专题02 实数的初步认识（期中知识清单，6知识&9题型&4易错清单）八年级数学上学期新教材苏科版

专题02 实数的初步认识（6知识&9题型&4易错清单） 【清单01】平方根与算术平方根 1.平方根概念：若x²=a（a≥0），则x称为a的平方根，记作±√a。正数有两个平方根且互为相反数，0的平方根为0，负数无平方根。 2.算术平方根：正数x的平方等于a时，x称为a的算术平方根，记作√a。性质包括双重非负性（被开方数≥0，结果≥0）。 【清单02】立方根 1.立方根概念：若x³=a，则x称为a的立方根，记作³√a。正数立方根为正，负数立方根为负，0的立方根为0。 2.运算规则：³√(-8)=-2，³√27=3。 3.对比平方根与立方根： （1）平方根：正数有两个，负数无，0有一个。 （2）立方根：每个实数有且仅有一个。 【清单03】实数的分类与性质 1.实数定义：有理数与无理数统称实数。 2.有理数：可表示为分数形式（p/q，p、q互质），包括整数、有限小数、无限循环小数。 3.无理数：无限不循环小数，如√2、π、0.1010010001…（相邻1间0的个数逐次加1）。 4.实数与数轴：实数与数轴上的点一一对应，正数在原点右侧，负数在左侧，0在原点。 【清单04】实数的大小比较 1.数轴法：数轴上右侧数大于左侧数。 2.绝对值法：两个负数比较时，绝对值大的数反而小。 3.估算法：通过平方或立方运算比较无理数大小。 【清单05】实数的运算 运算规则： （1）加法：同号相加取原符号，异号相加取绝对值较大数的符号。 （2）乘法：同号得正，异号得负，绝对值相乘。 （3）运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号时先算括号内。 【清单06】近似数与有效数字 1.近似数：通过四舍五入得到的数，如π≈3.14（精确到百分位）。 2.有效数字：从第一个非零数字起，到末位数字止的所有数字。 3.科学记数法：表示形式为a×10ⁿ（1≤a<10，n为整数）。 【题型一】无理数 【例1】下列各数：，，，0， ，，，其中无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的常见类型．无理数常见的三种类型：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数． 【详解】解：在所列的实数中，无理数有，共2个， 故选：B． 【变式1-1】下列实数中，属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的分类、无理数的定义，无理数是无限不循环小数，根据实数的分类逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 是无理数，故该选项不正确，不符合题意；     B. 是无理数，故该选项不正确，不符合题意；     C. 是无理数，故该选项不正确，不符合题意；     D. 是有理数，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式1-2】在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意 0 是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、 0 和负整数，有理数是正有理数、 0 和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中， 正数有（每两个 1 之间的0的个数逐次增加1 ），有6个，则； 非负整数有 0，21 ，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则， 故答案为：1． 【题型二】实数比较大小 【例2】在实数，，0，中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较法则的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．根据实数大小比较的法则比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴最小的数是， 故选：D． 【变式2-1】实数和的大小关系是（   ） A． B． C．一样大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，分别求出两个数的平方，进而比较出大小，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：． 【变式2-2】比较大小： 5（填“>”，“=”，“<”）． 【答案】< 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题关键是掌握实数的大小比较方法． 先得出，再化简得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：<． 【题型三】平方根与立方根 【例3】计算的结果是（   ） A．6 B． C． D．36 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，熟记算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 【变式3-1】下列说法不正确的是（　　） A．的立方根是 B． C．的平方根是 D．0没有算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，掌握相关定义是解题关键．根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、的立方根是，原说法正确，不符合题意； B、，原说法正确，不符合题意； C、，的平方根是，原说法正确，不符合题意； D、0有算术平方根，原说法不正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-2】立方根是它本身的数是 ， ，的平方根是 ． 【答案】 0，，1 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的意义，理解和掌握平方根、算术平方根和立方根的意义是正确计算的前提．根据算术平方根、平方根、立方根的意义进行计算即可． 【详解】解：，，， 立方根是它本身的数是0，，1， ， 的平方根是， 故答案为：0，，1；；． 【题型四】算术平方根的非负性 【例4】若，则的算术平方根是（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质，算术平方根，根据算术平方根与平方数的非负性求出x，y的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， 的算术平方根是， 故选A． 【变式4-1】已知，，满足，则的值为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是理解绝对值和二次根式的非负性，能够正确求出、的值．根据绝对值和二次根式的非负性分别求出、，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式4-2】如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性．根据非负数的性质列出算式，求出x、y的值，计算即可． 【详解】解：∵，而，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【题型五】新定义运算 【例5】定义一种新运算：，则的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】此题考查有理数的混合运算，理解规定的运算顺序与方法是解决问题的关键． 根据规定的运算方法转化为有理数的混合运算计算即可． 【详解】解：根据新运算得， ， 故选：A． 【变式5-1】定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，负整整数指数幂，等根据新定义运算的规则，将根据新定义得出，分步计算各部分的值后求和． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：B 【变式5-2】定义新运算“☆”：若，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了定义新运算，算术平方根，理解题意是解题的关键．先计算，其答案为6，再计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：7． 【题型六】利用平方根与立方根解方程 【例6】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了利用立方根和平方根的定义解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解此题的关键． （1）利用立方根的定义解方程即可得解； （2）利用平方根的定义解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 【变式6-1】求等式中的x值：． 【答案】或 【分析】本题考查利用平方根解方程，移项，利用平方根的定义，解方程即可． 【详解】解：由，得， ， 或， 或． 【变式6-2】求下列各式中x的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根与立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ． 【题型七】实数运算 【例7】计算： 【答案】1 【分析】本题考查了实数的混合运算，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先计算开方和乘方，再计算加减． 【详解】解：原式 ． 【变式7-1】计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、立方根、绝对值、有理数的乘方等运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． 根据有理数的乘方、算术平方根、绝对值性质、立方根的运算法则求解即可解答． 【详解】解：原式 ． 【变式7-2】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算．先根据算术平方根的性质，乘方，立方根的性质化简，再计算即可求解． 【详解】解： 【题型八】整数、小数部分 【例8】已知正数的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，是的整数部分． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， ． (2) 【分析】（1）利用正数的两个平方根互为相反数求出，进而得； （2）先确定的整数部分得，再代入计算，最后求其算术平方根 ． 【详解】（1）解：∵ 正数的两个不等平方根和互为相反数， ∴ ， 解得 ． ∵ 的平方根是和，， ∴ 平方根为和， ∴ ． ∵ 的立方根为， ∴ ， 解得 ． 故， ． （2）解：∵ ， ∴ ，即， ∴ ． ， 的算术平方根为 ． 故的算术平方根是 ． 【点睛】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算，熟练掌握这些定义，准确进行计算和推理是解题的关键． 【变式8-1】我们知道是无理数，因此的小数部分不可能全部写出来．因为，即，所以的整数部分为2，将减去其整数部分，差就是小数部分，即的小数部分为． 根据以上材料请解答： (1)的整数部分是______________，小数部分是_______________． (2)已知的小数部分是，则______________，的小数部分是，则______________． (3)在（2）的条件下，若，求出满足条件的的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是：熟练掌握估算无理数的大小的方法． （1）根据，得到，即可求解， （2），计算x，y的值，即可求解， （3）把，，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）解：由（2）知，，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【变式8-2】数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道，，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少？”小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示．”张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的小数部分是的整数部分是b，求的值； (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 【答案】(1)4 (2)28 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得的值的大小是解题的关键． （1）估算出和的范围，然后可求得、的值，然后再求代数式的值即可； （2）先求得的值，然后再表示出的值，最后进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． ． （2）解：， ． 是一个整数，， ， ， ∴原式． 【题型九】实数规律问题 【例9】如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索． （1）根据图形即可得到，观察图形可知第n幅图中★的个数为； （2）由（1）得，再找到规律，据此把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解：第1幅图中★的个数为， 第2幅图中★的个数为， 第3幅图中★的个数为， ， 以此类推，第n幅图中★的个数为； （2）解：由（1）知，第n幅图中★的个数为， ， ， ， ， 以此类推，可知， ∴ ． 【变式9-1】先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）根据规律写出猜想即可； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：① ②； ③ …… ； （3）解： ． 【变式9-2】观察下列算式： ①；②；③；④；… (1)写出第⑥个等式； (2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察可得第个等式为； （3）利用（2）的规律，将所求的式子化为，再运算即可． 【详解】（1）解：第⑥个等式为， 故答案为：； （2）第个等式为， 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律运算是解题的关键． 【题型一】实数在数轴上的化简错误 【例1】实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果（　　） A．a﹣b B．a+b C．a﹣3b D．a+3b 【答案】A 【分析】根据实数a，b在数轴上对应的点的位置判断出：a，b，a+b的符号，再根据平方根、立方根以及绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：实数a，b在数轴上对应的点的位置可知：a＞0，b＜0，且|a|＞|b|， 因此，a+b＞0， 所以，＝﹣b+a+b﹣b＝a﹣b．， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与数轴、平方根、立方根以及绝对值的性质等知识，正确判断符号是正确化简的前提． 【变式1-1】已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，算术平方根和立方根的意义，以及整式的加减，根据数轴得，则可得，，进而可求解，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【详解】解：由数轴得：， ，， ， 故答案为：． 【变式1-2】已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示：化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴可知，则可知，，即可根据平方根，立方根的性质进行化简． 【详解】根据数轴可知，则可知，， 故答案为：b． 【题型二】近似数与精确度混淆 【例2】用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到千分位） C．（精确到百分位） D．（精确到） 【答案】B 【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入法对各选项进行判断即可求解，掌握四舍五入法是解题的关键． 【详解】解：、精确到是，该选项正确，不符合题意； 、精确到千分位是，该选项错误，符合题意； 、精确到百分位是，该选项正确，不符合题意； 、精确到是，该选项正确，不符合题意； 故选：． 【变式2-1】用四舍五入法取近似值： （精确到；0.23精确到 位；精确到 位 【答案】 1.895 百分位 百位 【分析】本题考查的是按照精确度确定近似数，掌握“按照四舍五入的方法根据精确度确定近似数”是解本题的关键.取近似数，精确到哪一位，就是对下一位进行四舍五入． ①精确到0，001，就把万分位上的数字进行四舍五入即可； ②小数保留两位小数，就是精确到百分位； ③用科学记数法表示的数，是确定精确到哪位，首先要把这个数还原成一般的数，然后看其中的最后一个数字在还原的数中是什么位，则用科学记数法表示的数就精确到哪位． 【详解】解：， 0.23精确到了百分位， ∵， ∴精确到了百位． 故答案为：①1.895；②百分位；③百位． 【变式2-2】用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)（精确到千分位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了近似数的精确度，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示． （1）直接对十万分位上的数字7进行四舍五入即可； （2）直接对十分位上的数字1进行四舍五入即可； （3）直接对千分位上的数字6进行四舍五入即可； （4）直接对万分位上的数字1进行四舍五入即可． 【详解】（1）解：（精确到）。 （2）解：（精确到个位）。 （3）解：（精确到）。 （4）解：（精确到千分位）。 【题型三】与几何问题中应用求边长为正 【例3】将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数(    ) A．0 B．3 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查算术平方根，根据算术平方根的定义解决此题． 【详解】解：设拼成后的正方形的边长为． 由题意得，． ∴． ∴该正方形的边长最接近整数1． 故选：C． 【变式3-1】在《实数》学习中，我们可以按如图1操作：把面积为1的两个小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，它的边长为．可以参考这个方法，如图2操作：将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形，则内部白色正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的拼剪，算术平方根的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据大正方形面积空白部分面积个直角三角形的面积，通过计算得出，再开方，即可得出答案． 【详解】解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：，即， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 【变式3-2】如图是小红购买的用来放照片的长方形相框，若这个相框的长是宽的2倍，且这个相框的面积是．求这个相框的长和宽． 【答案】这个相框的长为2.4m，宽为1.2m 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，根据题意列出方程，并解出即可获解． 【详解】解：设这个相框的宽为，则长为． 根据题意，得， （负值已舍去），． 这个相框的长为，宽为． 【题型四】估算无理数左右判断有误 【例4】代数式的估值在（    ） A．之间 B．3~4之间 C．之间 D．之间 【答案】B 【分析】先估算的值，进而可求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，在确定形如（a≥0）的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算． 【变式4-1】估计介于 与 两个连续整数之间． 【答案】 4 5 【分析】本题考查无理数的估算．熟练掌握夹逼法，是解题的关键． 利用夹逼法，进行估算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：4，5． 【变式4-2】阅读下列材料： 可以通过下列步骤估计的大小： 第一步：因为，，，所以． 第二步：通过取和的平均数确定所在的范围：取和的平均数为， 因为，，所以． (1)请仿照第一步，通过运算，确定介于哪两个相邻的整数之间？ (2)在的基础上，重复应用第二步中取平均数的方法，试确定，的值，使，且． 【答案】(1)介于8和9之间 (2)， 【分析】本题主要考查算术平均数的定义以及估算无理数的大小．熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键； （1）根据，，进行估算即可求解； （2）根据题意，分别计算和和进行比较，即可求解； 【详解】（1）解：，， ， ， 介于和之间； （2）解： 取和的平均数为， ， ， ， 取和的平均数为， 又， ， ， ， 学科网（北京）股份有限公2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数的初步认识（6知识&9题型&4易错清单） 【清单01】平方根与算术平方根 1.平方根概念：若x²=a（a≥0），则x称为a的平方根，记作±√a。正数有两个平方根且互为相反数，0的平方根为0，负数无平方根。 2.算术平方根：正数x的平方等于a时，x称为a的算术平方根，记作√a。性质包括双重非负性（被开方数≥0，结果≥0）。 【清单02】立方根 1.立方根概念：若x³=a，则x称为a的立方根，记作³√a。正数立方根为正，负数立方根为负，0的立方根为0。 2.运算规则：³√(-8)=-2，³√27=3。 3.对比平方根与立方根： （1）平方根：正数有两个，负数无，0有一个。 （2）立方根：每个实数有且仅有一个。 【清单03】实数的分类与性质 1.实数定义：有理数与无理数统称实数。 2.有理数：可表示为分数形式（p/q，p、q互质），包括整数、有限小数、无限循环小数。 3.无理数：无限不循环小数，如√2、π、0.1010010001…（相邻1间0的个数逐次加1）。 4.实数与数轴：实数与数轴上的点一一对应，正数在原点右侧，负数在左侧，0在原点。 【清单04】实数的大小比较 1.数轴法：数轴上右侧数大于左侧数。 2.绝对值法：两个负数比较时，绝对值大的数反而小。 3.估算法：通过平方或立方运算比较无理数大小。 【清单05】实数的运算 运算规则： （1）加法：同号相加取原符号，异号相加取绝对值较大数的符号。 （2）乘法：同号得正，异号得负，绝对值相乘。 （3）运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号时先算括号内。 【清单06】近似数与有效数字 1.近似数：通过四舍五入得到的数，如π≈3.14（精确到百分位）。 2.有效数字：从第一个非零数字起，到末位数字止的所有数字。 3.科学记数法：表示形式为a×10ⁿ（1≤a<10，n为整数）。 【题型一】无理数 【例1】下列各数：，，，0， ，，，其中无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下列实数中，属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 【题型二】实数比较大小 【例2】在实数，，0，中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【变式2-1】实数和的大小关系是（   ） A． B． C．一样大 D．无法确定 【变式2-2】比较大小： 5（填“>”，“=”，“<”）． 【题型三】平方根与立方根 【例3】计算的结果是（   ） A．6 B． C． D．36 【变式3-1】下列说法不正确的是（　　） A．的立方根是 B． C．的平方根是 D．0没有算术平方根 【变式3-2】立方根是它本身的数是 ， ，的平方根是 ． 【题型四】算术平方根的非负性 【例4】若，则的算术平方根是（　　） A．4 B． C．2 D． 【变式4-1】已知，，满足，则的值为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-2】如果，那么的值为 ． 【题型五】新定义运算 【例5】定义一种新运算：，则的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【变式5-1】定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（    ） A． B．5 C． D． 【变式5-2】定义新运算“☆”：若，则 ． 【题型六】利用平方根与立方根解方程 【例6】解方程： (1)； (2)． 【变式6-1】求等式中的x值：． 【变式6-2】求下列各式中x的值： (1)； (2) 【题型七】实数运算 【例7】计算： 【变式7-1】计算： 【变式7-2】计算：． 【题型八】整数、小数部分 【例8】已知正数的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，是的整数部分． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【变式8-1】我们知道是无理数，因此的小数部分不可能全部写出来．因为，即，所以的整数部分为2，将减去其整数部分，差就是小数部分，即的小数部分为． 根据以上材料请解答： (1)的整数部分是______________，小数部分是_______________． (2)已知的小数部分是，则______________，的小数部分是，则______________． (3)在（2）的条件下，若，求出满足条件的的值． 【变式8-2】数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道，，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少？”小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示．”张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的小数部分是的整数部分是b，求的值； (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 【题型九】实数规律问题 【例9】如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 【变式9-1】先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 【变式9-2】观察下列算式： ①；②；③；④；… (1)写出第⑥个等式； (2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【题型一】实数在数轴上的化简错误 【例1】实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果（　　） A．a﹣b B．a+b C．a﹣3b D．a+3b 【变式1-1】已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的结果为 ． 【变式1-2】已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示：化简：． 【题型二】近似数与精确度混淆 【例2】用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到千分位） C．（精确到百分位） D．（精确到） 【变式2-1】用四舍五入法取近似值： （精确到；0.23精确到 位；精确到 位 【变式2-2】用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)（精确到千分位）． 【题型三】与几何问题中应用求边长为正 【例3】将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数(    ) A．0 B．3 C．1 D．2 【变式3-1】在《实数》学习中，我们可以按如图1操作：把面积为1的两个小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，它的边长为．可以参考这个方法，如图2操作：将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形，则内部白色正方形的边长为 ． 【变式3-2】如图是小红购买的用来放照片的长方形相框，若这个相框的长是宽的2倍，且这个相框的面积是．求这个相框的长和宽． 【题型四】估算无理数左右判断有误 【例4】代数式的估值在（    ） A．之间 B．3~4之间 C．之间 D．之间 【变式4-1】估计介于 与 两个连续整数之间． 【变式4-2】阅读下列材料： 可以通过下列步骤估计的大小： 第一步：因为，，，所以． 第二步：通过取和的平均数确定所在的范围：取和的平均数为， 因为，，所以． (1)请仿照第一步，通过运算，确定介于哪两个相邻的整数之间？ (2)在的基础上，重复应用第二步中取平均数的方法，试确定，的值，使，且． 学科网（北京）股份有限公2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $