第四章一元一次方程（期中知识清单）七年级数学上学期新教材苏科版

第4章 一元一次方程　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 等式与方程 1.1 等式 像 ，， 这样，表示相等关系的式子叫作等式。 示例：根据”速度 × 时间 = 路程”，列车以 行驶 、路程为 ，可列等式 ；正方形纸片的面积等于四部分面积之和，即 。 1.2 等式的基本性质 性质一 等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式。 性质二 等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为 0），所得结果仍是等式。 用字母可以表示为：若 ，则 ，，，（）。 示例：由 两边都减去 ，得 ；由 两边都除以 ，得 。 1.3 未知数与方程 用字母表示要求的未知的量，这样的字母叫作未知数。像 ，，， 这样，含有未知数的等式叫作方程。 示例： 是方程； 只含未知数、不是等式，不是方程。 1.4 方程的解与解方程 能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解，如 是方程 的解。求方程的解的过程叫作解方程。 示例：把 代入方程 ，左边 、右边 ，两边不相等，所以 不是它的解；把 代入，两边都为 ，所以 是它的解。 2. 一元一次方程及其解法 2.1 一元一次方程 等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是 1的方程，叫作一元一次方程。 示例：， 是一元一次方程； 未知数次数为 ， 等号左边不是整式， 含两个未知数，都不是一元一次方程。 2.2 移项 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫作移项。 在解一元一次方程时，移项的目的是把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到另一边。 示例：解 ，移项得 ，合并同类项得 ，系数化为 得 。 2.3 解一元一次方程的一般步骤 一般地，解一元一次方程的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、把未知数的系数化为 1。通过这些步骤可以将一元一次方程转化为 （ 为常数）的形式。 示例：解 ：两边同乘 得 ，去括号、移项、合并同类项得 ，系数化为 得 。 注意：为了简化运算，去分母时在方程两边同乘各分母的最小公倍数，且不含分母的项也要一起乘。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 一元一次方程的一般解 一元一次方程的一般形式为 （），其解为 。 【使用提醒】使用前先把方程化为一般形式，并确保一次项系数 。 1.2 利用解的定义求参数 若 是方程的解，则把 代入方程两边，等式成立，据此可反求出方程中的未知参数（待定系数）。 1.3 方程 解的情况 关于 的方程 ：当 时，有唯一解 ；当 ， 时，有无数个解；当 ， 时，无解。 【使用提醒】讨论前必须先区分”未知数的系数是否为 “，不能直接把系数除过去。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 代入检验法判断方程的解 判断一个数 是否为方程的解，把 代入方程，分别算出左右两边的值，两边相等则 是解，否则不是。如判断 是否为方程 的解：左边 、右边 ，不相等，所以 不是它的解。 2.2 列方程解应用题五步流程 设未知数 → 找等量关系列方程 → 解方程 → 检验（解是否符合实际意义）→ 写答案。如”售价 进价 获利”，设进价 元，得 ，解得 。 2.3 分析等量关系的常用策略 用列表、画示意图整理数量关系，再借助关键词（“共”“比……多（少）”“是……的几倍”）写出等量关系。如行程追及问题，画线形示意图可看出”小明步行的路程 小亮骑行的路程”。