专题02 代数式（期中知识清单，7知识&14题型&4易错清单）七年级数学上学期新教材苏科版

专题02 代数式（7知识&14题型&4易错清单） 【清单01】字母表示数 1.字母可以表示任意数、特定公式或符合条件的某个数，能简明表达数量关系。 2.用字母表示数的意义：体现概念本质特征，简化数量关系，形成普遍性表达。 3.书写规范： （1）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号省略或用“·”表示，数字写在字母前。 （2）带分数与字母相乘时，带分数化为假分数。 （3）除法运算写成分数形式。 （4）结果含加减运算时，单位需加括号。 （5）系数为带分数时，化为假分数。 【清单02】代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）连接数或字母的式子，单独数或字母也是代数式。 2.书写规范： （1）乘号省略规则同上。 （2）除法写成分数形式。 （3）带分数处理同上。 （4）结果含加减运算时，单位加括号。 【清单03】整式 1.单项式 （1）定义：数与字母的积，单独数或字母也是单项式。 （2）系数：单项式中的数字因数。 （3）次数：所有字母指数的和。 （4）注意事项： ①系数为1或-1时，“1”省略不写。 ②单独数或字母的次数：单独数次数为0，单独字母次数为1。 2.多项式 （1）定义：几个单项式的和。 （2）项：每个单项式称为多项式的项，不含字母的项称为常数项。 （3）次数：多项式中次数最高项的次数。 3.整式 （1）定义：单项式与多项式统称为整式。 （2）注意事项：分母中含有字母的式子不是整式。 【清单04】同类项与合并同类项 1.同类项定义：所含字母相同，且相同字母指数也相同的项。 2.合并同类项法则：系数相加，字母部分不变。 3.注意事项： （1）不是同类项不能合并。 （2）合并时字母指数不变。 【清单05】去括号与添括号 1.去括号法则： （1）括号前为“+”号，括号内各项符号不变。 （2）括号前为“-”号，括号内各项符号改变。 2.添括号法则： （1）括号前为“+”号，括到括号里的各项符号不变。 （2）括号前为“-”号，括到括号里的各项符号改变。 【清单06】整式的加减 1.运算法则：先去括号，再合并同类项。 2.运算步骤： （1）列出代数式。 （2）去括号。 （3）合并同类项。 3.注意事项： （1）结果需合并到不能再合并为止。 （2）按某一字母降幂或升幂排列。 （3）不出现带分数，化为假分数。 【清单07】代数式的值 1.定义：用数值代替代数式中的字母，按运算关系计算的结果。 求值步骤： 2.代入：用指定数值代替字母。 3.计算：按运算顺序计算。 4.注意事项： （1）字母用负数代替时，加括号。 （2）乘方运算中，底数字母用负数或分数代替时，加括号。 （3）字母用数代替时，省略乘号还原。 【题型一】用代数式表示数 【例1】如图，小州把纸杯整齐地叠放在一起，若3个纸杯的高度为，8个纸杯的高度为，则将n个这样的纸杯叠放在一起，其高度为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】“x与y两数的平方差”可以用代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】甲数x的与乙数y的的差可以表示为 ． 【题型二】单项式与多项式的系、次、项数 【例2】下列说法中正确的是（　  ） A．是二次三项式 B．是五次三项式 C．的系数是，次数是4 D．的系数为0，次数为3 【变式2-1】下列说法错误的是（    ） A．是二次三项式 B．不是单项式 C．的系数是 D．的次数是4 【变式2-2】已知多项式的次数是5，单项式的次数与这个多项式的二次项系数相同，则的值为 ． 【题型三】代数式的整体代入 【例3】已知代数式的值是3，则代数式的值是（   ） A．1 B．2 C．5 D．7 【变式3-1】若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为，则的值为（ 　） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3-2】当时，，则当时，代数式的值为 ． 【题型四】幻方幻圆 【例4】我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”如图（1），该幻方中每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图（2）所示的“幻方”，其中正方形顶点上有两个数和2，则与的乘积为（   ） A．4 B．16 C． D． 【变式4-1】“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话，数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则的值为（   ） A．9 B．1 C．5 D．4 【变式4-2】三阶幻方的历史可以追溯到大禹治水时期，洛书上的神秘图案就是其早期形式．它不仅是数学和哲学研究的重要对象，还体现了中国传统文化中的“尚和”、“取中”理念．它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”．下左图就是“和幻方”，右图为“积幻方”，则 ． 【题型五】日历问题 【例5】如图是2025年1月份的日历图，用形如“H”字型框任意框出7个数，框出的7个数的和不可能是（   ） A．60 B．91 C．105 D．119 【变式5-1】如图所示的日历中，任意圈出一坚列相邻的三个数，设中间的一个数为，则这三个数之和为 （用含的代数式表示）． 【变式5-2】【综合与实践】如图①是某月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，然后通过计算探索其中位置如图②所示的四个数“”的值． (1)初步分析：计算图①中的结果为______． (2)数学思考：将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0．理由如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 所以（   ）=______． (3)同类探究：利用小乐的方法，借助图①中的日历继续探究，探索其中位置如图③所示的四个数“”的值．写出你的结论，并仿照（2）的方法说明结论成立的理由． 【题型六】新定义运算 【例6】对任意两个有理数定义一种运算“”，具体运算方式为，下列结论正确的是（   ）． A． B． C．对任意有理数，，有 D．不存在有理数，，，使 【变式6-1】定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与 是关于1的平衡数，与 是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数 （填是与否） 【变式6-2】对于任意数a，b，c，d，定义． (1)求的值； (2)若，，求的值． 【题型七】不含某项、与某项无关 【例7】已知，，若不含的一次项，则的常数项是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】多项式化简后不含项，则的值为 ． 【变式7-2】已知，． (1)化简； (2)若中不含项，求的值． 【题型八】阴影部分面积 【例8】把四张形状完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）． A． B． C． D． 【变式8-1】把七个长和宽分别为的小长方形，摆成如图所示的图形，若四边形为长方形，则图中阴影部分的面积为 ．（用含有的代数式表示） 【变式8-2】综合与实践 现有三个边长分别为3，4，5的正方形卡片（如图1），分别记为，，，还有一个两边长分别为的长方形． 数学思考 （1）如图2，将放入长方形中，用含的代数式表示阴影部分的面积：___________．当，时，阴影部分的面积为___________． 深入探究 （2）将，两张卡片按图3所示的方式（和部分重叠）放置在长方形中，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． （3）将，，三张卡片按图4所示的方式（和II不重叠，和部分重叠，）放置在长方形中，求左上角阴影部分与右下角阴影部分周长的差，勤学小组成员认为缺少与的值无法计算，善思小组成员则认为不需要与的值也能计算，哪一个小组成员的说法正确？请说明理由． 【题型九】收费问题 【例9】我市为创建文明城市，营造更加干净的卫生环境，计划购买2至7台扫地机，现从甲、乙两厂了解到同一型号扫地机每台报价均为8000元，并且多买都有一定的优惠，各厂家的优惠方案如表所示： 厂家 优惠方案 甲厂 第一台按原价收费，其余每台7.5折 乙厂 每台8折 (1)设我市购买台扫地机，购买的费用为元，则在甲厂购买的费用______，在乙厂购买的费用______． (2)通过计算说明我市要买6台扫地机选择哪个厂家购买更优惠？ 【变式9-1】为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元． (2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元． (3)若小明家12月用电量为度；请用含的代数式表示他们家12月应缴的电费． 【变式9-2】为提倡节约用水，某地对每户按年累积用水实行阶梯收费．具体水价执行标准如下表：（水费一月一缴） 用水类别 供水价格（元） 阶梯水量（年度） 第一阶梯 3 （含）以下 第二阶梯 5 （不含）～（含） 第三阶梯 10 （不含）以上 根据表中的内容，解答下列问题： (1)今年小杰家1，2，3，4月份的用水量分别为，，，，则4月份应缴水费多少元？ (2)若小杰家5月的用水量为，试用含的代数式表示应缴水费． 【题型十】规律问题 【例10】用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成下列图案： （1）第8个图案中有白色纸片 张； （2）第n个图案中有白色纸片 张． 【变式10-1】小明在学习了分数加减后，发现了以下规律，请你帮助小明完成探究并回答下列问题． (1)观察：观察规律，并完成填空． ， ， ， ,，括号内依次填入____、____、____、_____． (2)应用：请你根据所发现的规律，解决下面算式． 【变式10-2】观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 请根据上述规律完成下列问题： (1)第6个等式为_______，第10个等式为________； (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）； (3)利用上述规律，直接写出结果：______． 【题型十一】销售打折问题 【例11】某商场销售一种西装和领带，西装每套定价500元，领带每条定价100元．元旦甲、乙两商家促销打折 甲商场：买一套西装送一条领带； 乙商场：西装和领带都按定价的付款． 现某客户要购买西装10套，领带条． （1）若该客户去甲商场购买，需付款多少元？（用含的代数式表示）若该客户去乙商场购买，需付款多少元？（用含的代数式表示） （2）若等于20，通过计算说明此时去哪家商场买更合算？ （3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？ 【变式11-1】学校准备在商店订购一批某品牌排球和篮球，已知排球每个售价50元，篮球每个售价100元． (1)若要购买个排球，个篮球，则需花费______元； (2)商店开展打折促销活动，推出两种促销方案： 方案一：排球和篮球的单价均按九折优惠出售； 方案二：排球单价按照原价出售，买个篮球，每个篮球的售价为元，篮球售价最低为80元/个． 记方案一的花费为，方案二的花费为． ①若要购买5个排球和5个篮球，判断与的大小关系，并说明理由； ②若要购买个排球，个篮球，求，并化简． 【变式11-2】某购物网店在双十一期间实行打折促销活动，规定如下表： 次性购物不大于100元不打折，不大于300元但大于100元打九折，超过300元的部分打八折． （1）王老师一次性购物600元，他实际付款多少元？ （2）若顾客在该网店一次性购物元，当低于300元但大于100元时，他实际付款多少元？当大于300元时，他实际付款多少元？（用含的式子表示） （3）如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为元，用含的式子表示两次购物王老师实际付款多少元？ 【题型十二】去括号与合并同类项 【例12】化简：． 【变式12-1】计算： (1) (2) 【变式12-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【题型十三】化简求值 【例13】先化简，再求值：，其中，． 【变式13-1】先化简，再求值：，其中， 【变式13-2】已知，． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【题型十四】代数式的变化规律 【例14】填写如表，并观察下面两个代数式的值的变化情况： 1 2 3 4 5 6 7 (1)当时，随着值的逐渐变大，两个代数式的值如何变化？ (2)估计一下，哪个代数式的值先超过200？ 【变式14-1】代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： 0 1 2 0 0 3 1 4 7 【初步感知】 （1）根据表中信息可知：______；______； 【归纳规律】 （2）表中的值随着的变化而变化的规律是：的值每增加1，的值就减少1．类似的，的值随着的变化而变的规律是：______； （3）观察表格．下列说法正确的有______（填序号）： ①当时，    ②当时， ③当时，    ④时， 【应用迁移】 （4）已知代数式与（为常数且），若无论取何值，的值始终小于的值，试分别写出与与的关系______． 【变式14-2】观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … m 1 3 … … 7 5 3 1 n … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知：_______， ______； 【归纳规律】 （2）表中代数式值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加2；类似地，代数式值的变化规律是：x的值每增加1，值就_____； 【计算验证】 （3）当x的值从a增加到时，猜想代数式的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 【题型一】代数式概念混淆 【例1】在式子、a、1、、中，代数式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】在代数式，，a，，，单项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】下列各式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中，是单项式的有 ，是多项式的有 ．（填序号） 【题型二】代数式书写不规范 【例2】下列代数式中，书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列式子中，符合代数式书写的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列各式 ①：；②：；③：；④：中最符合书写规范的是 . 【题型三】绝对值化简符号错误 【例3】已知实数 ， 在数轴上的对应点如图所示，化简：得（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则化简： ． 【题型四】行列排序颠倒顺序 【例4】“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是∶从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，若将第n行的数字之和记为，则的末位数字为（   ） A．2 B．4 C．8 D．6 【变式4-1】观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为（   ） A．2004 B．2005 C．2025 D．2024 【变式4-2】如图所示，观察规律 按照该数阵呈现的规律排下去，那么“”应该排在第 行，从左数第 个． 学科网（北京）股份有限公2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 代数式（7知识&14题型&4易错清单） 【清单01】字母表示数 1.字母可以表示任意数、特定公式或符合条件的某个数，能简明表达数量关系。 2.用字母表示数的意义：体现概念本质特征，简化数量关系，形成普遍性表达。 3.书写规范： （1）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号省略或用“·”表示，数字写在字母前。 （2）带分数与字母相乘时，带分数化为假分数。 （3）除法运算写成分数形式。 （4）结果含加减运算时，单位需加括号。 （5）系数为带分数时，化为假分数。 【清单02】代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）连接数或字母的式子，单独数或字母也是代数式。 2.书写规范： （1）乘号省略规则同上。 （2）除法写成分数形式。 （3）带分数处理同上。 （4）结果含加减运算时，单位加括号。 【清单03】整式 1.单项式 （1）定义：数与字母的积，单独数或字母也是单项式。 （2）系数：单项式中的数字因数。 （3）次数：所有字母指数的和。 （4）注意事项： ①系数为1或-1时，“1”省略不写。 ②单独数或字母的次数：单独数次数为0，单独字母次数为1。 2.多项式 （1）定义：几个单项式的和。 （2）项：每个单项式称为多项式的项，不含字母的项称为常数项。 （3）次数：多项式中次数最高项的次数。 3.整式 （1）定义：单项式与多项式统称为整式。 （2）注意事项：分母中含有字母的式子不是整式。 【清单04】同类项与合并同类项 1.同类项定义：所含字母相同，且相同字母指数也相同的项。 2.合并同类项法则：系数相加，字母部分不变。 3.注意事项： （1）不是同类项不能合并。 （2）合并时字母指数不变。 【清单05】去括号与添括号 1.去括号法则： （1）括号前为“+”号，括号内各项符号不变。 （2）括号前为“-”号，括号内各项符号改变。 2.添括号法则： （1）括号前为“+”号，括到括号里的各项符号不变。 （2）括号前为“-”号，括到括号里的各项符号改变。 【清单06】整式的加减 1.运算法则：先去括号，再合并同类项。 2.运算步骤： （1）列出代数式。 （2）去括号。 （3）合并同类项。 3.注意事项： （1）结果需合并到不能再合并为止。 （2）按某一字母降幂或升幂排列。 （3）不出现带分数，化为假分数。 【清单07】代数式的值 1.定义：用数值代替代数式中的字母，按运算关系计算的结果。 求值步骤： 2.代入：用指定数值代替字母。 3.计算：按运算顺序计算。 4.注意事项： （1）字母用负数代替时，加括号。 （2）乘方运算中，底数字母用负数或分数代替时，加括号。 （3）字母用数代替时，省略乘号还原。 【题型一】用代数式表示数 【例1】如图，小州把纸杯整齐地叠放在一起，若3个纸杯的高度为，8个纸杯的高度为，则将n个这样的纸杯叠放在一起，其高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的知识，解题的关键是根据题意，求出每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，根据题意，可得，即可． 【详解】解：∵3个纸杯的高度为个纸杯的高度为， ∴每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高：， ∴把个这样的杯子叠放在一起，其高度为：， 故选：A． 【变式1-1】“x与y两数的平方差”可以用代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，理解平方差运算是解题关键． 先分别求平方，再求差即可得． 【详解】解：“x与y两数的平方差”可以用代数式表示为． 故选：A． 【变式1-2】甲数x的与乙数y的的差可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式．分别表示出x的和y的，相减即可． 【详解】解：甲数x的是，乙数y的是， 则甲数x的与乙数y的的差可以表示为， 故答案为：． 【题型二】单项式与多项式的系、次、项数 【例2】下列说法中正确的是（　  ） A．是二次三项式 B．是五次三项式 C．的系数是，次数是4 D．的系数为0，次数为3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数． 根据单项式和多项式的有关概念逐一判断即可． 【详解】解：A． ，分母有未知数，不是整式，原说法错误； B．是二次三项式，原说法错误； C．的系数是，次数是4，原说法正确； D．的系数为1，次数为3，原说法错误； 故选：C 【变式2-1】下列说法错误的是（    ） A．是二次三项式 B．不是单项式 C．的系数是 D．的次数是4 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的相关知识，根据单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式，再结合单项式的次数与系数确定方法，进而得出答案． 【详解】解：．是二次三项式，说法正确，故该选项不符合题意； ．不是单项式，说法正确，故该选项不符合题意； ．的系数是，原说法错误，故该选项符合题意； ．的次数是4，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】已知多项式的次数是5，单项式的次数与这个多项式的二次项系数相同，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了多项式和单项式，先根据多项式是5次的，再根据单项式的次数与这个多项式的二次项系数相同可得出n的值，最后代入求值即可求解． 【详解】解：∵多项式是五次式， ∴， ∴， ∵单项式的次数与这个多项式的二次项系数相同， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【题型三】代数式的整体代入 【例3】已知代数式的值是3，则代数式的值是（   ） A．1 B．2 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了求代数式的值，掌握整体代入求值是解题的关键．代数式变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：代数式的值是3，即， 代数式， 故选：． 【变式3-1】若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为，则的值为（ 　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义、倒数的定义、绝对值的意义、求代数式的值，由题意可得，，，再分两种情况，分别代入所求代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为， ∴，，， 当时，原式， 当时，原式， 综上所述，的值为或， 故选：A． 【变式3-2】当时，，则当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值，当时，由，求出，然后把代入得，最后整体代入即可求解，掌握知识点的应用及整体代入是解题的关键． 【详解】解：当时，由， 则， ∴， 当时， ∴ ， 故答案为：． 【题型四】幻方幻圆 【例4】我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”如图（1），该幻方中每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图（2）所示的“幻方”，其中正方形顶点上有两个数和2，则与的乘积为（   ） A．4 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】利用幻方“每个三角形的三个顶点数字之和与中间正方形四个顶点数字之和相等”这一条件，列出等式，通过等式变形求出和的值，进而计算乘积．本题主要考查等式性质与代数式求值，利用幻方条件列等式，通过移项变形求、是解题关键． 【详解】解：由含、、相关的三角形与正方形得， , ； 由含、、相关的三角形与正方形得， ， ； ∴. 故选： ． 【变式4-1】“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话，数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则的值为（   ） A．9 B．1 C．5 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加减运算的应用，解题的关键是正确列式求解． 首先求出，然后根据题意求出，，然后代数求解即可． 【详解】解： ∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等， ∴ ∴1和x中间的数为 ∴ ∴， 故选：B． 【变式4-2】三阶幻方的历史可以追溯到大禹治水时期，洛书上的神秘图案就是其早期形式．它不仅是数学和哲学研究的重要对象，还体现了中国传统文化中的“尚和”、“取中”理念．它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”．下左图就是“和幻方”，右图为“积幻方”，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查有理数的乘方及代数式的值，解题的关键是理解“积幻方”的意义；由题意得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ∴， ∴； 故答案为：8． 【题型五】日历问题 【例5】如图是2025年1月份的日历图，用形如“H”字型框任意框出7个数，框出的7个数的和不可能是（   ） A．60 B．91 C．105 D．119 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，整式的加减运算，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据“H”字型的特点，设最小的数为，分别表示其他数，然后把每个选项的数代入，进行计算，得出是正整数，即有可能是框出的7个数的和，否则不是，即可作答． 【详解】解：依题意，设最小的数为，则其他数分别为， 则框出的7个数的和为， 当，则，不是整数，故A选项符合题意； 当，则，故B选项不符合题意； 当，则，故C选项不符合题意； 当，则，故D选项不符合题意； 故选：A． 【变式5-1】如图所示的日历中，任意圈出一坚列相邻的三个数，设中间的一个数为，则这三个数之和为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，设中间一个数为a，则上面的数为，下面的数为，再将三个数相加即可得． 【详解】解：设中间一个数为a，则上面的数为，下面的数为， 所以这三个数的和为 故答案为：． 【变式5-2】【综合与实践】如图①是某月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，然后通过计算探索其中位置如图②所示的四个数“”的值． (1)初步分析：计算图①中的结果为______． (2)数学思考：将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0．理由如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 所以（   ）=______． (3)同类探究：利用小乐的方法，借助图①中的日历继续探究，探索其中位置如图③所示的四个数“”的值．写出你的结论，并仿照（2）的方法说明结论成立的理由． 【答案】(1)0 (2)，，， (3)的值均为，理由见解析 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则即可求出的结果； 根据日历的排序规律即可求出的值； （2）根据日历的排序规律：每一行相邻数字之间相差，每一列相邻数字之间相差，设，将、、都用含的代数式表示，然后代入，即可计算出结果并得出结论； （3）根据日历的排序规律可发现规律，在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数，设，将、、都用含的代数式表示，然后代入，即可计算出结果并得出结论． 本题主要考查了数字类规律探索，有理数的加减混合运算，列代数式，整式的加减运算等知识点，通过观察日历发现并总结出一般规律是解题的关键． 【详解】（1）解： 故答案为：0， （2）解：设，则，，， ， 故答案为：，，， （3）的值均为，理由如下： 在日历中用如图所示的四个数， 设，则，，， ， 的值均为． 【题型六】新定义运算 【例6】对任意两个有理数定义一种运算“”，具体运算方式为，下列结论正确的是（   ）． A． B． C．对任意有理数，，有 D．不存在有理数，，，使 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的四则混合运算以及整式的加减．根据新定义进行计算，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故A错误； ，故B错误； ∵， ， ∴，故C正确； ∵， ， ∴ ， ∴当时，，故D错误； 故选：C． 【变式6-1】定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与 是关于1的平衡数，与 是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数 （填是与否） 【答案】 否 【分析】本题以新定义为载体，主要考查了整式的加减，正确理解新定义、熟练掌握整式加减运算的法则是解题的关键； （1）根据平衡数的定义列式计算即可； （2）根据平衡数的定义计算的值是否等于2即可作出判断． 【详解】解：（1）根据题意，3关于1的平衡数是， 关于1的平衡数是， 故答案为：，； （2）因为 ， 所以a与b不是关于1的平衡数； 故答案为：否． 【变式6-2】对于任意数a，b，c，d，定义． (1)求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)23 (2)2 【分析】本题考查了有理数的混合运算和代数式求值，整式的加减运算，理解定义是解答此题的关键． （1）利用新定义列式计算即可； （2）利用新定义得到，，，然后把两式相加消去得到的值． 【详解】（1）∵ ∴； （2）∵，， ∴，， 即①，②， 得． 【题型七】不含某项、与某项无关 【例7】已知，，若不含的一次项，则的常数项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减运算无关型问题，先根据整式的加法运算法则求出，再根据结果不含的一次项，求出的值，进而求出常数项即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵不含的一次项， ∴， ∴， ∴，即的常数项是， 故选：． 【变式7-1】多项式化简后不含项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则将原式化简，然后根据化简后不含项，可知项的系数为0，即可解题． 【详解】解： ， 多项式化简后不含项， ， 解得， 故答案为：5． 【变式7-2】已知，． (1)化简； (2)若中不含项，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）根据去括号，合并同类项的法则进行计算即可； （2）根据化简后的结果不含项，得到含项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵中不含项， ∴， ∴． 【题型八】阴影部分面积 【例8】把四张形状完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，根据长方形的周长公式分别列出表示两个阴影周长的代数式，再利用整式加减的运算法则进行计算即可．先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b， ∴，， ∴ ， 又∵， ∴， 即图②中两块阴影部分的周长和是． 故选：B． 【变式8-1】把七个长和宽分别为的小长方形，摆成如图所示的图形，若四边形为长方形，则图中阴影部分的面积为 ．（用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，能表示出长方形的面积及小长方形的面积是解题的关键；将阴影部分的面积转化为长方形的面积减去7个小长方形的面积之和即可． 【详解】解：由所给图形可知，长方形的长为：，宽为：， 所以长方形的面积为：， 又因为空白部分为7个小长方形，它们的面积之和为：， 所以阴影部分的面积为， 故答案为：． 【变式8-2】综合与实践 现有三个边长分别为3，4，5的正方形卡片（如图1），分别记为，，，还有一个两边长分别为的长方形． 数学思考 （1）如图2，将放入长方形中，用含的代数式表示阴影部分的面积：___________．当，时，阴影部分的面积为___________． 深入探究 （2）将，两张卡片按图3所示的方式（和部分重叠）放置在长方形中，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． （3）将，，三张卡片按图4所示的方式（和II不重叠，和部分重叠，）放置在长方形中，求左上角阴影部分与右下角阴影部分周长的差，勤学小组成员认为缺少与的值无法计算，善思小组成员则认为不需要与的值也能计算，哪一个小组成员的说法正确？请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）善思小组成员说法正确，理由见解析 【分析】此题考查了列代数式及求值和整式加减运算，熟记长方形、正方形的面积、周长公式求解即可． （1）根据长方形、正方形的面积公式列代数式并求值即可； （2）根据长方形、正方形的面积公式列代数式求解即可； （3）根据长方形、正方形的周长公式列代数式求解即可． 【详解】解：（1）， 当时，； 故答案为：，； （2）； （3）善思小组成员说法正确，理由如下： 周长之差为： ． 则左上角阴影部分与右下角阴影部分周长的差为8， 故善思小组成员说法正确． 【题型九】收费问题 【例9】我市为创建文明城市，营造更加干净的卫生环境，计划购买2至7台扫地机，现从甲、乙两厂了解到同一型号扫地机每台报价均为8000元，并且多买都有一定的优惠，各厂家的优惠方案如表所示： 厂家 优惠方案 甲厂 第一台按原价收费，其余每台7.5折 乙厂 每台8折 (1)设我市购买台扫地机，购买的费用为元，则在甲厂购买的费用______，在乙厂购买的费用______． (2)通过计算说明我市要买6台扫地机选择哪个厂家购买更优惠？ 【答案】(1)，； (2)甲． 【分析】本题考查列代数式，分别根据两个厂家的优惠方案写出和的代数式是解题的关键． （1）分别根据两个厂家的优惠方案计算即可； （2）当时，分别计算和的值并比较大小即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：，； （2）当时，，， ∵， ∴选择甲厂购买更优惠． 【变式9-1】为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元． (2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元． (3)若小明家12月用电量为度；请用含的代数式表示他们家12月应缴的电费． 【答案】(1)10月的电费是80元 (2)11月的电费是120元 (3)见详解 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，再结合10月用电量为160度，进行列式计算，即可作答． （2）先理解题意，再结合11月用电量为230度，进行列式计算，即可作答． （3）理解题意，进行分类讨论，根据不同情况进行列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元） ∴10月的电费是80元； （2）解：依题意，（元） ∴11月的电费是120元； （3）解：依题意，当时，则电费是元； 当时， ∴， 则电费是元； 当时， ∴， 则电费是元． 【变式9-2】为提倡节约用水，某地对每户按年累积用水实行阶梯收费．具体水价执行标准如下表：（水费一月一缴） 用水类别 供水价格（元） 阶梯水量（年度） 第一阶梯 3 （含）以下 第二阶梯 5 （不含）～（含） 第三阶梯 10 （不含）以上 根据表中的内容，解答下列问题： (1)今年小杰家1，2，3，4月份的用水量分别为，，，，则4月份应缴水费多少元？ (2)若小杰家5月的用水量为，试用含的代数式表示应缴水费． 【答案】(1)4月份应缴水费120元 (2)见解析 【分析】此题考查了整式加减的应用、有理数的混合运算，掌握其数量关系是解决此题的关键． （1）根据数量×单价计算可得答案； （2）分当，，时三种情况计算可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴4月份应缴水费元 （2）解：由（1）知，1至4月份已用水， ，， 当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元． 【题型十】规律问题 【例10】用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成下列图案： （1）第8个图案中有白色纸片 张； （2）第n个图案中有白色纸片 张． 【答案】 25 【分析】本题主要考查图形的规律探究，根据图形规律转化为数字规律是解题的关键； 从第1个图案、第2个图案、第3个图案白色纸片的张数发现规律，据此规律计算即可． 【详解】第1个图案中有白色纸片张，第2个图案中有白色纸片张， 第3个图案中有白色纸片张，……，以此类推，第8个图案中有白色纸片张， 第n个图案中有白色纸片张． 故答案为：25；． 【变式10-1】小明在学习了分数加减后，发现了以下规律，请你帮助小明完成探究并回答下列问题． (1)观察：观察规律，并完成填空． ， ， ， ,，括号内依次填入____、____、____、_____． (2)应用：请你根据所发现的规律，解决下面算式． 【答案】(1)7,8，7，8 (2) 【分析】本题考查数字类规律探索，根据所给等式找出规律是解题的关键． （1）根据所给等式可得； （2）根据所发现的规律，裂项相消即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：7，8，7，8； （2）解： ＝ ＝ ＝． 【变式10-2】观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 请根据上述规律完成下列问题： (1)第6个等式为_______，第10个等式为________； (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）； (3)利用上述规律，直接写出结果：______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字规律，用代数式表示数、图形的规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干式子，直接作答即可； （2）根据（1）以及题干过程，即可作答． （3）观察式子，得出则，故原式，再进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察前面4个等式，得出第6个等式为 即 第10个等式为， 即． （2）解：根据（1）以及题干过程得出第n个等式：， （3）解：依题意， ∵ ∴ 同理可得 ， ……， ， ∴ ． 【题型十一】销售打折问题 【例11】某商场销售一种西装和领带，西装每套定价500元，领带每条定价100元．元旦甲、乙两商家促销打折 甲商场：买一套西装送一条领带； 乙商场：西装和领带都按定价的付款． 现某客户要购买西装10套，领带条． （1）若该客户去甲商场购买，需付款多少元？（用含的代数式表示）若该客户去乙商场购买，需付款多少元？（用含的代数式表示） （2）若等于20，通过计算说明此时去哪家商场买更合算？ （3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？ 【答案】（1）甲商场需付款为元；乙商场需付款为元；（2）到甲商场购买较为合算；（3）先到甲商场购买10套西装获赠送10条领带，再到乙商场购买10条领带．则需付款元． 【分析】（1）根据题意即可分别用x表示出甲、乙两商场购买所需的钱数； （2）把分别代入（1）中代数式，然后比较大小即可判断； （3）根据题意，可先到甲商场购买10套西装获赠送10条领带，再到乙商场购买10条领带，然后计算出总付款即可. 【详解】（1）甲商场需付款：元； 乙商场需付款：元； （2）当时，甲商场需付费为：（元， 乙商场需付费为：（元， ， ∴到甲商场购买较为合算； （3）先到甲商场购买10套西装获赠送10条领带，再到乙商场购买10条领带． 则需付款（元． 【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义，掌握实际问题中各个量之间的关系是解决此题的关键. 【变式11-1】学校准备在商店订购一批某品牌排球和篮球，已知排球每个售价50元，篮球每个售价100元． (1)若要购买个排球，个篮球，则需花费______元； (2)商店开展打折促销活动，推出两种促销方案： 方案一：排球和篮球的单价均按九折优惠出售； 方案二：排球单价按照原价出售，买个篮球，每个篮球的售价为元，篮球售价最低为80元/个． 记方案一的花费为，方案二的花费为． ①若要购买5个排球和5个篮球，判断与的大小关系，并说明理由； ②若要购买个排球，个篮球，求，并化简． 【答案】(1) (2)①；②当时，；当时，． 【分析】本题考查了列代数式，有理数混合运算的应用，整式的加减混合运算，理解题意，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据费用单个售价数量列式即可； （2）①根据两种促销方案分别计算并比较大小即可； ②分两种情况求解：和，根据两种促销方案分别求出、，再作差即可． 【详解】（1）解：排球每个售价50元，篮球每个售价100元， 要购买个排球，个篮球，则需花费元， 故答案为： （2）解：①若要购买5个排球和5个篮球， 则，， ， ； 若要购买个排球，个篮球， 当时，，， ； 当时，，， ． 【变式11-2】某购物网店在双十一期间实行打折促销活动，规定如下表： 次性购物不大于100元不打折，不大于300元但大于100元打九折，超过300元的部分打八折． （1）王老师一次性购物600元，他实际付款多少元？ （2）若顾客在该网店一次性购物元，当低于300元但大于100元时，他实际付款多少元？当大于300元时，他实际付款多少元？（用含的式子表示） （3）如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为元，用含的式子表示两次购物王老师实际付款多少元？ 【答案】（1）510；（2）；；（3） 【分析】（1）让300元部分按9折付款，剩下的300按8折付款即可； （2）等量关系为：购物款×9折；300×9折+超过300的购物款×8折； （3）两次购物王老师实际付款=第一次购物款×9折+300×9折+(总购物款-第一次购物款-第二次购物款300)×8折，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：（1）（元）． （2）当低于300元但大于100元时，他实际付款：0.9x元； 当大于300元时，他实际付款：300×0.9+(x-300)×0.8=(0.8x+30)元； （3）因为，所以第一次实际付款为元，第二次付款超过300元，超过300元部分为元，所以两次购物王老师实际付款为元． 【点睛】本题考查了列代数式，解决本题的关键是得到不同购物款所得的实际付款的等量关系，难点是求第二问的第二次购物款应分9折和8折两部分分别计算实际付款． 【题型十二】去括号与合并同类项 【例12】化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，先去括号，然后合并同类项，即可求解． 【详解】解：    ． 【变式12-1】计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． （1）去括号，然后合并同类项即可； （2）去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ． 【变式12-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的加减运算． （1）根据合并同类项法则计算即可； （2）根据合并同类项法则计算即可； （3）先去括号，然后根据合并同类项法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型十三】化简求值 【例13】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式加减中的化简求值，先去括号，再合并同类项得到化简的结果，再把，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【变式13-1】先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值，先去括号，然后合并同类项，最后代入数值计算即可得出答案． 【详解】解：原式 ， 当，时 原式 ． 【变式13-2】已知，． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减与化简求值，熟练掌握去括号的法则是解题的关键． （1）利用合并同类项法则即可求出答案； （2）先计算，然后将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）∵， ∴ ； 当时， 【题型十四】代数式的变化规律 【例14】填写如表，并观察下面两个代数式的值的变化情况： 1 2 3 4 5 6 7 (1)当时，随着值的逐渐变大，两个代数式的值如何变化？ (2)估计一下，哪个代数式的值先超过200？ 【答案】(1)填表见解析；把的值分别代入及，由表格内代数式的值的变化可得：当时，随着的增大，两个代数式的值分别随增大而增大 (2)代数式先超过200 【分析】本题考查代数式的值，解题关键是根据代数式求解，观察表格求解． （1）将两个代数式的值填入表格，观察代数值的变化规律即可． （2）根据表格中的数据变化情况可得结论． 【详解】（1）解：填表如下： 1 2 3 4 5 6 7 14 20 26 32 38 44 50 3 9 19 33 51 73 99 把m的值分别代入及，由表格内代数式的值的变化可得： 当时，随着m的增大，两代数值分别随m增大而增大． （2）解：从表中的数据可看出，的值比的值变化速度快， ∴代数式2m2+1先超过200． 【变式14-1】代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： 0 1 2 0 0 3 1 4 7 【初步感知】 （1）根据表中信息可知：______；______； 【归纳规律】 （2）表中的值随着的变化而变化的规律是：的值每增加1，的值就减少1．类似的，的值随着的变化而变的规律是：______； （3）观察表格．下列说法正确的有______（填序号）： ①当时，    ②当时， ③当时，    ④时， 【应用迁移】 （4）已知代数式与（为常数且），若无论取何值，的值始终小于的值，试分别写出与与的关系______． 【答案】（1），（2）的值每增加1，的值就增加3（3）①④（4） 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，列代数式，代数式求值， （1）根据表中的规律进行求解即可； （2）根据的变化规律进行描述即可； （3）结合表格进行分析即可得出结果； （4）无论x取何值，的值始终小于的值，即，合并同类项后可得：，结合代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化的规律即可求解． 【详解】解：（1）当时， ， ， 当时， ， ； 故答案为：，； （2）的值随着的变化而变的规律是：的值每增加1，的值就增加3； 故答案为：的值每增加1，的值就增加3； （3）观察表格， ①当时，，故①正确，    ②当时，，故②错误， ③当时，，故③错误， ④时，，故④正确， 正确的是：①④； 故答案为：①④； （4）， 无论x取何值，的值始终小于的值， 即， ， ． 故答案为：． 【变式14-2】观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … m 1 3 … … 7 5 3 1 n … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知：_______， ______； 【归纳规律】 （2）表中代数式值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加2；类似地，代数式值的变化规律是：x的值每增加1，值就_____； 【计算验证】 （3）当x的值从a增加到时，猜想代数式的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 【答案】（1），；（2）减少2；（3）减少6，见解析 【分析】本题考查了代数式求值，整式的加减； （1）把代入可求出m，把代入可求出n； （2）根据表中数据可知x的值每增加1，值就减少2； （3）分别求出和时代数式的值，相减即可得到答案． 【详解】解：（1）当时，； 当时，， 故答案为：，； （2）由表中数据可知，x的值每增加1，值就减少2， 故答案为：减少2； （3）代数式的值会减少6； 证明：当时，； 当时，； ∵， ∴代数式的值减少6． 【题型一】代数式概念混淆 【例1】在式子、a、1、、中，代数式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的识别，用运算符号将数字和字母进行连接的式子叫做代数式，据此进行判断即可． 【详解】解：在式子、a、1、、中，、a、1、是代数式，共4个；是等式，不是代数式， 故选C． 【变式1-1】在代数式，，a，，，单项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式，根据单项式的定义判断即可求解，掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：在代数式，，a，，中，单项式有，，a，，共4个， 故选：C． 【变式1-2】下列各式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中，是单项式的有 ，是多项式的有 ．（填序号） 【答案】 ①②⑥ ③④⑦ 【分析】本题考查单项式、多项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念．单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式；多项式：若干个单项式的代数和组成的式子；整式；单项式和多项式统称为整式；据此逐个分析即可求解． 【详解】解：单项式有：，， 多项式有：，，， 是不等式，是分式，故不属于整式； 故答案为：①②⑥；③④⑦． 【题型二】代数式书写不规范 【例2】下列代数式中，书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写要求，解题的关键是熟练掌握代数式的书写规范：“（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式”． 【详解】解：A．应该写为，故A错误； B．应该写为，故B错误； C．应该写为，故C错误； D．书写正确，故D正确． 故选：D． 【变式2-1】下列式子中，符合代数式书写的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式，依次分析各个选项，选出符合代数式的书写格式的选项即可． 【详解】解：A. ，符合代数式的书写格式，即A项符合题意，     B. ，正确的格式为：，常数项不出现带分数，即B项不合题意，     C. ，书写代数式时，一般不出现除号，除号要变为分数线，正确写法为，因此选项C不符合题意；     D. ，正确的格式为：，乘号往往省略不写，故D选项不合题意， 故选：A． 【变式2-2】下列各式 ①：；②：；③：；④：中最符合书写规范的是 . 【答案】②， 【分析】代数式的书写要求：在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式；根据代数式的书写要求逐项判断即可得解， 本题考查了代数式，熟练掌握代数式的书写要求是解此题的关键. 【详解】解：①：中的乘号应省略不写，且写在前面， 故①错误，不符合题意； ②：符合书写规范，故②正确，符合题意； ③：应按照分数的写法来写， 故③错误，不符合题意； ④：中带分数要写成假分数的形式， 故④错误，不符合题意； 故答案为：②．. 【题型三】绝对值化简符号错误 【例3】已知实数 ， 在数轴上的对应点如图所示，化简：得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式的加减，化简绝对值，根据点在数轴的位置判断式子的正负，由数轴可知，，则，，由，然后去括号，合并同类项即可求解，熟练知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ， 故选：． 【变式3-1】若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴与有理数，整式的加减，化简绝对值，由数轴可得，，即得，，，进而根据绝对值的性质化简即可，由数轴判断出、与的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴ ， 故选：． 【变式3-2】若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查化简绝对值，数轴，合并同类项．根据数轴上点的位置可得，进而可得，，化简绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故答案为：． 【题型四】行列排序颠倒顺序 【例4】“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是∶从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，若将第n行的数字之和记为，则的末位数字为（   ） A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了杨辉三角的规律探究以及周期问题的应用，解题的关键是找出每行数字之和的规律并确定其末位数字的周期． 通过计算前几行数字之和，发现每行数字之和为为行数）；分析这些和的末位数字，找出周期规律；根据周期规律计算第行数字之和的末位数字． 【详解】解：由杨辉三角规律可知，第1行数字之和 第2行数字之和 第3行数字之和 第4行数字之和； …… 由此可推出第n行数字之和 则． 观察2的末位数字规律：（末位2），（末位4）， （末位，（末位6），（末位2）……周期为4． 因为，余数为0，说明的末位数字与的末位数字相同，即为6． 故选：D． 【变式4-1】观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为（   ） A．2004 B．2005 C．2025 D．2024 【答案】D 【分析】本题主要考查数字类规律探索；根据题意找出分子与分母的规律计算即可． 【详解】解：根据题意得：同一行的分数，分子与分母的和不变，均为正整数），在第行，第列； ∴在第20列，第行， ∴，； ∵， 故选：D． 【变式4-2】如图所示，观察规律 按照该数阵呈现的规律排下去，那么“”应该排在第 行，从左数第 个． 【答案】 45 87 【分析】本题考查数字类规律探究，观察可知，偶数为正，奇数为负，每一行数字的个数为个，最后一个数字的绝对值为，据此进行求解即可． 【详解】解：观察可知，偶数为正，奇数为负，每一行数字的个数为个，最后一个数字的绝对值为， 因为，， 所以第45行的最后一个数为，第一个数为， 所以“”应该排在第45行，从左数第个数字； 故答案为：45，87． 学科网（北京）股份有限公2 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $