】设关于x的两个方程x2+mx+n＝0，x2+nx+m＝0（m≠n）的一个公共根为p，则p2+mp+n＝0，p2+np+m＝0，将它们作差后求得p的值，再将其代入x2+mx+n＝0计算即可． 【解答】解：已知关于x的两个方程x2+mx+n＝0，x2+nx+m＝0（m≠n）有一个公共根， 设这个公共根为p， 则p2+mp+n＝0①，p2+np+m＝0②， ①﹣②得：（m﹣n）p﹣（m﹣n）＝0， 即（m﹣n）（p﹣1）＝0， ∵m≠n， ∴m﹣n≠0， ∴p﹣1＝0， 解得：p＝1， 那么两个方程的公共根为x＝1， 将x＝1代入x2+mx+n＝0中整理得：m+n＝﹣1， 故答案为：m+n＝﹣1． 【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键． 10．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），墙对面有一个2米宽的门（EF），另外三边用木栏围成，木栏长30m．若养鸡场面积为120m2，设AB＝xm，则列方程得 x（30+2﹣2x）＝120　 ． 【分析】由各边之间的关系，可得出BC＝（30+2﹣2x）m，根据养鸡场面积为120m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵木栏长30m，且EF＝2m，AB＝xm， ∴BC＝30+EF﹣2AB＝（30+2﹣2x）m． 根据题意得：x（30+2﹣2x）＝120． 故答案为：x（30+2﹣2x）＝120． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．已知方程x2﹣2026x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则的值为　﹣1　 ． 【分析】利用一元二次方程根的定义对进行降次处理，再结合根与系数的关系（韦达定理）对式子进行变形，最后代入化简求值． 【解答】解：由条件可知， ∴． ∵x1，x2是方程x2﹣2026x+1＝0的两根， ∴x1x2＝1， ∴， ∴． ∴ ＝（2026x1﹣1）﹣2026x1 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 12．已知a，b，c是△ABC的三边长，若一元二次方程（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0没有实数根，则△ABC是 　钝角　 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【分析】利用判别式的意义得到a﹣c≠0且Δ＝4b2﹣4（a﹣c）（a+c）＜0，则b2+c2＜a2，然后利用勾股定理的逆定理可判断△ABC是钝角三角形． 【解答】解：根据题意得a﹣c≠0且Δ＝4b2﹣4（a﹣c）（a+c）＜0， 即b2﹣a2+c2＜0， 所以b2+c2＜a2， 所以△ABC是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 13．某市政府2024年投入3亿元资金用于基础设施建设，并规划投入资金逐年增加，2026年将投入8亿元资金．设2024年至2026年的投入资金的年平均增长率为x，根据题意可列方程为　3（1+x）2＝8　 ． 【分析】根据2024年投入的资金×（1+x）2＝2026年投入的资金，列出方程即可． 【解答】解：由题意得：3（1+x）2＝8， 故答案为：3（1+x）2＝8． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0，方程有两个互为相反数的实数根，则m的值是　　 ． 【分析】设方程的两个根为s，t，由题意利用根与系数的关系列得关于m的方程，解方程求得m的值，再利用根的判别式判断是否符合题意即可． 【解答】解：已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0，方程有两个互为相反数的实数根， 设方程的两个根为s，t， 则s+t＝0， 即2m﹣1＝0， 解得：m， 将其代入原方程得x20， ∵Δ＝0+10＝10＞0， ∴此时方程有两个不相等的实数根，符合题意， 故答案为：． 【点评】本题考查根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是3，求另一个实数根和m的值． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将x＝3代入求出m的值，再利用因式分解法解方程即可． 【解答】（1）证明：在一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0中，a＝1，b＝﹣（m+3），c＝m+2， Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×（m+2） ＝m2+6m+9﹣4m﹣8 ＝m2+2m+1 ＝（m+1）2， ∵无论m取何值，（m+1）2≥0，即Δ≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根； （2）解：∵方程的一个实数根是3， ∴32﹣3（m+3）+m+2＝0， 解得：m＝1， ∴一元二次方程x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴方程的另一个实数根为1． 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，熟练掌握以上知识点是关键． 16．（10分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． （1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？ （2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ （3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 【分析】（1）根据每箱饮料每降价1元，每天可多售出20箱写出答案即可； （2）、（3）利用的数量关系是：销售每箱饮料的利润×销售总箱数＝销售总利润，由此列方程解答即可． 【解答】解：设每箱饮料降价x元，商场日销售量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12﹣x）元； （1）依题意得：（12﹣3）（100+20×3）＝1440（元） 答：每箱降价3元，每天销售该饮料可获利1440元； （2）要使每天销售饮料获利1400元，依据题意列方程得， （12﹣x）（100+20x）＝1400， 整理得x2﹣7x+10＝0， 解得x1＝2，x2＝5； ∵为了多销售，增加利润， ∴x＝5， 答：每箱应降价5元，可使每天销售饮料获利1400元． （3）不能，理由如下： 要使每天销售饮料获利1500元，依据题意列方程得， （12﹣x）（100+20x）＝1500， 整理得x2﹣7x+15＝0， 因为Δ＝49﹣60＝﹣11＜0， 所以该方程无实数根，即不能使每天销售该饮料获利达到1500元． 【点评】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $