第二章实数的初步认识（期中知识清单）八年级数学上学期新教材苏科版

第二章 实数的初步认识　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 平方根 1.1 算术平方根 一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 叫作 的算术平方根。 的算术平方根记作 ，读作”根号 “。 的算术平方根记作 ， 的算术平方根记作 。 规定： 的算术平方根是 ，即 。 示例：因为 ，所以 的算术平方根 ；因为 ，所以 的算术平方根 。 1.2 平方根 一般地，如果一个数 的平方等于 （），即 ，那么这个数 叫作 的平方根，也称为二次方根。例如， 和 是 的平方根。 平方根有下列性质： · 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； · 的平方根是 ； · 负数没有平方根。 示例：因为 ，所以 的平方根是 与 ，其中 是 的算术平方根。 1.3 平方根的表示 如果 为正数，那么 有两个平方根 ，其中”“表示可以取正、负两个值，正的平方根是算术平方根 ，负的平方根是 。 示例：因为 ，所以 的平方根是 ； 的平方根是 。 1.4 开平方 求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方与平方互为逆运算。 示例： 与 互为逆运算；。 2. 立方根 2.1 立方根 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 ，那么这个数 叫作 的立方根，也称为三次方根。 的立方根记作 ，读作”三次根号 “。 立方根有下列性质： · 正数的立方根是正数； · 的立方根是 ； · 负数的立方根是负数。 示例：因为 ，所以 是 的立方根，即 ；；。 2.2 开立方 求一个数的立方根的运算叫作开立方。开立方与立方互为逆运算。 示例： 与 互为逆运算；。 3. 实数 3.1 无理数 无限不循环小数叫作无理数。因为分数都可以转化为有限小数或者循环小数，所以无理数不能写成分数形式 （、 是整数，）。和有理数类似，无理数分为正无理数和负无理数。 示例：圆周率 是一个无限不循环小数，是无理数； 也是无理数。 3.2 实数及分类 有理数和无理数统称为实数。实数可以分类如下： 分类方式 分类结果 按定义 有理数（整数、有限小数或循环小数）、无理数（无限不循环小数） 按符号 正实数、、负实数 示例：、 是正无理数； 是负无理数； 既不是正实数也不是负实数。 3.3 实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数。 示例：以 个单位长度为边长画一个正方形，这个正方形的对角线长为 。以数轴原点为圆心、正方形的对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示 。可见数轴上并不是所有点都表示有理数。 3.4 实数的大小比较 和有理数一样，可以根据数轴上点的位置，比较它们表示的实数的大小。数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。 示例：在数轴上，表示 的点在表示 的点的右边，所以 ；表示 的点在表示 的点的右边，所以 。 3.5 实数的运算 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且可以进行开立方运算，任何非负实数还可以进行开平方运算。有理数的绝对值、倒数、相反数的意义，有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用。 示例：； 的相反数是 ；。 4. 近似值 4.1 准确值与近似值 生活中，有些数据是准确的，有些数据是近似的。用度量工具测出的长度、质量、时间、速度等数据都是近似值。 示例：某班有 人，这里 是全班人数的准确值；据第七次全国人口普查数据，全国总人口为 亿人，这里 亿是全国总人口的近似值。 4.2 取近似值（四舍五入） 取近似值时，一般采用四舍五入的方法。例如，对于圆周率 ，如果要求精确到 （结果精确到百分位），取 ；如果要求精确到 （结果精确到千分位），取 。 注意：在解决实际问题时，对于像 、、 这样的无理数，计算时应根据具体的要求取它们的近似值。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 算术平方根与平方根的关系 正数 的平方根有两个：，其中正的平方根 就是算术平方根，负的平方根是 ； 的平方根与算术平方根都是 。 1.2 算术平方根的双重非负性 ，且被开方数 ，即 有意义的前提是 。 1.3 平方与算术平方根的互逆 （），反之 。如 ，。 【使用提醒】化简 时结果应为 而不是 ，须先判断 的符号。 1.4 立方根的性质 ；；。如 。 1.5 被开方数越大，算术平方根越大 若 ，则 ；反过来，由 也可推出 ，所以比较两个非负数的算术平方根大小，可转化为比较被开方数的大小。如比较 与 ，由 得 。 1.6 平方根、算术平方根、立方根等于本身的数 算术平方根等于本身的数是 和 ；平方根等于本身的数是 ；立方根等于本身的数是 和 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求一个数的平方根、算术平方根或立方根 求平方根：找出平方等于该数的数（正数一正一负， 只有一个）；求算术平方根：取其中非负的那个；求立方根：找出立方等于该数的数（符号与被开方数相同）。如求 的平方根，由 得 。 2.2 由 或 求未知数 解 （）得 ；解 得 。如 ，先化为 ，得 。 2.3 估计无理数的大致范围（逼近法） 先找到夹住该数的两个相邻整数，再用平方（或立方）逐步逼近。如估计 ：由 得 ；由 得 。 2.4 实数的大小比较 ① 数轴法：数轴上右边的点表示的实数大；② 平方比较法：两个正数先平方再比较；③ 取近似值比较。如比较 与 ，由 ，得 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 比较两个正无理数 同时平方，比较被开方数 比较 与 ：，故 判断有理数还是无理数 看能否化为分数（有限或循环小数） 是有理数， 是无理数 求实数的相反数、绝对值、倒数 相反数变号，绝对值非负，倒数颠倒分子分母 的相反数是 ， 化简 与 前者取绝对值，后者等于本身 ， 4. 常见考试模型 4.1 非负数之和为 模型 公式：若 （其中 、、），则 、、，即 、、。 示例：如已知 ，则 、、，得 、、。 4.2 无理数的整数部分与小数部分 公式：先估计无理数 介于哪两个相邻整数之间，若 （ 为整数），则 的整数部分是 ，小数部分是 。 示例：如 介于 与 之间（），故其整数部分是 ，小数部分是 。 4.3 平方根、立方根与实际应用 公式：正方形面积 与边长 满足 ，边长 ；正方体体积 与棱长 满足 ，棱长 。 示例：如面积为 的正方形边长是 ；体积为 的正方体棱长是 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：混淆平方根与算术平方根，漏掉负的平方根 典例：求 的平方根。 错解： 的平方根是 。 正解： 的平方根是 。因为 ，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；而 的算术平方根才是 （非负的那一个）。 原因：概念混淆。学生把”平方根”与”算术平方根”混为一谈，只写了正的平方根。要抓住区别：平方根是一对（），算术平方根是一个（非负的 ）；正数有正负两个平方根， 只有一个平方根。 易错点 2：化简 时直接写 ，忽略符号 典例：化简 。 错解：。 正解：，即 。一般地，，当 时 ，当 时 。 原因：忽略符号处理。学生误以为”开平方与平方直接抵消”，忘了算术平方根的结果一定是非负数。 必须写成 ，再根据 的符号去掉绝对值。 易错点 3：把”负数没有平方根”错误迁移到立方根 典例：判断 的平方根、立方根是否存在，若存在则求出。 错解： 既没有平方根，也没有立方根。 正解： 没有平方根（因为负数没有平方根），但 有立方根，（因为 ）。 原因：概念条件遗漏。学生把”负数没有平方根”这一结论不加区分地套用到立方根上。平方根要求被开方数非负，而立方根对被开方数没有这个限制，正数、、负数都有立方根，且立方根符号与被开方数相同。 易错点 4：认为”带根号的数都是无理数” 典例：判断下列各数中哪些是无理数：，，，。 错解：、、、 都是无理数。 正解： 和 是无理数；、 都是有理数。 原因：判断标准错误。学生以”是否带根号”作为判断无理数的依据。判断依据应是”是否为无限不循环小数”： 是整数， 是整数，都能写成分数，都是有理数，只有开方开不尽的数才是无理数。 易错点 5：忽略近似值的精确度，随意去掉末位 典例：近似数 与 有区别吗？为什么？ 错解：没有区别，两者都等于 。 正解：有区别。 精确到 （十分位）， 精确到 （百分位），两者精确程度不同。 原因：忽略末位 的意义。近似数的末位数字是四舍五入得到的，末位所在的位置表示该近似数的精确程度，不能随意去掉；精确度越高，末位 越不能省略。 学科网（北京）股份有限公司 $