第1章 反比例函数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 本卷聚焦九年级上册反比例函数单元，以现实情境与跨学科问题为载体，分层考查函数图像性质、综合应用及创新探究，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|反比例函数图像上点的坐标、函数值比较等|如第7题结合体能测试合格率考查实际应用，体现数据意识| |填空题|6/18|解析式求解、几何图形面积等|如第13题物理压强与体积关系，渗透跨学科模型观念| |解答题|9/72|函数与几何综合、实际问题解决等|如21题“水上滑梯”双曲线应用及25题矩形存在性探究，培养推理能力与创新意识|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴此函数图象上点的坐标满足， ，A不符合； ，B不符合； ，C不符合； ，D符合； ∴在此函数图象上． 2．点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ∵， ∴，即， ∴点和都在第二象限， 又∵， ∴． 3．如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【详解】解：连接、，线段交y轴于点D， ，， ， ， 由反比例函数中k的几何意义知，，， ． 4．在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而减小，且． 将代入得 ，将代入得 ． ∵，且随增大而减小， ∴． 5．如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C．若，则k的值为（     ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【详解】解：对于直线，当时，， ∴， 当时，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 代入得． 6．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 7．某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（     ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 【答案】C 【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴设反比例函数表达式为， 则甲、乙、丙、丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示： 由图可知， ∴甲、、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知合格人数， ∴，即甲、丁两个班级合格人数相同； ，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少； ，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多； 综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数， ∴这四个班合格人数最多的是丙． 8．如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 【答案】D 【详解】解：升温速率，初始温度， 设加热阶段解析式：， 令，，解得， 即加热分钟达到． 设反比例函数，代入： ，， 故降温阶段：． 令，，，即一个完整周期为． 选项A：水温从加热到，需要3min加热段， 令： ，，， 用时3分钟，A正确； 选项B：水温下降过程中，与的函数关系式是，B正确； 选项C：，处于降温阶段，代入： ，水温，正确； 选项D：分两段计算对应的范围： 加热段：， ，，加热段符合条件时长：． 降温段：， ，，降温段符合条件时长：． 总时长：，D错误． 9．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点的坐标分别为，，，点在点的右侧．动点从点出发，沿运动到点，反比例函数的图象经过点．则在点的运动过程中，图象经过两次的点是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形，，点在点右侧， ∴，， ∴， 设，反比例函数解析式为，则， 当点在线段上运动时，，， ∴，即； 当点在线段上运动时，，， ∴，即， 若图象经过某点两次，则该点对应的值在两段运动中均能取到，且对应不同的点， ∴， 、，不在范围内，不符合题意； 、，在范围内，符合题意； 、，不在范围内，不符合题意； 、，不在范围内，不符合题意． 10．如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ，， ，． 反比例函数的图象与线段只有一个交点， ∴分两种情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时； ②当且反比例函数图象过点，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时， ， ，， 不可能为，故选A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若函数是反比例函数，则____． 【答案】 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， ∴． 12．如图，为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为．若四边形的面积为6，则的值为______． 【答案】 【详解】解：设A点坐标为， ∵轴， ∴ ∴ ∵， ∵反比例函数的图象在第四象限， ∴. 13．某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当压强为时，气体的体积为______． 【答案】50 【详解】解：∵是的反比例函数， 设解析式为 ． 由图像可知，反比例函数过点， 将代入得： ， 解得 ， 因此函数解析式为 ． 当压强时， 代入解析式： ， 解得 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ， 由菱形的性质知， 菱形的面积为， ， ， 由勾股定理得， 结合点在第四象限得， 由点在反比例函数上得． 15．在反比例函数的图象上，有一系列点，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．现分别过点，作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，则________，________________________（用含n的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：∵点、、、、、在反比例函数图象上，且的横坐标为， ∴， ∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为， ∴、、、、， ∴， ， ， … ， ∵， ∴ ． 16．如图，在平面直角坐标系中，两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是6，则的值为_______． 【答案】4 【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又， ∴， 设，而， ∴的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（4分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，其中点坐标为，点到轴的距离为1． (1)试确定、的值； (2)求点的坐标． 【详解】（1）解：为一次函数与反比例函数图象的交点， ∴将代入一次函数解析式得：， 解得：； 将代入反比例函数解析式得：， 解得：； 故答案为：，； 2分 （2）解：，， ， 点到轴的距离为1， ， ， 的坐标为． 4分 18．（4分）研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据表格数据，求与的函数关系式； (2)小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 【详解】（1）解：设与的函数关系式为 当时，，代入： 与的函数关系式为 2分 （2）解：由（1）得与的函数关系式为 当时，（度） （度） 小红的近视眼镜度数降低了度． 4分 19．（6分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； 1分 也在反比例函数的图象上， ， 即， 2分 ，在一次函数的图象上， ， 解得， 即一次函数解析式为． 4分 （2）解：一次函数的图象与轴相交于点， ， 即， ， 又，， ． 6分 20．（8分）如图，四边形放在平面直角坐标系中，已知，，、、，反比例函数的图象经过点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将四边形向上平移个单位后，问点是否落在该反比例函数的图象上？ 【详解】（1）解：过作， ，， 四边形为等腰梯形， ，，， ≌， ， 2分 ， ， ， 4分 把代入反比例解析式得：， 则反比例解析式为； 6分 （2）解：由平移得：平移后的坐标为， 把代入反比例得：， 则平移后点落在该反比例函数的图象上． 8分 21．（8分）如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 【详解】（1）解：∵矩形，，， ∴，，， ∵点在轴上， ∴轴， ∴轴， ∴点的坐标为， 2分 ∵设段滑梯所在的双曲线的解析式为（为常数，且）， 将坐标代入，得， 解得， ∴段滑梯所在的双曲线的解析式为． 3分 （2）解：∵点距离水面的距离为米， ∴设点的坐标为， ∵点在上， ∴将代入，解得：， ∴点的坐标为 ∴，之间的水平距离：（米）； 5分 （3）解“设点的坐标为， 将代入， 得， ， 根据题意，得， 解得， 点到水面的距离最多米． 8分 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若是直线上的一个动点，的面积为35，求点坐标． 【详解】（1）解：依题意把代入，得出， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 1分 把代入中，得出， ， 则把和分别代入， 得出， 解得， ∴一次函数的解析式为：； 3分 （2）解：依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． 则结合图象，当时，则或； 5分 （3）解：如图，记直线与直线的交点为 ∵， ∴当时，则， ， ∵是直线上的一个动点， ∴设点， 7分 ∵的面积为35， ∴， 即 ∴ 解得或， ∴点坐标为或． 10分 23．（10分）小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为（网格图中每个小正方形的边长均为1）．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数（）的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上的四个格点，再画出反比例函数的图象； (3)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示的平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，点平移后落在反比例函数图象上的坐标为， ∴，解得． ∴反比例函数的表达式为； 2分 （2）解：由（1）知反比例函数的表达式为，且， ∴这个反比例函数图象上的四个格点分别为， 4分 画出的反比例函数的图象如图 ； 6分 （3）解：过点作于点E，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， 8分 ∴， ∴，代入，得， ∴． 10分 24．（10分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】(1)证明：在中，当时，， ∴，， 当时，， ∴， ∴，， 将代入，得， ∴， 1分 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴． 3分 （2）解：∵，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴轴， ∵，， ∴， 4分 ∵E为的中点， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式． 6分 （3）存在，点P的坐标为或． 如图，设点P到的高为h， ∵点，，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为， 即点P的纵坐标为或． 8分 ∵点P在函数的图象上， ∴点P的横坐标为或． ∴点P的坐标为或． 10分 25．（12分）如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的关系式为. 2分 四边形为平行四边形，且点，，点， 点，点. 3分 （2）解：①作轴于点E，作轴于点F，如图3所示， 点为线段的中点，点、， 点， 令中，则， 点， 5分 根据反比例函数的几何意义得， ， 6分 ②假如四边形是矩形，则，过作的垂线分别交，于点，，作轴于点，如下图： 点， ， ， ， ， ， 8分 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 10分 设直线的解析式为， 把代入得， ， 直线的关系式为， 联立， 解得， ； ∴点的坐标为或． 12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章反比例函数·能力提升（参考答案) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6 8 9 10 D B A B D D B A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.-2 12.-6 13.50 14.-12 10n 15.5 n+1 16.4 三、解答题（共9小题，共72分） 17.【详解】)解：~1(2为次函数与反比例函数图象的交点， 将x=2,y=1代入一次函数解析式得：1=2k-1, 解得：k=1: 将x=2,y=1代入反比例函数解析式得：1-) 2 解得：m=2; 故答案为：k=1,m=2;2分 (2)解：k=1,m=2, 2 ·y=x-1,y= 点B到y轴的距离为1， .∴.x=-1 ∴.y=-1-1=-2 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴B的坐标为 -1-2) .4分 18.【详解】(1)解：设y与x的函数关系式为y=k≠0) 当x=0.40时，y=250,代入： k=xy=0.4×250=100 100 y与X的函数关系式为y=T2分 100 (2)解：由(1)得y与的函数关系式为y= 100 当x=0.5时，y=05 200(度) 500-200=300(度) 小红的近视眼镜度数降低了300度.4分 19.【详解】(1)解：：8(-2，-1)在反比例函数y= x的图象上， .m=-2×(-1)=2 反比例函数的解析式为y=3 x...... .1分 m :A山，n）也在反比例函数y=x的图象上， n=2-2 1 A(1,2) 即 2分 A,2）).B(-2,-在一次函数’=+b的图象上， 「a+b=2 -2a+b=-1, a=1 解得b=1, 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即一次函数解析式为y二X+1.… .4分 (2)解：一次函数y=x+1的图象与y轴相交于点C, ∴.C(0,1) 即OD=0C=1, D(0,-1) 又12）.B(-2-1) .5.m-BDiy-ol-x2x3-3. 6分 20.【详解】(1)解：过C作CE⊥AB, :DC∥AB,AD=BC, “四边形ABCD为等腰梯形， .∠A=∠B.DO=CE=3.CD=OE. ∴.△ADO2△BCE. BE=0A=2, .2分 AB=8, ..OE=AB-OA-BE=8-2-2=4. C(4,3) 4分 C(4,3) 把 代入反比例解析式得：k=12 12 则反比例解析式为y= x i .6分 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B -2 E 6 x (2②)解：由平移得：平移后8的坐标为6,2列， 把x=6代入反比例得：y=2, 则平移后点B落在该反比例函数的图象上..8分 21,【详解】(1)解：矩形AOEB,OA=8,AB=3, .BE=OA=8,OE=AB=3,∠AOE=∠AEO=∠OAB=∠ABE=90°， ,点E在x轴上， .BE⊥x轴， .AB1y轴， ∴点B的坐标为 3,8) .2分 :设BC段滑梯所在的双曲线的解析式为少=x（k为常数，且k≠0)， 将坐标B(3,8)代入y= x,得38， 解得k-24】 小8C段滑梯所在的双曲线的解折式为y=24 x............... 3分 (2)解：，C点距离水面的距离为1.2米， “设点C的坐标为 m,1.2) 24 “点C在y=x上， 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24 ∴将C(m,1.2)代入y=元，解得：m=20 ∴点C的坐标为 20,1.2) 8,C之间的水平距离：。-。=20-3=17 （米)；5分 (3)解“设点P的坐标为a,6), 将Q(a,b)代入y=24 得b24 a as 24 b 24-326 根据题意，得 解得bs8 3 8 点Q到水面的距离最多写米。8分 2.【详解】(1)解：依愿意把4(-6)代入y=” ,得出1= -6 B 解得m=-6, ·反比例函数的解析式为少=-6 6 6 把B(L,n)代入y= x中，得出n=一 2=-6 1 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴B(1,-6) 则把4(-6和B(-0)分别代入=+b, [1=-6k+b 得出-6=k+b, k=-1 解得b=-5, ∴.一次函数的解析式为：=-x-5, 3分 (2)解：依题意，一次函数y=+b的图象与反比例函数V=的图象交于A(-6,、B(0,-6)两点. 结合图象，当x+b≤时。则6X0或X之 (3)解：如图，记直线AB与直线x=-2的交点为C y=-x-5, 当x=-2时，则y=-x-5=2-5=-3, .C(-2,-3) :P是直线x=-2上的一个动点， 设 P(-2,p) 7分 ,△PAB的面积为35， 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 xc,(2+P0-(气2-0g0x-)=5, 即73-小7=35 3-p=10 解得p=7或-13， 点P坐标为27)或2-13) 10分 23.【详解】(1)解：由题意得，点C平移后落在反比例函数y=图象上的坐标为(1,6)： “1=6,解得k=6 “反比例函数的表达式为y=(>0), .2分 (②解：由61）知反比例西数的表达式为x>0).且1x6=2×3-3×2=6x1=6: 1,6),(2,3),(3,2),(6,1) .这个反比例函数图象上的四个格点分别为 4分 画出的反比例函数的图象如图 5 4 B 2 ;.6分 A 01234567x (3)解：过点B作BE⊥OA于点E,如图所示， 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 B 4 1 E01234567x :四边形OABC是矩形， .'.AB=OC=6, .'AB=AB'=6. E RtAB'E中，∠0AB'=30°，8分 2x6=3 %=3,代入y=6 ,得x=2, .D(2,3) l0分 24.【详解】①)证明：在y=3x+8中，当x=0时，y=8, :B(0,8)OB=8 4 当y=0时，3x+8=0, .x=-6 .A(-6,0)0A=6 0,8代入y=-2x+b. 将 得b=8 .y=-2x+8 1分 当y=0时，-2x+8=0, x=4, 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :D(40) :4B=V0+0B=10.AD=4-(6)=10 ∴AB=AD, ,△ABD与△CBD关于直线BD对称， BC=DC 3分 (2)解：AD=CD,AB=BC,AB=AD, .AB=BC=CD=AD 四边形ABCD是菱形， BC‖x轴， .8(0.8).BC=10 ,C(108) .4分 E为BC的中点， :E68) ·点B在反比例函数少=x的图象上。 .k=5×8=40, 40 .反比例函数的解析式y= ，6分 2572 253 (3)存在，点P的坐标为9’5)或 如图，设点P到BE的高为h, 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (0,8)D(4,0)E(5,8) ,点 50=2×4x8=16, 1 S.PER= .BE.h=16 32 ..hs 5 ÷点P的纵坐标为8士3 5 728 即点P的纵坐标为5或5· … …8分 40 ·点P在函数少=x的图象上， ·点P的横坐标为，=40÷72_25 59或5=40÷8 25 5 2572) 8 “点P的坐标为9’5)或 25,5 10分 25,【详解】山)解：反比例函数y->0)的图象经过点4机，， .m=1×4=4 4 :反比例函数的关系式为y=(任>0）.mm2分 ABC 0(0,0)0C=5.A1,4) ·四边形 为平行四边形，且点， ,点 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .C(5,0).B(6,4) 点 ，点 3分 (2)解：①作AE⊥x轴于点E,作PF⊥x轴于点F,如图3所示， B 点为线段 的中点，点 图3 .D BC C(5,0)B(6,4) x中y=2,则x=2 P(2,2) 点 5分 “根据反比例函数的几何意义得 S.AOE =S.POF =2 .S四边形AOFP-SAOE=S四边形AOFP-SoPF .5.FF-(E+PF)3 6分 ②假如四边形OPMW是矩形，则OP1PM,过P作O的童线'分别交40,0C于点M,M,作 PH⊥x轴于点H,如下图： M 点 P(2,2) .PH=OH=2, ∠POH=∠OPH=45°， ∴.∠HPM,=∠PM,H=45 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.OH=PH=MH=2 ∴.M(4,0) 8分 设直线I的解析式为y=c+b, [2k+b=2 把(2,2)，(4,0)代入，得4k+b=0, k=-1 解得b=4, 直线t的解析式为y=-X+4, 10分 设直线OA的解析式为y=x, 把4,4)代入得n=4, .n=4 OA y=4x 直线的关系式为， y=-x+4 联立y=4x, 「4 x25 解得16， y= 5 416 :M55; 点M的整标为40或号 12分 12/12………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 3．如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 4．在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C．若，则k的值为（     ） A．4 B． C． D．6 6．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（     ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 （第6题） （第7题） （第8题） 8．如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 9．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点的坐标分别为，，，点在点的右侧．动点从点出发，沿运动到点，反比例函数的图象经过点．则在点的运动过程中，图象经过两次的点是（） A． B． C． D． 10．如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若函数是反比例函数，则____． 12．如图，为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为．若四边形的面积为6，则的值为______． （第12题） （第13题） （第14题） 13．某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当压强为时，气体的体积为______． 14．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 15．在反比例函数的图象上，有一系列点，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．现分别过点，作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，则________，________________________（用含n的代数式表示）． （第15题） （第16题） 16．如图，在平面直角坐标系中，两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是6，则的值为_______． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（4分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，其中点坐标为，点到轴的距离为1． (1)试确定、的值； (2)求点的坐标． 18．