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 去分母找最小公倍数 两边同乘各分母的最小公倍数，一次去尽分母，每一项都要乘 两边同乘 小数系数化整数 分子、分母同乘 的幂，把小数系数化为整数再解 化为 系数化为 1 先定符号 未知数系数为负时两边同除系数，结果按”同号得正、异号得负”定号 得 括号前负号整体变号 把”“整体看作”乘 “，括号内各项都变号 解后代入验算 把解代回原方程两边验证是否相等，可快速自查 代入 ，两边均为 4. 常见考试模型 4.1 和差倍分模型 公式：总量 各部分之和；“甲比乙的 倍多（少）”即 甲 乙 。 限定：设一个未知数后，用同一等量关系列方程，解须符合实际意义。 示例：如甲、乙两个旅游团共 人，甲团人数比乙团人数的 倍多 人，设乙团 人，得 。 4.2 销售利润模型 公式：售价 进价 获利；标价 折扣 售价；利润率 。 限定：折扣按标价打，如 折即 ；进价、售价均须为正。 示例：如标价为进价的 倍、 折出售获利 元，设进价 元，得 ，解得 。 4.3 行程问题模型 公式：路程 速度 时间；相遇问题：两者路程之和 总路程；追及问题：两者路程相等。 限定：注意单位统一；先画线形示意图找等量关系。 示例：如小明先以 步行 ，小亮以 骑车沿同路线追，设小亮出发 追上，得 ，解得 。 4.4 工程问题模型 公式：工作量 工作效率 工作时间；把总量看作 ，效率 。 限定：”先单独做 天再合做 天”用”各段工作量之和 “列方程。 示例：如甲单独做需 、乙单独做需 ，甲先做 后甲、乙合做，设合做 ，得 ，解得 。 4.5 比例分配模型 公式：按 分配总量 ，可设三部分为 ，，，则 。 限定：各分量之和等于总量。 示例：如三角形三个角的度数之比为 ，设三角为 ，，，得 ，解得 。 4.6 数字问题模型 公式：两位数 十位数字 个位数字；连续奇数、偶数设 ，，。 限定：各数位数字、连续数须符合实际（如十位数字不为 ）。 示例：如三个连续奇数之和为 ，设三个数为 ，，，得 ，解得 。 4.7 年龄问题模型 公式：年龄差不变；“再过 年”则两人的年龄都要加 。 限定：设”再过（过） 年”时，双方年龄同时加 ，不要只加一方。 示例：如小明今年 岁、王老师 岁，再过 年小明年龄是王老师年龄的三分之一，得 ，解得 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：移项时忘记变号 典例：解方程 。 错解：移项得 ，合并得 ，所以 。 正解：移项得 ，合并得 。 原因：概念理解错误。移项的实质是”等式两边同加（或同减）同一个整式”，把右边一项移到左边相当于两边同减这一项，符号必须改变。学生死记”移过去”而漏掉变号，把 从右边移到左边仍写成 。凡是跨过”等号”的项，符号都要反过来。 易错点 2：去分母时漏乘不含分母的项 典例：解方程 。 错解：去分母得 ，移项得 ，即 ，无解。 正解：两边同乘 得 ，即 ，移项得 ，，。 原因：条件遗漏。去分母的依据是等式的基本性质 2，两边都乘同一个数时，右边的每一项都要乘，尤其是不含分母的整式 要整体乘 。学生只盯着有分母的那项去乘，漏乘了整式部分。 易错点 3：去括号时括号前是负号，括号内各项未变号 典例：解方程 。 错解：去括号得 ，移项合并得 ，。 正解：去括号得 ，移项合并得 ，。 原因：符号处理失误。括号前是”“时，去掉括号后括号内各项都要改变符号，即 。学生把 乘 误算成 ，忽略了负号对每一项的作用。 易错点 4：系数化为 1 时丢负号 典例：解方程 。 错解：两边同除以 得 。 正解：两边同除以 得 。 原因：符号处理失误。学生算 时注意力集中在”“，忽略了除数 的负号，没有按”异号相除得负”处理。凡是系数为负、右端为正（或反之），系数化为 1 都要先定符号。 易错点 5：实际问题的解不检验，保留不合题意的解 典例：用黑白两色棋子按规律摆图形，第 个图形中黑色棋子有 个，黑色棋子的个数可能是 吗？ 错解：由 得 ，答：第 个图形中黑色棋子有 个。 正解：由 得 ， 不是正整数，不符合题意，所以黑色棋子的个数不可能是 。 原因：忽略隐含条件。列方程只满足了”个数等于 “这一数量关系，但 表示图形的序号，必须是正整数；解出分数后要回到实际情境检验，不能直接把分数当答案。应用题中”解要符合实际意义”是关键一步，学生常解出方程就停，缺少”解方程 检验 作答”的完整意识。 学科网（北京）股份有限公司 $