专题02 代数式（6个考点清单+17种题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版2024）

专题02 代数式（6个考点清单+17种题型解读） 【清单01】代数式 代数式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、和2a2这样的式子都是代数式。 【清单02】整式 一、单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 二、多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 三、 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 【清单03】代数式的值 代数式的值：将具体数字代替代数式中对应的字母,计算所得的结果就是这个代数式的值 【清单04】合并同类项 1. 同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 2. 合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3. 合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 【清单05】去括号与添括号 一、去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 二、添括号法则 （1）添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； （2）添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。 【清单06】整式的加减 知识点六、整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【考点题型一 用字母表示数】 【例1】正方体的每条棱上放置相同数量的小球，且正方体8个顶点处均有一个小球，如图所示的是每条棱上放置4个小球的情况，若每条棱上的小球数为m，则下列表示正方体上小球总数的代数式正确的是（　 　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边、、用篱笆围成，且这三边的和为40米．若设的长米，则的长度可以表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1-2】用含x的代数式填空： ①甲工程队每天可以完成x平方米的小区绿化，10天可以完成 平方米的绿化． ②某工程队计划以每天x米的速度完成1800米的隧道掘进任务，按计划完成任务需要 天． ③某工程队计划每天铺设排污管道x米，实际施工时每天的工效比原计划增加，则实际每天的工效为 米． 【变式1-3】某排队窗口开始办理业务时有人排队，以后每分钟来个新顾客，窗口每分钟可以办理个顾客，业务员办理分钟后，还有 人在排队． 【变式1-4】甲乙两家体育用品店出售同款羽毛球拍和羽毛球．每副羽毛球拍定价80元，每个羽毛球2元．甲商店推出的优惠方案是：买一副球拍赠送5个羽毛球；乙商店的优惠方案是：按总价的九折优惠．某学校想购买20副羽毛球拍和x个羽毛球（其中）． (1)若到甲商店购买，应付多少元？（用含x的代数式表示） (2)若到乙商店购买，应付多少元？（用含x的代数式表示） (3)当时，应选择去哪家商店购买更合算？为什么？ 【考点题型二 求代数式的值】 【例2】当时，代数式的值等于2012，那么当时，代数式的值为（   ） A．2011 B． C．2010 D． 【变式2-1】知，则多项式的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】当时，代数式的值为4，则当时，代数式的值为 ． 【变式2-3】当时，代数式的值是，当时，该式子的值是 ． 【变式2-4】如下表格给出了x取不同数值时，代数式与的值．例如当时，． x … 0 1 2 … … a 5 3 b … … 1 2 3 … (1)根据表中信息，________，________，________，________． (2)当时，；当时，，且，求的值． 【考点题型三 单项式的相关概念】 【例3】下列结论中正确的是（    ）． A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式的系数是1，次数是4 C．多项式是三次三项式 D．单项式m的次数是1，没有系数 【变式3-1】下列结论中，正确的是（    ） A．单项式的系数是3，次数是2 B．多项式是四次三项式 C．单项式a的次数是1，系数为0 D．单项式的系数为，次数是4 【变式3-2】写出一个同时满足以下三个条件的单项式：①系数是负数；②次数是4；③只含有a和b两个字母．这个单项式可以是 ． 【变式3-3】代数式的系数是 ，次数是 ． 【变式3-4】观察下列关于的单项式：，，，， (1)直接写出第个单项式：___________； (2)第个单项式的系数和次数分别是多少？ (3)系数的绝对值为的单项式的次数是多少？ 【考点题型四 单项式规律题】 【例4】按一定规律排列的多项式：，，，，，，…，根据上述规律，则第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】观察下列按一定规律排列的单项式：，按这个规律，第15个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】观察下面的一列单项式：，，，…根据规律，第16个单项式为 ． 【变式4-3】观察下列单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第2023个单项式是 ． 【变式4-4】观察下列单项式：，．回答下列问题： (1)这组单项式的系数的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第（为正整数）个单项式是什么吗？ (4)根据你的猜想，请写出第2022，2023个单项式． 【考点题型五 多项式的相关概念】 【例5】多项式是关于x的四次三项式，则m的值是（    ） A． B．4 C．2 D．4或 【变式5-1】下列关于多项式的说法中，正确的是（    ） A．它的最高次项是 B．它的常数项是1 C．它是三次三项式 D．它是二次四项式 【变式5-2】若多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 【变式5-3】多项式是关于的二次三项式，则的值是 ． 【变式5-4】已知关于的整式．若该整式是二次式，求的值． 【考点题型六 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例6】将多项式按的降幂排列的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】将多项式按的降幂排列的结果为(　　) A． B． C． D． 【变式6-2】若多项式是按字母x降幂排列的，则整数n的值可以是 （写出一个即可） 【变式6-3】将多项式按字母的降幂排列为 ． 【变式6-4】阅读理解：把一个多项式的各项按其中某个字母的指数由小到大排列叫做把这个多项式按字母升幂排列．如，叫做按字母x的升幂排列；叫做按字母y的升幂排列． 已知多项式． (1)该多项式是关于x，y的________次________项式；是关于字母x的________次________项式； (2)把该多项式按字母x做升幂排列． 【考点题型七 整式的判断】 【例7】在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-1】在中，不是整式的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式7-2】下列式子：，其中单项式有 ；整式有 ． 【变式7-3】下列各式：；；；；；，其中是整式的有 （只填序号）． 【变式7-4】在代数式，0，中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ 【考点题型八 数字类规律探索】 【例8】观察下面一列数：将这列数排成下列形式： 2        4     6        8     10       12       14        16         …… 照上述规律排下去，则第9行中左边第1个数是（    ） A．65 B． C．66 D． 【变式8-1】是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是的“哈利数”是，已知是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则等于（    ） A． B． C． D．5 【变式8-2】观察下列各式：；；；…，第个等式可以表示为： （是正整数）． 【变式8-3】已知，，，，，，，推测的个位数字是 ． 【变式8-4】先观察下列式子的变形规律： ， ， ， (1)类比思考 ； (2)归纳猜想：若n为正整数，那么 ； (3)运用上面的知识计算：． 【考点题型九 图形类规律探索】 【例9】云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个中组成，第③个图案由10个中组成，…，按此规律排列下去，第100个图案中的个数为（    ） A．303 B．299 C． D．301 【变式9-1】如图，两个半径都是的圆外切于点，一只蚂蚁由点开始依，，，，，，，，的顺序沿着圆周上不断爬行，直到行走后才停止下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式9-2】4个边长为小正三角形摆成①，接着摆放前4个图形如图所示，按这样的方式，那么第⑥个图形的周长是 cm；第19个整个图形形状是 ；第n个图形一共有 个着色三角形． 【变式9-3】第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，第n个图案有 个三角形． 【变式9-4】合肥骆岗中央公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．已知图1中有1块六边形地砖，6块正方形地砖，6块三角形地砖；图2中有2块六边形地砖，11块正方形地砖，10块三角形地砖；…． (1)按照以上规律可知，图4中有______块正方形地砖； (2)若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，分别用含n的代数式表示用去的正方形地砖、三角形地砖的数量； (3)若，求此时三角形地砖的数量． 【考点题型十 同类项的判断】 【例10】不是同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式10-1】下列单项式中，与的和为单项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】下列各题中的两项是同类项的有 （只填序号） ①与；②与3；③与；④与 【变式10-3】写出的一个同类项： ． 【变式10-4】下列各组中的两项是不是同类项?为什么? (1)与 (2)与 (3)与. (4)与 (5)与 (6)与 【考点题型十一 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例11】若单项式与的和仍然是一个单项式，则、的值是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式11-1】若单项式与单项式是同类项，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式11-2】若代数式与的和为0，那么 ， ． 【变式11-3】如果单项式与是同类项，那么 ． 【变式11-4】已知． (1)化简：； (2)已知与是同类项，求的值． 【考点题型十二 合并同类项】 【例12】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】已知多项式，多项式．若是关于x的二次二项式，则 ． 【变式12-3】若关于x的多项式合并同类项后是一个三次二项式，则 ． 【变式12-4】阅读材料：我们知道，，我们把看成一个整体，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)尝试应用：把看成个整体，合并的结果是　　； (2)已知，求的值． 【考点题型十三 去括号与添括号】 【例13】下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】下列添括号错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式13-2】将下列各式去括号： （1） ； （2） ； （3） ． 【变式13-3】添括号：（___________）． 【变式13-4】去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型十四 整式的加减运算】 【例14】多项式与多项式相减，化简后不含的项是（    ） A．三次项 B．二次项 C．一次项 D．常数项 【变式14-1】一个多项式加上得，则这个多项式是（　　） A． B． C． D． 【变式14-2】若化简关于x，y的整式得到的结果是一个三次二项式，则 ． 【变式14-3】定义：若，则称与是关于2的平衡数． （1）3与 是关于2的平衡数，与 是关于2的平衡数．（填一个含x的代数式） （2）若，a与b关于2的平衡数，则 ．（填一个含x的代数式） 【变式14-4】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ______ ；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【考点题型十五 整式加减的应用】 【例15】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底部未被覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块．除阴影A、B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，则阴影A的周长比阴影B的周长多（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】某班开展图书交换阅读活动．甲、乙、丙三名同学有相同数量的图书、甲同学借给乙同学 4本，丙同学借给乙同学2本，一段时间后，他们约定：乙同学须将手中甲、丙两名同学现有图书数量总和的一半，借给甲同学，而后乙同学手上剩余图书的数量为 本． 【变式15-3】如图，大长方形是由正方形A、B和长方形①、②、③组成，若长方形①的周长为25，长方形②的周长为13，则正方形A、B的边长之比是 ． 【变式15-4】小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：__________；（结果保留） (2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（结果保留） (3)当米，米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________（取3） 【考点题型十六 整式加减的化简求值】 【例16】若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式16-1】已知，，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【变式16-2】（1）若，则代数式的值为 ． （2）已知的值为5，则的值为 ． （3）若代数式的值是2，则代数式的值等于 ． 【变式16-3】如果与是同类项，那么代数式的值等于 ． 【变式16-4】设． (1)当时，求的值； (2)若，则________． 【考点题型十七 整式加减中的无关型问题】 【例17】多项式与多项式相加后，不含一次项，则常数的值（　　） A．2 B．4 C． D． 【变式17-1】图1是长为a，宽为b（a，b为常数，且）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，且S为定值，则S的定值为（　　） A． B． C． D． 【变式17-2】已知多项式的值与字母x的取值无关，其中m、n是常数，那么 ． 【变式17-3】7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变，则a与b的等量关系为 ．    【变式17-4】已知． (1)化简：； (2)若，，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求此时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 代数式（6个考点清单+17种题型解读） 【清单01】代数式 代数式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、和2a2这样的式子都是代数式。 【清单02】整式 一、单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 二、多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 三、 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 【清单03】代数式的值 代数式的值：将具体数字代替代数式中对应的字母,计算所得的结果就是这个代数式的值 【清单04】合并同类项 1. 同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 2. 合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3. 合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 【清单05】去括号与添括号 一、去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 二、添括号法则 （1）添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； （2）添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。 【清单06】整式的加减 知识点六、整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【考点题型一 用字母表示数】 【例1】正方体的每条棱上放置相同数量的小球，且正方体8个顶点处均有一个小球，如图所示的是每条棱上放置4个小球的情况，若每条棱上的小球数为m，则下列表示正方体上小球总数的代数式正确的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，根据正方体一共有12条棱，每条棱上的小球数为m，且每个顶点处一共计算了3次，且共有8个顶点列式计算即可． 【详解】解：∵正方体一共有12条棱，每条棱上的小球数为m， ∴一共有个小球， 又∵每个顶点处一共计算了3次，且共有8个顶点， ∴多计算了个小球， ∴一共有的小球数量为， 故选：D． 【变式1-1】如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边、、用篱笆围成，且这三边的和为40米．若设的长米，则的长度可以表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 根据图形，可以用含的代数式表示出的长度． 【详解】解：由图可得， 的长度可以表示为米， 故选：C． 【变式1-2】用含x的代数式填空： ①甲工程队每天可以完成x平方米的小区绿化，10天可以完成 平方米的绿化． ②某工程队计划以每天x米的速度完成1800米的隧道掘进任务，按计划完成任务需要 天． ③某工程队计划每天铺设排污管道x米，实际施工时每天的工效比原计划增加，则实际每天的工效为 米． 【答案】 // 【分析】本题考查列代数式． ①由甲工程队的工作效率乘以时间列式即可； ②由工作总量除以工作效率列式即可； ③由实际每天的工效计划每天的工效列式即可． 【详解】解：①甲工程队10天可以完成平方米的绿化； ②完成任务需要天； ③实际每天的工效为米． 故答案为：；；． 【变式1-3】某排队窗口开始办理业务时有人排队，以后每分钟来个新顾客，窗口每分钟可以办理个顾客，业务员办理分钟后，还有 人在排队． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，根据每分钟来个新顾客，窗口每分钟可以办理个顾客，得出每分钟可以减少3个顾客，然后列出代数式即可． 【详解】解：∵每分钟来个新顾客，窗口每分钟可以办理个顾客， ∴每分钟可以减少个顾客， ∴业务员办理分钟后，还有人． 故答案为：． 【变式1-4】甲乙两家体育用品店出售同款羽毛球拍和羽毛球．每副羽毛球拍定价80元，每个羽毛球2元．甲商店推出的优惠方案是：买一副球拍赠送5个羽毛球；乙商店的优惠方案是：按总价的九折优惠．某学校想购买20副羽毛球拍和x个羽毛球（其中）． (1)若到甲商店购买，应付多少元？（用含x的代数式表示） (2)若到乙商店购买，应付多少元？（用含x的代数式表示） (3)当时，应选择去哪家商店购买更合算？为什么？ 【答案】(1)元 (2)元 (3)去任意一家商店购买即可，理由见解析 【分析】本题考查列代数式，代数式求值： （1）根据甲商店的优惠方法，列出代数式即可； （2）根据乙商店的优惠方案，列出代数式即可； （3）求出时，两家需花费的费用，进行比较即可． 【详解】（1）解：元； （2）元 （3）去任意一家商店购买即可，理由如下： 当时，元； 元； 故选择甲、乙商店购买的费用相同． 【考点题型二 求代数式的值】 【例2】当时，代数式的值等于2012，那么当时，代数式的值为（   ） A．2011 B． C．2010 D． 【答案】D 【分析】本题考查了求代数式的值，解题的关键是根据题意得出． 先把代入，得到；再把代入得到，整理为，然后利用整体代入的思想计算即可． 【详解】解：∵时，代数式， ∴， 把代入代数式得 ． 故选：D． 【变式2-1】知，则多项式的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】已知等式变形后，代入所求式子，再次变形再次带入计算即可求出值． 【详解】 故答案为C 【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2-2】当时，代数式的值为4，则当时，代数式的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握利用整体思想求解代数式的值是解题的关键． 把代入整式可得，然后把代入整式得，再把整体代入即可． 【详解】解：把代入整式可得， ， ∴把代入整式可得：； 故答案为：10． 【变式2-3】当时，代数式的值是，当时，该式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，先化简代数式，再把代入化简后的结果可得，求出的值，再把以及的值代入代数式计算即可求解，解题的关键是求出的值． 【详解】解： ， ， ， 把代入得，， 解得， 把，代入代数式得， ． 故答案为：． 【变式2-4】如下表格给出了x取不同数值时，代数式与的值．例如当时，． x … 0 1 2 … … a 5 3 b … … 1 2 3 … (1)根据表中信息，________，________，________，________． (2)当时，；当时，，且，求的值． 【答案】(1)7；1；；2 (2)3 【分析】本题主要考查了代数式求值、代数式变形等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题目所给式子和数据进行求解即可； （2）根据题意可得，然后将、、代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵当时，代数式的值为2， ∴， ∵当时，代数式的值为3， ∴，解得：． 故答案为：7；1；；2． （2）解：∵当时，；当时，，且， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【考点题型三 单项式的相关概念】 【例3】下列结论中正确的是（    ）． A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式的系数是1，次数是4 C．多项式是三次三项式 D．单项式m的次数是1，没有系数 【答案】C 【分析】本题考查单项式的系数、次数、多项式的次数、项数，解答的关键是熟知单项式中的数字因数是单项式的系数，所有字母的指数的和是单项式的次数；多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数．根据单项式的系数、次数、多项式的次数、项数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3，故本选项错误，不符合题意； B、单项式的系数是，次数是4，故本选项错误，不符合题意； C、多项式是三次三项式，故本选项正确，符合题意； D、单项式m的次数是1，系数也是1，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】下列结论中，正确的是（    ） A．单项式的系数是3，次数是2 B．多项式是四次三项式 C．单项式a的次数是1，系数为0 D．单项式的系数为，次数是4 【答案】D 【分析】本题主要考查数与式，掌握整式的相关概念是解本题的关键． 根据整式的相关概念依次判断即可． 【详解】解：A.单项式的系数是，次数是3，故该选项错误，不合题意； B. 多项式是三次三项式，故该选项错误，不合题意； C. 单项式a的次数是1，系数为1，故该选项错误，不合题意； D. 单项式的系数为，次数是4，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-2】写出一个同时满足以下三个条件的单项式：①系数是负数；②次数是4；③只含有a和b两个字母．这个单项式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了单项式的概念，根据题目要求写出这个单项式即可，答案不唯一． 【详解】根据题意，这个单项式可以是． 故答案为：（答案不唯一） 【变式3-3】代数式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 6 【分析】利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出答案． 此题主要考查了单项式有关概念，正确把握相关定义是解题关键． 【详解】代数式的系数是，次数是． 故答案为：，6． 【变式3-4】观察下列关于的单项式：，，，， (1)直接写出第个单项式：___________； (2)第个单项式的系数和次数分别是多少？ (3)系数的绝对值为的单项式的次数是多少？ 【答案】(1) (2)系数是，次数是 (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的单项式，探索出单项式的一般规律是解题的关键． （1）根据所给的式子，直接写出即可； （2）通过观察可得第个单项式为，当时，即可求解； （3）由题意可得，求出，再由（2）的规律求解即可． 【详解】（1）解：第5个单项式为， 故答案为：； （2）解：，，，， 第个单项式为， 第20个单项式为， 第20个单项式的系数是，次数是41； （3）解：系数的绝对值为2023， ∴ ， 次数为． 【考点题型四 单项式规律题】 【例4】按一定规律排列的多项式：，，，，，，…，根据上述规律，则第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数字的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，再根据规律进行解答便可． 【详解】解：按一定规律排列的多项式：， ， ， ， …， 则第n个多项式是， 故选B． 【变式4-1】观察下列按一定规律排列的单项式：，按这个规律，第15个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化规律，通过所给的单项式，探索出系数与次数的关系是解题的关键． 由所给的单项式可得第n个单项式为，当时即可求解． 【详解】解：， 第n个单项式为， 第15个单项式为：， 故选：C． 【变式4-2】观察下面的一列单项式：，，，…根据规律，第16个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的应用，解此题的关键是找出规律直接解答． 先根据所给单项式的次数及系数的关系可得单项式的系数为，次数为n，据此即可得到答案． 【详解】解：, ， ， ， 第n个单项式为， 第16个单项式为， 故答案为：． 【变式4-3】观察下列单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第2023个单项式是 ． 【答案】 【分析】根据题目中的单项式，可以发现单项式的系数是从1开始的一些连续的奇数，字母的指数幂是从1开始的一些连续的整数，从而可以写出第个单项式，然后即可得到第2023个单项式．本题考查了规律型数字的变化类、单项式，解决本题的关键是观察单项式后找到规律． 【详解】解：观察关于的单项式可知： ； ； ； 发现规律： 第个单项式为：， 所以第2023个单项式是： ． 故答案为：． 【变式4-4】观察下列单项式：，．回答下列问题： (1)这组单项式的系数的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第（为正整数）个单项式是什么吗？ (4)根据你的猜想，请写出第2022，2023个单项式． 【答案】(1)这组单项式的系数的符号的规律是，系数的绝对值的规律是 (2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数 (3)第（为正整数）个单项式是 (4)第2022个单项式是，第2023个单项式是 【分析】（1）根据单项式系数的含义进行求解，再观察其绝对值的规律即可； （2）观察这组单项式的次数的变化，从而可求解； （3）结合（1）（2）进行分析即可； （4）根据（3）进行求解即可． 【详解】（1）解：这组单项式的系数的符号的规律是，系数的绝对值的规律是． （2）解：这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数． （3）解：第（为正整数）个单项式是． （4）解：第2022个单项式是，第2023个单项式是． 【点睛】本题主要考查探究单项式的规律，能够通过观察题中的单项式找出规律是解题关键． 【考点题型五 多项式的相关概念】 【例5】多项式是关于x的四次三项式，则m的值是（    ） A． B．4 C．2 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式的概念列式求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的四次三项式， ∴且， 解得． 故选A． 【变式5-1】下列关于多项式的说法中，正确的是（    ） A．它的最高次项是 B．它的常数项是1 C．它是三次三项式 D．它是二次四项式 【答案】A 【分析】本题考查多项式，关键是掌握以下概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式中的几个概念进行判断即可． 【详解】解：多项式是一个四次三项式，最高次项是，常数项是， 故选：A 【变式5-2】若多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，根据二次三项式的定义可得，且，解之即可求解，掌握多项式的概念是解题的关键． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴，且， 解得， 故答案为：． 【变式5-3】多项式是关于的二次三项式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的知识，根据多项式项数、次数的定义，即可得出关于的式子，解出后代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 由解得或，由解得， 所以， ． 故答案为：． 【变式5-4】已知关于的整式．若该整式是二次式，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查多项式的项、次数、代数式求值，根据相关概念求解即可． 【详解】解：由题意知且， 所以， ∴ ． 【考点题型六 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例6】将多项式按的降幂排列的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，先确定各项中的次数，再排列即可，弄清楚每项中的系数是解此题的关键． 【详解】解：将多项式按的降幂排列的结果为， 故选：D． 【变式6-1】将多项式按的降幂排列的结果为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式，根据题意按的降幂排列即可求解． 【详解】解：将多项式按的降幂排列的结果为， 故选：C． 【变式6-2】若多项式是按字母x降幂排列的，则整数n的值可以是 （写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式，能根据多项式是按字母降幂排列得出是解此题的关键．根据多项式是按字母降幂排列得出，求出的范围，再根据为整数求出答案即可． 【详解】解：多项式是按字母降幂排列， ， ， 为整数， 或2或3或4． 故答案为：3（答案不唯一） 【变式6-3】将多项式按字母的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的项的概念和降幂排列的概念．根据多项式项的概念和降幂排列的概念解答即可． 【详解】解：将多项式按字母的降幂排列为， 故答案为：． 【变式6-4】阅读理解：把一个多项式的各项按其中某个字母的指数由小到大排列叫做把这个多项式按字母升幂排列．如，叫做按字母x的升幂排列；叫做按字母y的升幂排列． 已知多项式． (1)该多项式是关于x，y的________次________项式；是关于字母x的________次________项式； (2)把该多项式按字母x做升幂排列． 【答案】(1)五，五；四，五 (2) 【分析】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键． （1）根据多项式的意义即可解答； （2）按字母x的指数从小到大重新排序即可． 【详解】（1）该多项式是关于x，y的五次五项式；是关于字母x的四次五项式， 故答案为：五，五，四，五； （2）把该多项式按字母x做升幂排列为：． 【考点题型七 整式的判断】 【例7】在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查整式的定义，单项式与多项式统称为整式，根据整式的概念逐项验证即可得到答案，熟记整式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①； ②； ③； ④；⑤中，整式有①； ②； ③；⑤；共4个， 故选：C． 【变式7-1】在中，不是整式的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据单项式和多项式统称整式，判断即可． 本题考查了整式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】中，不是整式的是有2个， 故选C． 【变式7-2】下列式子：，其中单项式有 ；整式有 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式、单项式的概念．数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．有限个单项式求和得到的代数式叫做整式．根据整式、单项式的概念，紧扣概念作出判断． 【详解】解：单项式有：， 整式有：， 故答案为：；． 【变式7-3】下列各式：；；；；；，其中是整式的有 （只填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了整式的定义，单项式与多项式统称为整式；直接根据整式的定义即可判断求解，掌握整式的定义是解题的关键． 【详解】解：下列各式：；；；；；，其中是整式的有；；； 故答案为：． 【变式7-4】在代数式，0，中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ 【答案】单项式：，，0；多项式：，；整式：，，，0， 【分析】整式是代数式的一部分，在代数式中可以包含加，减，乘，除，乘方五种运算，但在整式中除数（分母）不能含有字母，整式分为单项式和多项式． 【详解】解：分母中含有字母，不属于整式， 单项式：，，0； 多项式：，； 整式：，，，0，． 【点睛】本题主要考查单项式、多项式和整式的概念．掌握整式是分母中不能含字母的代数式是解决此题的关键． 【考点题型八 数字类规律探索】 【例8】观察下面一列数：将这列数排成下列形式： 2        4     6        8     10       12       14        16         …… 照上述规律排下去，则第9行中左边第1个数是（    ） A．65 B． C．66 D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的规律；能够通过观察发现奇偶数符号的关系，每行末尾数与下一行第一个数之间的关系是解题的关键． 通过观察奇数的符号是负，偶数的符号是正，每行数的个数是奇数，且偶数行最后一个数是，奇数行最后一个数是，进而求解即可． 【详解】通过观察奇数的符号是负，偶数的符号是正， 每行数的个数是奇数， 第1行的最后一个数是 第2行的最后一个数是 第3行的最后一个数是 ∴第8行最后一个数是64， ∴第9行第一个数是． 故选：B． 【变式8-1】是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是的“哈利数”是，已知是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则等于（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．通过计算发现每四次运算结果循环出现，由此可求． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ∴每四次运算结果循环出现， ∵， ∴， 故选：D． 【变式8-2】观察下列各式：；；；…，第个等式可以表示为： （是正整数）． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据前3个式子归纳类推出一般规律即可得答案． 【详解】解：∵， ， ， … ∴第个等式可以表示为 故答案为： 【变式8-3】已知，，，，，，，推测的个位数字是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据题意，对于3的正整数幂，个位数字只出现3、9、7、1这四个数，且按这一顺序每四个一循环，据此可求． 【详解】解：，，，，，，， 个位数3、9、7、1按这一顺序每四个一循环， ， 的个位数是：9． 故答案为：9． 【变式8-4】先观察下列式子的变形规律： ， ， ， (1)类比思考 ； (2)归纳猜想：若n为正整数，那么 ； (3)运用上面的知识计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的式子的值． （1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以写出所求式子相应的结果； （3）根据（2）中的结果可以解答本题． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【考点题型九 图形类规律探索】 【例9】云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个中组成，第③个图案由10个中组成，…，按此规律排列下去，第100个图案中的个数为（    ） A．303 B．299 C． D．301 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是发现基础图形数量的变化规律． 根据所给图形总结规律即可． 【详解】解：∵第1个图案由4个基础图形组成， 第2个图案由7个基础图形组成，即， 第3个图案由10个基础图形组成，， ∴第个图案中基础图形的个数为：， ∴第100个图案中的个数为， 故选：D． 【变式9-1】如图，两个半径都是的圆外切于点，一只蚂蚁由点开始依，，，，，，，，的顺序沿着圆周上不断爬行，直到行走后才停止下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可． 【详解】解：∵两个圆的半径都为， ∴两个圆的周长都是， ∴同一圆上相邻两个点之间的距离为， 又∵每爬行8个为一循环， ∴爬行一圈的路程为， ∵，， ∴行走后才停下来，那一个点为E点， 故选：C． 【变式9-2】4个边长为小正三角形摆成①，接着摆放前4个图形如图所示，按这样的方式，那么第⑥个图形的周长是 cm；第19个整个图形形状是 ；第n个图形一共有 个着色三角形． 【答案】 等腰梯形 n 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，找出规律是解题的关键． 根据图形找出规律即可得到结论． 【详解】解：∵第①个图形的周长为， 第②个图形的周长为， 第③个图形的周长为， 第④个图形的周长为， 第⑤个图形周长为， 第⑥个图形的周长为， 第个整个图形形状是等腰梯形；第n个图形一共有n个着色三角形， 故答案为：，等腰梯形，n． 【变式9-3】第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，第n个图案有 个三角形． 【答案】/ 【分析】本题是对图形变化规律的考查，观察不难发现，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律，根据此规律解答即可． 【详解】解：∵第1个图案中三角形的个数为个； 第2个图案中三角形的个数为个； 第3个图案中三角形的个数为个； ； ∴依规律可知第n个图案中三角形的个数为个． 故答案为：． 【变式9-4】合肥骆岗中央公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．已知图1中有1块六边形地砖，6块正方形地砖，6块三角形地砖；图2中有2块六边形地砖，11块正方形地砖，10块三角形地砖；…． (1)按照以上规律可知，图4中有______块正方形地砖； (2)若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，分别用含n的代数式表示用去的正方形地砖、三角形地砖的数量； (3)若，求此时三角形地砖的数量． 【答案】(1)21 (2)用去的正方形地砖的块数为块，三角形地砖的块数为块． (3)此时三角形地砖的数量为202块． 【分析】本题主要考查图形的规律并用代数式表示，理解图形的数量关系，掌握整式的运算是解题的关键． （1）根据图形的数量，找出数量关系即可求解； （2）根据（1）中的数量关系列式求解即可； （3）把代入上述的数量关系式即可求解． 【详解】（1）由图形可知，图1中六边形地砖块数为1，正方形地砖块数为，三角形地砖块数为； 图2中六边形地砖块数为2，正方形地砖块数为，三角形地砖块数为； 图3中六边形地砖块数为3，正方形地砖块数为，三角形地砖块数为；…， 由此可见，每增加1块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块， ∴图4中正方形地砖块数为21块． （2）由（1）发现的规律可知， 当铺设这条小路共用去n块六边形地砖时， 用去的正方形地砖的块数为块，三角形地砖的块数为块． （3）当时，三角形地砖的块数为（块）． 答：此时三角形地砖的数量为202块． 【考点题型十 同类项的判断】 【例10】不是同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项，解题的关键是熟记同类项的定义． 含有相同的字母，且相同字母的指数也分别相等的几个单项式是同类项，根据定义求解即可． 【详解】解：A、和符合同类项的定义，故本选项不符合题意； B、和所含相同字母的指数不同，不是同类项，符合题意； C、和符合同类项的定义，故本选项不符合题意； D、和符合同类项的定义，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式10-1】下列单项式中，与的和为单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了同类项．解题的关键是掌握同类项的定义，判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．直接利用同类项的定义：所含有的字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项，所以只要判断所含有的字母是否相同，相同字母的指数是否相同即可． 【详解】解：由同类项的定义可知，x的指数是1，y的指数是2． A、x的指数是1，y的指数是1，不是同类项，故此选项不符合题意； B、x的指数是1，y的指数是1，不是同类项，故此选项不符合题意； C、x的指数是2，y的指数是2，不是同类项，故此选项不符合题意； D、x的指数是1，y的指数是2，是同类项，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式10-2】下列各题中的两项是同类项的有 （只填序号） ①与；②与3；③与；④与 【答案】②③④ 【分析】此题考查了同类项的定义．根据同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项进行判断即可． 【详解】解：①与所含字母不同，不是同类项； ②与3都是常数，是同类项； ③与所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项； ④与所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项； 综上，是同类项的有②③④； 故答案为：②③④． 【变式10-3】写出的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：的一个同类项可以是：（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【变式10-4】下列各组中的两项是不是同类项?为什么? (1)与 (2)与 (3)与. (4)与 (5)与 (6)与 【答案】(1)不是同类项，理由见分析 (2)不是同类项，理由见分析 (3)是同类项，理由见分析 (4)是同类项，理由见分析 (5)不是同类项，理由见分析 (6)是同类项，理由见分析 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项）． 【详解】（1）与中两项所含相同的字母的指数不同，不是同类项. （2）与中两项所含的字母不同，不是同类项. （3）与中两项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项. （4）与中两项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项. （5）与中两项不含相同字母，不是同类项. （6）与中两项是常数项，是同类项 【点睛】本题主要考点是同类项的定义，根据同类项的定义逐个判断即可，应当熟练掌握． 【考点题型十一 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例11】若单项式与的和仍然是一个单项式，则、的值是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义，直接利用合并同类项法则分别计算得出答案． 【详解】解：∵单项式与的和仍然是一个单项式， ， 解得：， 故选：C． 【变式11-1】若单项式与单项式是同类项，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项的定义，代数式求值，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得，则，再代值计算即可. 【详解】解：∵单项式与单项式同类项， ∴， 解得， ∴ 故选：B． 【变式11-2】若代数式与的和为0，那么 ， ． 【答案】 2 5 【分析】本题考查了同类项，解决本题的关键是同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项与字母的顺序无关． 根据同类项的定义（所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项），即可解答． 【详解】解：代数式与的和为0， 代数式与是同类项， ，， 故答案为：2，5． 【变式11-3】如果单项式与是同类项，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查同类项，解题的关键是正确理解同类项的定义．根据同类项的定义即可求出答案． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ， ， 故答案为：1． 【变式11-4】已知． (1)化简：； (2)已知与是同类项，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及同类项定义、合并同类项等知识，熟练掌握整式加减运算法则及代数式求值方法是解决问题的关键． （1）利用整式的加减运算法则，合并同类项即可得到答案； （2）由同类项定义，列等式求出，将其代入（1）中化简结果即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：与是同类项， ， ， 由（1）中知， ，即． 【考点题型十二 合并同类项】 【例12】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项和去括号法则；由合并同类项和去括号法则逐一判断，即可求解；掌握合并同类项法则法则和去括号法则是解题的关键． 【详解】解：A.，结论正确，符合题意； B.无法进行运算，结论错误，不符合题意； C.，结论错误，不符合题意； D.，结论错误，不符合题意； 故选：A． 【变式12-1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键． 根据合并同类项法则逐项计算即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式12-2】已知多项式，多项式．若是关于x的二次二项式，则 ． 【答案】或/或 【分析】此题主要考查了合并同类项，多项式的定义，用到的知识点为：多项式的次数由组成多项式的单项式的最高次数决定；组成多项式的单项式叫做多项式的项，有几项就是几项式．也考查了合并同类项． 先合并同类项，然后根据这个多项式是关于x的二次二项式可知的一次项系数或常数项为0，从而得解． 【详解】解：∵， ∴ ∵是关于x的二次二项式， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 【变式12-3】若关于x的多项式合并同类项后是一个三次二项式，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了合并同类项和多项式的相关定义，先将原式进行合并同类项，根据多项式是三次二项式可知二次项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解：， ∵合并同类项后是一个三次二项式， ∴，解得， 故答案为：1． 【变式12-4】阅读材料：我们知道，，我们把看成一个整体，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)尝试应用：把看成个整体，合并的结果是　　； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了合并同类项、代数式求值等知识点，掌握整体思想是解题的关键． （1）将当作一个整体合并同类项即可； （2）将原式变形成，然后将整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ． 故答案为：． （2）解：． 【考点题型十三 去括号与添括号】 【例13】下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了去括号，熟练掌握去括号法则是解本题的关键． 利用去括号法则逐项计算并判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式13-1】下列添括号错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 根据添括号的法则对每一项进行判断即可． 【详解】解：A、，正确； B、，故原式不正确； C、，正确； D、，正确； 故选：B． 【变式13-2】将下列各式去括号： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】此题主要考查了去括号，正确掌握去括号法则是解题关键． （1）直接利用去括号法则得出答案； （2）直接利用去括号法则得出答案； （3）直接利用去括号法则得出答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 【变式13-3】添括号：（___________）． 【答案】． 【分析】本题主要考查添括号，根据添括号的方法直接进行解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式13-4】去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查去括号法则，要注意括号前是负号，去括号时要各项改号．利用去括号法则即可求出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 【考点题型十四 整式的加减运算】 【例14】多项式与多项式相减，化简后不含的项是（    ） A．三次项 B．二次项 C．一次项 D．常数项 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，多项式项的定义，根据整式的加减计算法则求出两个多项式的差即可得到答案． 【详解】解： ， ∴多项式与多项式相减，化简后不含的项是二次项， 故选：B． 【变式14-1】一个多项式加上得，则这个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减的应用，主要考查学生的计算能力．根据题意可知，这个多项式是，然后去括号，合并同类项即可． 【详解】解：由题意可得， 这个多项式是： ， 故选：C 【变式14-2】若化简关于x，y的整式得到的结果是一个三次二项式，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了整式的加减，多项式的系数，次数，代数式求值．直接利用整式的加减运算法则化简，再利用多项式的项数与次数确定方法分析得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解： 整式是一个三次二项式， ，， ，， ． 故答案为：． 【变式14-3】定义：若，则称与是关于2的平衡数． （1）3与 是关于2的平衡数，与 是关于2的平衡数．（填一个含x的代数式） （2）若，a与b关于2的平衡数，则 ．（填一个含x的代数式） 【答案】 【分析】（1）根据定义即可求出答案． （2）根据定义，则，即可作答． 本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 【详解】解：（1）设3与是关于2的平衡数， ， ， 设与是关于2的平衡数， ， ． 故答案为：，； （2）依题意， ∵，a与b关于2的平衡数， ∴ ∴ 故答案为： 【变式14-4】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ______ ；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则、运用整体思想是解本题的关键． （1）根据题意得出，整体代入，即可求解； （2）先化简代数式，将，整体代入，即可求解； （3）依题意得出，，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：； ； （2）， ； （3），， ，， ． 【考点题型十五 整式加减的应用】 【例15】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底部未被覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键． 先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b， ∴， L下面的阴影=， ∴ ， 又∵， ∴． 故选：B． 【变式15-1】如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块．除阴影A、B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，则阴影A的周长比阴影B的周长多（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式、整式加减法的应用，用含x的代数式表示出阴影A与阴影B的周长是解答本题的关键． 根据整式的加减法法则计算即可得． 【详解】解：阴影A的周长为（）， 阴影B的周长为（）， ∴ ∴阴影A的周长比阴影B的周长多， 故选：A． 【变式15-2】某班开展图书交换阅读活动．甲、乙、丙三名同学有相同数量的图书、甲同学借给乙同学 4本，丙同学借给乙同学2本，一段时间后，他们约定：乙同学须将手中甲、丙两名同学现有图书数量总和的一半，借给甲同学，而后乙同学手上剩余图书的数量为 本． 【答案】9 【分析】本题主要考查了整式加减的意义，设一开始三名同学各有x本图书，则甲、丙借完图书给乙后乙有图书本，而甲、丙剩余图书之和为，再根据题意列式求解即可． 【详解】解：设一开始三名同学各有x本图书， 由题意得，乙同学手上剩余图书的数量为本， 故答案为：9． 【变式15-3】如图，大长方形是由正方形A、B和长方形①、②、③组成，若长方形①的周长为25，长方形②的周长为13，则正方形A、B的边长之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的周长面积公式，整式的加减法，列代数式，表示出两个正方形边长之间的数量关系是解题的关键．设正方形A的边长为，正方形的边长为，根据图形分别得出长方形①、②的长和宽，再根据长方形①、②的周长，得到方程组解出a、b，即可求出正方形A、的边长之比． 【详解】解：设正方形A的边长为，正方形的边长为， 长方形②的宽为，长为； 长方形①的长为，宽为， ∵长方形①的周长为25，长方形②的周长为13， ， 解得：， 则正方形A、B的边长之比是 故答案为：． 【变式15-4】小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：__________；（结果保留） (2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（结果保留） (3)当米，米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________（取3） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查列代数式和整式加减的应用，解题的关键是用代数式表示出装饰物的面积． （1）将两个四分之一的圆面积相加即是装饰物的面积，用矩形的面积减去装饰物的面积即是射进阳光的面积； （2）用矩形面积减去一个半圆和两个四分之一圆的面积即为射进阳光的面积； （3）将（2）（1）的结论作差，再将米，米代入，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：四分之一圆的半径为， ∴装饰物的面积为：， ∴窗户能射进阳光的面积为：； （2）解：由题意知：半圆和四分之一圆的半径为， ∴装饰物的面积为：， ∴图2窗户能射进阳光的面积为： ； （3）解： ， 将代入，可得： 原式， 答：两图中窗户能射进阳光的面积相差． 【考点题型十六 整式加减的化简求值】 【例16】若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值，先把变形为，再把所求的整式化简然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 原式 ， 故选：． 【变式16-1】已知，，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减和用代数式求值，关键将整式变形为含有所给数值的代数式．用提取公因式的方法将代数式进行变形，再将数值代入求值． 【详解】解： ， 把，代入， 则： ， 故选：D． 【变式16-2】（1）若，则代数式的值为 ． （2）已知的值为5，则的值为 ． （3）若代数式的值是2，则代数式的值等于 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了整式的加减的化简求值，熟练掌握去括号合并与合并同类项法则是解本题的关键： （1）原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值； （2）由，得到，原式变形后代入计算即可求出值； （3）原式去括号合并变形后，把已知代数式的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）∵， ∴原式 ； 故答案为：5； （2）∵， ∴， ∴原式 ； 故答案为：； （3）∵， ∴原式 ． 故答案为：． 【变式16-3】如果与是同类项，那么代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，整式的化简求值．先根据同类项的定义求出x，y的值，然后把所给代数式去括号合并同类项，再把求得的x，y的值代入计算即可． 【详解】解：由与为同类项得 ， 解得， ∴ ． 故答案为：． 【变式16-4】设． (1)当时，求的值； (2)若，则________． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）原式去括号合并同类项得到最简结果，把x、y的值代入计算即可求出值． （2）根据化简的结果整体代入即可 此题考查了整式的加减-化简求值，以及整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键． 【详解】（1） 当时，原式； （2）由，得到 【考点题型十七 整式加减中的无关型问题】 【例17】多项式与多项式相加后，不含一次项，则常数的值（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据相加之后不含一次项，可知合并后的一次项的系数为0，由合并同类项法则求解即可． 【详解】解：， ∵相加后不含一次项， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则以及合并同类项法则． 【变式17-1】图1是长为a，宽为b（a，b为常数，且）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，且S为定值，则S的定值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，面积分别为，的两个长方形知道其中一边，于是设这两个长方形的另一边，则其面积可以表示出来，再由面积差为定值，可求得与的关系，根据这个关系即可求得定值． 【详解】由题意知，面积为的长方形一边为，设另一边为；面积为的长方形一边为，设另一边为，则， 由图知：，即， ∴， ∵为定值， ∴， 即， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了列代数式及多项式中的无关问题，关键是设两个长方形的另一边长，并表示其面积，由面积差为定值求得与的关系． 【变式17-2】已知多项式的值与字母x的取值无关，其中m、n是常数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减、有理数乘方、代数式的值，先去括号，然后合并同类项，再根据多项式的值与字母x的取值无关，列出等式，求出m、n的值． 【详解】解： ， ∵多项式的值与字母x的取值无关， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式17-3】7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变，则a与b的等量关系为 ．    【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式加减中的无关型问题，理解题意是解题关键．设，分别表示出、，进而得到，再根据的长发生变化时，的值始终保持不变，得到，即可求解． 【详解】解：设， 则，， ， 当的长发生变化时，的值始终保持不变， ， ． 【变式17-4】已知． (1)化简：； (2)若，，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题： （1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）根据（1）所求，利用整体代入法求解即可； （3）根据（1）所求可知，再由题意得到，据此求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：由（1）可知， ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$