（4分）研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据表格数据，求与的函数关系式； (2)小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 19．（6分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 20．（8分）如图，四边形放在平面直角坐标系中，已知，，、、，反比例函数的图象经过点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将四边形向上平移个单位后，问点是否落在该反比例函数的图象上？ 21．（8分）如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若是直线上的一个动点，的面积为35，求点坐标． 23．（10分）小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为（网格图中每个小正方形的边长均为1）．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数（）的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上的四个格点，再画出反比例函数的图象； (3)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示的平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，直接写出点的坐标． 24．（10分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（12分）如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 3．如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 4．在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C．若，则k的值为（     ） A．4 B． C． D．6 6．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（     ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 （第6题） （第7题） （第8题） 8．如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 9．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点的坐标分别为，，，点在点的右侧．动点从点出发，沿运动到点，反比例函数的图象经过点．则在点的运动过程中，图象经过两次的点是（） A． B． C． D． 10．如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若函数是反比例函数，则____． 12．如图，为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为．若四边形的面积为6，则的值为______． （第12题） （第13题） （第14题） 13．某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当压强为时，气体的体积为______． 14．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 15．在反比例函数的图象上，有一系列点，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．现分别过点，作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，则________，________________________（用含n的代数式表示）． （第15题） （第16题） 16．如图，在平面直角坐标系中，两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是6，则的值为_______． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（4分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，其中点坐标为，点到轴的距离为1． (1)试确定、的值； (2)求点的坐标． 18．（4分）研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据表格数据，求与的函数关系式； (2)小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 19．（6分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 20．（8分）如图，四边形放在平面直角坐标系中，已知，，、、，反比例函数的图象经过点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将四边形向上平移个单位后，问点是否落在该反比例函数的图象上？ 21．（8分）如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若是直线上的一个动点，的面积为35，求点坐标． 23．（10分）小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为（网格图中每个小正方形的边长均为1）．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数（）的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上的四个格点，再画出反比例函数的图象； (3)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示的平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，直接写出点的坐标． 24．（10分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（12分）如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $