第二章有理数（期中知识清单）七年级数学上学期新教材苏科版

第二章 有理数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 正数与负数 1.1 正数和负数的定义 像 ，，， 这样的数是正数；像 ，，， 这样的数是负数。 0 既不是正数，也不是负数。 示例：，，， 是正数；，，， 是负数。 注意：“+”读作“正”，正号通常省略不写；“-”读作“负”。如“”读作“正三分之二”，“”读作“负八十点九七”。 1.2 整数与分数 正数中，像 ， 这样的数称为正整数；负数中，像 ， 这样的数称为负整数；正整数、零、负整数统称为整数。正整数和零就是我们熟悉的自然数。 ， 都是分数，其中 是正分数， 是负分数。小学里，我们已经知道有限小数与循环小数可以写成分数的形式，如 ，，所以，有限小数与循环小数都可以看作分数。 1.3 有理数的概念与分类 整数和分数统称为有理数。 有理数也可以分为正有理数、零和负有理数。正有理数和零属于非负数。 示例：，，， 是正有理数；，， 是负有理数；，，，， 是非负有理数。 2. 数轴 2.1 数轴的概念 画一条水平直线，并在这条直线上取一点表示 ，我们把这个点称为原点；规定直线上从原点向右的方向为正方向（画箭头表示），向左的方向为负方向；取适当长度为单位长度，在直线上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示 ，，，……；从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示 ，，，……。 像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 图1：数轴 2.2 用数轴上的点表示有理数 有理数都可以用数轴上的点表示。 示例： 用原点右边到原点的距离是 个单位长度的点表示， 用原点左边到原点的距离是 个单位长度的点表示。 2.3 利用数轴比较有理数的大小 在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大。 特别地，在数轴上表示负数的点在原点左边，表示正数的点在原点右边，所以：正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数。 示例：比较 和 ：因为表示 的点在表示 的点的右边，所以 。 2.4 有理数大小关系的性质 对于有理数 ，，下列三种关系有且只有一种成立：，，。 有理数的大小关系仍具有传递性：对于有理数 ，，，如果 ，且 ，那么 ；如果 ，且 ，那么 。 3. 绝对值与相反数 3.1 绝对值的概念 数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值。数 的绝对值记为 ，读作“ 的绝对值”。 任意一个数的绝对值都是非负数。 示例： 的绝对值是 ，即 ； 的绝对值是 ，即 ； 的绝对值是 ，即 。 3.2 相反数的概念 像 与 ， 与 ， 与 这样，只有符号不同的两个数称为互为相反数。例如， 与 互为相反数，也可以说 是 的相反数， 是 的相反数。 0 的相反数是 0。 3.3 相反数的性质 因为互为相反数的两个数只相差一个负号，所以这两个数在数轴上的对应点到原点的距离相等。由此得到：互为相反数的两个数绝对值相等，也可以表示为 。 对于任意的数 都有 ，也就是说，一个数的相反数的相反数就是这个数本身。 示例：；。 3.4 绝对值的性质 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。 也可以表示为： 的取值 的值 3.5 利用绝对值比较有理数的大小 两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小。 也可以表示为： 条件 结论 ，，且 ，，且 示例：因为 ，，且 ，所以 。 4. 有理数的加法与减法 4.1 有理数的加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值相等时，和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数与 0 相加，仍得这个数。 示例：；；；；。 4.2 有理数加法运算律 小学里学过的加法交换律、结合律，在有理数范围内仍然适用。 交换律：；结合律：。 示例：。 4.3 互为相反数的两个数的和 根据有理数加法法则，互为相反数的两个数的和为 。反过来，如果 ，那么 ， 互为相反数。 4.4 有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。也可以表示为：。 示例：；。 4.5 有理数的加减混合运算 根据有理数减法法则，有理数的加减混合运算可以统一为加法运算。 示例：。 5. 有理数的乘法与除法 5.1 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。0 与任何数相乘都得 0。 示例：；；。 5.2 有理数乘法运算律 小学里学过的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，在有理数范围内仍然都适用。 交换律：；结合律：；分配律：。 示例：。 5.3 倒数 一般地，如果 ，那么 和 互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数。例如， 与 ， 与 ， 与 都互为倒数。 示例： 的倒数是 ； 的倒数是 。 5.4 有理数的除法法则 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。也可以表示为：（）。 因为有理数的除法可以转化为乘法，所以有理数的除法也有下列法则：两个不等于 0 的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 按照小学里的习惯，两个数相除可以写成分数的形式，即 （）。 示例：；。 6. 有理数的乘方 6.1 乘方的概念 个相同因数的积 可以表示为 （），读作“ 的 次方”。 求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂。乘方运算本质上是乘法运算，它是同一个因数连乘的简便形式。 示例： 读作“2 的 6 次方”， 是底数， 是指数。 6.2 幂的符号规律 正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。 特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方，任意一个数的平方都是非负数；一个数的三次方，也称为这个数的立方，正数的立方是正数，负数的立方是负数。 示例：；。 6.3 科学记数法 一般地，一个绝对值大于 10 的数可以写成 的形式，其中 ， 是正整数。这种记数法称为科学记数法。当 时，可简写成 。 示例：；。 7. 有理数的混合运算 7.1 有理数的混合运算顺序 进行有理数的混合运算，按以下顺序：先乘方，后乘除，再加减，如果有括号，先进行括号内的运算。 示例：。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 绝对值方程的解 若 ，则当 时， 或 ，即 ；当 时，；当 时，方程无解。 1.2 多重符号的化简 一个数前面连续带多个“+”“-”号时，负号个数为偶数，化简结果为正；负号个数为奇数，化简结果为负。如 ，。 1.3 数轴上两点间的距离与中点 数轴上点 、 表示的数分别为 、（），则 、 两点间的距离为 ，表示 、 中点位置的数为 。 1.4 几个非零有理数相乘的符号 几个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负。 【使用提醒】若因数中含有 ，积为 ，不必再讨论符号。 1.5 等于本身的数 相反数等于本身的数是 ；绝对值等于本身的数是非负数；倒数等于本身的数是 和 ；平方等于本身的数是 和 。 1.6 的幂与正负号 ：当 为偶数时等于 ，当 为奇数时等于 ； 的偶次幂等于 的偶次幂， 的奇次幂等于 的奇次幂的相反数。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 有理数加减混合运算的步骤 先利用减法法则把减法统一成加法，写成省略加号的代数和形式，再运用加法运算律（凑整、同号先加）计算。如 。 2.2 有理数乘除运算的步骤 先确定符号（同号得正、异号得负，负因数个数定积的符号），再把绝对值相乘；除法先化为乘倒数。如 。 2.3 有理数混合运算的步骤 先算乘方，再算乘除，后算加减；有括号先算括号内的，同级运算按从左到右的顺序进行。如 。 2.4 比较有理数大小的两种方法 正数、、负数之间直接用“正数大于 ， 大于负数”判断；两个负数比较大小时，先比较绝对值，绝对值大的反而小。如比较 与 ：，故 。 2.5 化简含绝对值符号的式子 先判断绝对值号内式子的正负（或对字母分情况讨论），再按“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值号。如当 时，； 需再讨论 的正负。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 凑整相加 互为相反数的两个数先相加得 ；同号的数先相加 同分母先算 分数加减混合运算时，同分母的先合并 分配律逆用 形如 逆用分配律提取公因数 负因数个数定符号 多个数相乘，负因数个数为偶积正、为奇积负 0 的特殊性 除以任何非零数得 ； 不能作除数 4. 常见考试模型 4.1 相反意义的量与基准模型 公式：设基准量为 ， 个量偏离基准的偏差之和为 （超出记正、不足记负），则这 个量的总量为 。 限定：偏差带“+”表示超出、“-”表示不足，不足基准用负数表示。 示例：如每筐以 为标准，5 筐偏差为 ，，，，，则总质量为 。 4.2 温差、时差与海拔差模型 公式：温差 最高气温 最低气温；时差 当地时间 标准地时间；两地海拔差 较高海拔 较低海拔，都可化为有理数减法计算。 限定：“上升、超出、向东”记为正，“下降、不足、向西”记为负，再列式计算。 示例：如最高气温 、最低气温 ，日温差为 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：混淆“非负数”与“正数”，漏掉 0 典例：下列各数中，哪些是非负数？，，，。 错解：非负数就是正数，所以只有 是非负数。 正解：非负数是指正数和 ，所以 和 都是非负数。 原因：概念理解错误。教材明确定义“正有理数和零属于非负数”，即“非负”就是“不是负数”，既包含正数也包含 。学生把“非负”机械等同于“正”，漏掉了 ；同理“非正数”是“不是正数”，包含 和一切负数。突破关键是记住 既不是正数也不是负数，因此 既属于非负数、也属于非正数。 易错点 2：两个负数比较大小，绝对值大的反而小 典例：比较大小：　（填“＞”或“＜”）。 错解：因为 ，所以 。 正解：因为 ，，且 ，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以 。 原因：思维迁移错误。学生在小学里比较正数大小形成“数大则大”的直觉，把它直接搬到负数上，或把“绝对值大”误当成“数大”。两个负数在数轴上越靠左（离原点越远）反而越小，应牢记“两个负数，绝对值大的负数小”。 易错点 3：绝对值化简不分类讨论，误认为 恒成立 典例：当 时，化简 。 错解：。 正解：因为 ，所以 。例如 时，。 原因：概念与符号处理错误。绝对值的意义是“到原点的距离”，结果一定是非负数；学生看到 里是字母，误以为去掉绝对值号后仍是 本身，忽略了 为负时其相反数才是非负数。要依据“正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它的相反数、 的绝对值是 ”分类处理，并用具体负数代入检验。 易错点 4：乘方中底数不清， 与 混淆 典例：计算：。 错解：。 正解： 表示 的相反数，即 ； 才表示 。 原因：概念理解错误。学生把 误读成“负 2 的平方”，没有分清底数： 的底数是 （先算 ，再取相反数），而 的底数是 。关键看负号是否在括号内——括号内的负号属于底数，括号外的是取相反数。类似地 ，，二者底数不同，务必逐题判断。 易错点 5：减法、除法中负数符号处理错误 典例：计算：。 错解：。 正解：减去一个数等于加上这个数的相反数，。 原因：符号遗漏。学生受小学“减去正数”影响，看到减号就直接做减法，忽略了被减数 前面的负号；正确做法是先把减法转化为加法（），再按加法法则计算。类似地，，除号变乘号时要同时取除数倒数、符号一并处理。 易错点 6：科学记数法中 的范围与指数 确定错误 典例：用科学记数法表示 。 错解：。 正解：。 原因：概念理解错误。科学记数法要求写成 的形式，其中 ， 的整数部分只能是一位非零数字，因此不能写成 ； 等于原数的整数位数减 （本题 位减 得 ）。学生常在“ 是否规范”和“ 取位数还是位数减 ”上出错。 学科网（北京）股份有限公司 $